圆锥曲线高考常考题选编

圆锥曲线高考常考题选编

圆锥曲线高考常考题型：‎ 一、 基本概念、基本性质题型 二、 平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型 三、 直线与圆锥曲线的相交关系题型 （一） 中点、中点弦公式 （二） 弦长 （三） 焦半径与焦点三角形 四、 面积题型 （一） 三角形面积 （二） 四边形面积 五、 向量题型 （一） 向量数乘形式 （二） 向量数量积形式 （三） 向量加减法运算 （四） 点分向量（点分线段所成的比）‎ 六、 切线题型 （一） 椭圆的切线 （二） 双曲线的切线 （三） 抛物线的切线 七、最值问题题型 ‎ （一）利用三角形边的关系 ‎ （二）利用点到线的距离关系 ‎ 为了让各位同学建立关于圆锥曲线专题的基本解题策略和解题方法体系，我收录高考经典题，结合前一篇《平面解析几何讲义》希望大家掌握解决圆锥曲线题目的常用思路和方法。‎ 一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查。‎ 例1：已知椭圆的焦距为2，准线为，则该椭圆的离心率为 ‎ 例2：已知双曲线方程的离心率为，则渐近线方程为 ‎ 例3：已知双曲线方程为，则双曲线离心率取值范围为 ‎ 例4：已知抛物线方程为，则焦点坐标为 ‎ 例5：已知椭圆C：上一点P到左焦点的距离为，则点P到左准线的距离为 ，到右准线的距离为 ‎ 例6：已知双曲线M：上一点P到左准线的距离为2，则点P到右焦点的距离为 ‎ 二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。‎ 该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理，射影定理、勾股定理、余弦定理 、相似三角形、三角形四心性质、等腰梯形、直角梯形性质 、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当 然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本概念、基本性质。‎ 例1：①过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ ‎②设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.‎ ‎③已知点P为椭圆上一点，为椭圆的两焦点，若,则椭圆的离心率为 ‎ 例2：已知为双曲线的左右焦点，P为双曲线上一点，M(2，0),PM为的角平分线，则= ‎ ‎ 例3：已知P为椭圆上一点，为椭圆的交点，M为线段的中点，,则 ‎ 例4：①已知为椭圆的焦点，点P（),△为等角三角形，则椭圆的离心率为 ‎ ‎②已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ,则E的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎③已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例5：已知椭圆方程为，点A为椭圆右准线与x轴的交点，若椭圆上存在点P，使得线段AP的中垂线经过右焦点F，则椭圆离心率的取值范围为 ‎ 例6：已知（-c，0）、(c,0)为椭圆C:的左右焦点，若在直线 存在一点P使得线段的中垂线经过,则椭圆离心率的取值范围为 ‎ 例7：已知斜率为2的直线过抛物线的焦点且与y轴的交点为A，若△OAF的面积为4，则抛物线方程为 ‎ 三、直线与圆锥曲线 ‎（一）直线与圆锥曲线相交，中点，中点弦公式 ‎1、直线与圆锥曲线相交，即有两个交点，一般设两个交点坐标为，联立方程，方程有两个根，以下三点需注意：‎ ‎ ①联立时，直线一般采用斜截式，将y用kx+m替换，得到一个关于x的一元二次方程，当然也可以将x用y的表达式替换，得到关于y的一元二次方程；‎ ‎ ②联立得到的一元二次方程中，暗含了一个不等式，；‎ ‎ ③我们很少需要求解，一般通过韦达定理得到的值 ‎ 或者表达式。‎ ‎2、两交点中点坐标：M()=（联立、韦达定理）=‎ ‎3、中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）‎ ‎①椭圆：焦点在x轴上时 ‎ 直线与椭圆相交于点A、B 设点A(),B() ∵A、B在椭圆上 ‎∴……① 则 ‎ ……② 即 ‎ ‎①-②得： 即 ‎ 则 （其中M为A、B中点，O为原点）‎ 同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为 当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点 则 用文字描述：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于下的系数比上下的系数的相反数。‎ 例：已知直线x+y-=0过椭圆C:的右焦点且与椭圆交于A、B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为，求椭圆方程。‎ ‎②双曲线 焦点在x轴上，双曲线方程：‎ 同理，焦点在y轴上，双曲线方程：‎ 例：①已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎②已知、为双曲线E：的左右顶点，P为双曲线右支上一动点，则= ‎ ‎③是双曲线：上一点，‎ 分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.（I）求双曲线的离心率；（II）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上的一点，满足，求的值.‎ ‎③抛物线 焦点在x轴上，抛物线方程：‎ 同理，焦点在y轴上，抛物线方程：‎ 例：①已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.‎ ‎（二）弦长 ‎1、弦长的一般形式 设A(),B()‎ 弦长=‎ ‎ =‎ ① 椭圆弦长 ②双曲线弦长 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 相切条件：‎ 联立圆锥曲线方程与直线方程，消掉x或者y达到关于y或者x的一元二次方程，用韦达定理表示出，代入弦长公式即可。‎ 例：已知直线y=x-1与双曲线C：交于A、B两点，求 例2：已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当t=4，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ ‎2、过焦点的弦长 过焦点的弦长一般处理成两部分焦半径的和（利用第二定义求解）‎ ① 坐标形式焦半径（已知圆锥曲线上一点P（））‎ ‎ 椭圆焦半径 双曲线焦半径 ‎ 利用第二定义：到焦点的距离与到对应准线的距离之比为离心率求解得出 ① 角度形式焦半径 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.