至数学高考题
2011年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
1．设集合U=,则
A． B． C． D．
2．函数的反函数为
A． B．
C． D．
3．权向量a,b满足,则
A． B． C． D．
4．若变量x、y满足约束条件，则的最小值为
A．17 B．14 C．5 D．3
5．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A． B．
C． D．
6．设为等差数列的前n项和，若，公差为，则k=
A．8 B．7 C．6 D．5
7．设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
A． B． C． D．
8．已知二面角，点C为垂足，点，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=
A．2 B． C． D．1
9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
10．设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
A．- B． C． D．
11．设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=
A．4 B． C．8 D．
12．已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）
13．（1-）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．
14．已知a∈（），=
15．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
。
16．已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）
设等比数列的前n项和为,已知求和
18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若
19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；
（II）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。
20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，
．
（I）证明：平面SAB；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。
21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数
（I）证明：曲线处的切线过点（2，2）；
（II）若处取得极小值，，求a的取值范围。
22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。
2012年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1
b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是
（A）(1－，2) （B）(0，2) （C）(－1，2) （D）(0，1+)
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN，输出A,B，则
（A）A+B为a1,a2,…,aN的和 （B）为a1,a2,…,aN的算术平均数
（C）A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
(D)A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数[来
开始
A=x
B=x
x＞A
否
输出A，B
是
输入N，a1,a2,…,aN
结束
x0，0<φ<π，直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=
（A） （B） （C） （D）
（10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为
（A） （B）2 （C）4 （D）8
(11)当00)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。
（21）（本小题满分12分）
设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.
(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．
A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}
2．(2013课标全国Ⅰ，文2)＝( )．
A． B． C． D．
3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．
A． B． C． D．
4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x
5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．
A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )．
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．
A．2 B． C． D．4
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．
10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．
A．10 B．9 C．8 D．5
11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.
14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为______．
15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．
16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I）
一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合，，则
A. B. C. D.
（2） 若，则
A. B. C. D.
（3） 设，则
A. B. C. D. 2
（4）已知双曲线的离心率为2，则
A. 2 B. C. D. 1
（5） 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
（6） 设分别为的三边的中点，则
A. B. C. D.
（7） 在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为
A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
（11） 设，满足约束条件且的最小值为7，则
（A）-5 （B）3
（C）-5或3 （D）5或-3
（12） 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
（A） （B）
（B） （C） （D）
第II 卷
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
（14） 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
（15）设函数则使得成立的的取值范围是________.
（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.
三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17） （本小题满分12分）
已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（I）求的通项公式；
（II）求数列的前项和.
（18） （本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19(本题满分12分)
如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.
（1） 证明：
（2） 若,求三棱柱的高.
20. （本小题满分12分）
已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1） 求的轨迹方程；
（2） 当时，求的方程及的面积
21（12分）
设函数，曲线处的切线斜率为0
（1） 求b;
（2） 若存在使得，求a的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22） （本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.
（I）证明：；
（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.
（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线，直线（为参数）
（1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.
（24） （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若且
（I）求的最小值；
（II）是否存在，使得？并说明理由.
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝
2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a =
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
5.设函数f(x)=，则f (－2)+ f (log212) =
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A） （B） （C） （D）
7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圆交于y轴于M、N两点，则=
（A）2 （B）8 （C）4 （D）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，
则输出的a=
（A）0
（B）2
（C）4
（D）14
9. 已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体
积的最大值为36，则球O的表面积为
（A）36π （B）64π （C）144π （D）256π
10. 如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与
DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）
的图像大致为
11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为
120°，则E的离心率为
(A) (B)2 (C) (D)
12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（-1）=0，当x>0时，x f’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是
(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞)
(C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)
二.填空题
13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答案)
14.若x，y满足约束条件，则z= x＋y的最大值为____________..
15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.
16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=－1，an+1=Sn Sn+1，则Sn=________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的长.
18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率
19. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值
20. 已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有
两个交点A，B，线段AB的中点为M.
（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（II）若l过点(，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？
若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.
21. 设函数f(x)=emx＋x2－mx.
(Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
(22).（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边
上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.
（I）证明：EF平行于BC
（II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1:，其中0≤α＜π ，在以O
为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=cosθ .
（I）.求C2与C3交点的直角坐标
（II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明：
（I）若ab＞cd ，则；
（II）是的充要条件.