焦点三角形 ‎ ，‎ ‎ ‎ 随着x的增大先增大后减小，在上顶点处取得最大值 ‎ ‎ 例：已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ ‎ 当点p在椭圆外时，‎ ‎ 当点p在椭圆上时，‎ ‎ 当点p在椭圆内时，‎ ‎ 例：①已知P为椭圆C：上的点，、为椭圆的左右焦点，若△为直角三角形，则满足条件的P点有 个 ‎ ① 已知、为椭圆C: 的左右焦点，若只能在椭圆 内部找到一点P使得=120°，则椭圆离心率的取值范围为 ‎ ‎ ③设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ④已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，,‎ 则P到x轴的距离为 A、 B、 C、 D、‎ ‎4、抛物线的特殊特征 在计算弦长的过程中，我们需要联立方程，对于抛物线而言，我们发现了一个特殊的规律：‎ 当直线经过抛物线对称轴上一个定点与抛物线有两个交点时，我们发现无论直线斜率如何改变，两点的横坐标之积，纵坐标之积为一个确定的常数。‎ ‎，M为对称轴上一点(),过M做直线交抛物线与A、B两点，令A、B(），求x ① 当直线斜率不存在时，‎ ‎ ‎ ‎②当斜率存在时，设直线AB为 联立 得 则（AB中点横坐标随着斜率绝对值的增大而减小）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 总之 ‎ 即时，过() ‎ 时，过 ‎ 例：①过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，,且,则 ‎ ‎②设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比= ‎ 延伸：在抛物线 对称轴上存在定点（2p，0）,使得以过该点与抛物线相交的弦为直径的圆过原点。‎ 张占龙：过抛物线上一点P做两条相互垂直的直线分别于抛物线相交，两个交点的连线恒过()‎ 四、面积 ‎（一）三角形面积 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积 处理方法：‎ ‎①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）‎ ‎ =（直线为斜截式y=kx+m）‎ ‎ =‎ ‎②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例：已知椭圆C:，直线y=x+1交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,求△OAB的面积。‎ 例2：已知过抛物线交点F的动直线交抛物线与A、B两点，P（2,0），求△PAB面积的取值范围。‎ ‎②四边形面积 在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解。‎ 例1：平面直角坐标系中，过椭圆M:右焦点F的直线l交与A,B两点，C,D为M上的两点，且CD⊥AB，‎ ‎（1）若直线CD过点（0,1），求四边形ABCD的面积 ‎（2）求四边形ACBD面积的最大值 例2：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P，求四过形ABCD的面积的最小值。‎ 例3：已知椭圆C：，过点（）做两条相互垂直的直线交椭圆于A、C、B、D四个点，求四边形ABCD面积的取值范围。‎ 例4：设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，求四边形面积的最大值．‎ 五、 向量 在这里我们用到的基本都是向量的坐标运算，包括向量的加减、数乘和数量积运算，以及用向量翻译直线垂直，角度的大小、面积等问题。‎ （一） 向量的数乘形式：（符号代表方向相同或相反 数值表示两向量模的大小关系）‎ ‎（1）常见处理方法：利用相似三角形 ‎①找出或者（可正可负），利用构建，联立利用韦达定理求解）‎ ① 根据相似三角形找出点的坐标带入求解 例1：已知直线与x轴交于点M，与椭圆交于A、B两点，且,求椭圆的离心率。‎ 例2：①已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．‎ ‎②已知直线与抛物线交于A、B两点，F为抛物线的焦点，,则斜率k为 .‎ ‎③已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线 与 的一个焦点，若，则= ‎ 例3：过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线交双曲线的两条渐近线分别于B、C两点，且,则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 例4、设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎（2）特殊处理方法：利用第二定义求解 ‎ 例1：①已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则( )‎ ‎(A)1 （B） （C） （D）2‎ ‎②已知斜率为的直角过椭圆C：的右焦点交 椭圆于A、B两点，且,椭圆的离心率为 。‎ ‎ ③已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。‎ ‎ 例2：①已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 .w.w.k.s.5.u.c.o.‎ ‎②已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率 ‎ m ‎ 例3：①已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．‎ ‎2过抛物线的焦点F做斜率为直线交抛物线于A、B两点，且，则 ‎ （一） 向量的数量积形式 两种处理方式：‎ ‎①几何运算形式：‎ ① 代数坐标形式：‎ 例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 . ‎ ‎②已知斜率为2的直线交抛物线与A、B两点,M（2,0），求 的取值范围。‎ 例2：已知过椭圆上焦点的直线l交椭圆于A、B两点，M为椭圆的右顶点，当∠AMB为钝角时，求直线l斜率的取值范围。‎ ‎ 例3：椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎(I)当|CD | = 时，求直线的方程；‎ ‎(II)当点P异于A、B两点时，求证： 为定值．‎ 例4：已知直线l过双曲线左焦点交双曲线于A、B两点，为双曲线的右焦点，满足，求直线l的斜率。‎ （一） 向量的加减法运算 ‎①向量加法的平行四边形法则，一般用来进行几何翻译 ‎ 例：已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ ‎②向量加减法的代数坐标运算 ‎ 例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （I）求，的值；‎ ‎（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？‎ 例2：是双曲线：上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上的一点，满足，求的值.‎ ‎16. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，-1）共线 ‎（1）求椭圆的离心率 ‎（2）设M为椭圆上任意一点，且证明：为定值 ‎（四）点分线段（向量）所成的比 ‎①点P分向量所成的比为，即: ‎ 例：已知点P分向量所成的比为-2，则点A分向量所成的比。‎ ‎②已知点分向量所成的比，同时知道向量起点和终点坐标，求解点P的坐标。已知：点P分向量所成的比为 解：令P(x,y) ∵点P分向量所成的比为 则 即 ‎∴ 即 故P的坐标为（，）‎ ‎ 例：设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，，求的值。‎ 五、 切线 不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。‎ ‎（一）椭圆的切线：‎ ‎①在点P()处的切线方程为 ‎②过椭圆外一点Q（）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为 ‎③直线与椭圆相切时，满足 例：已知P为椭圆上一动点，求点P到直线的最小值与最大值。‎ ‎（二）双曲线的切线：‎ ‎①在点P()处的切线方程为 ‎②过椭圆外一点Q（）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为 ‎③直线与椭圆相切时，满足 ‎（三）抛物线的切线：‎ ① 上某点P（）的切线斜率为 ‎,点P()，则切线方程为 ，即，‎ 通过观察我们知道:‎ 与x轴的交点为，切线与x轴的截距为切点处横坐标的一半，‎ 与y轴的交点为，在y轴上的截距为切点纵坐标的相反数。‎ ① A（），B（）均在抛物线上，请推证A、B处两切线及其两切线的交点坐标。 ‎ ‎ A点处切线 ‎ B点处切线 两条切线的焦点坐标（）‎ 我们发现：i、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M的横坐标 ii、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：‎ ‎(为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标()与直线与对称轴的截距互为相反数 ‎ 延伸一：‎ 过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A、B两点 ‎，过A、B分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q，通过几何画板作图我们发现：‎ 不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b 证明：令过P的直线为，‎ 联立 得 设A点处切线, B点处切线 则两条切线的焦点坐标Q（）‎ ‎∴‎ 证 毕 延伸二、‎ 过点Q（）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A、B，‎ 直线AB与y轴的截距为-b 斜率 ‎∴切点弦方程为：‎ ‎③对于焦点在x轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用求解。‎ ‎④需要需注意的是：过抛物线外一点做与抛物线仅有一个交点的直线有三条：除了两条切线之外还有一条与x轴平行（即斜率为0的直线与抛物线也只有一个交点。‎ 例1: 在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为 ‎ 例2： 已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.‎ ‎（Ⅰ）求r；‎ ‎（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离 五、 最值问题题型 （一） 利用三角形边的关系 主要利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边条件 ‎ 因此求解最大值时一般转换成两边之和，最大值时一般转换为两边之差 想办法把两个定点转换到动点的两侧，利用三角形条件求解 有时需要利用圆锥曲线的第一定义或第二定义进行转换 例1：①设、分别是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则的最小值为 ，最大值为 ‎ ‎②设、分别是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的 坐标为(1,3),则的最小值为 ，最大值为 ‎ ‎③设、分别是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，直线l 为，d为P到直线l的距离，M(6,4),则的取值范围为 ‎ 例2：设、分别是椭圆的左右焦点，P为双曲线右支上一点，点M（1，3），则的最小值为 ，的取值范围为 ‎ 例3：已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上一个动点,P到直线x=-2‎ 的距离为d,点M（1，3），则的最小值为 ‎ ‎②已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上一个动点,P到y轴的距离为d,点M（1，3），则的最小值为 ‎ （一） 利用点到线的距离关系 此类题型一般结合抛物线考察，将到直线的距离根据抛物线 定义转换成到有关焦点的距离，进而求解 例：已知P为抛物线上任意一点，P到直线X=-1的距离为d,点M（2，-1），则的最小值为 ‎ ‎②已知P为抛物线上任意一点，P到直线X=-1的距离为,到直线的距离为，则的最小值为 ‎ ‎③ 已知P为抛物线上任意一点，P到y轴的距离为,到直线的距离为，则的最小值为 ‎ ‎ ④已知P为抛物线上任意一点，P到直线X=-2的距离为,到直线的距离为，则的最小值为 ‎