全国普通高等学校高考数学五模试卷文科衡水金卷解析

全国普通高等学校高考数学五模试卷文科衡水金卷解析

‎2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（文科）（衡水金卷）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（　　）‎ A．{（1，2）} B．（1，2） C．{1，2} D．{（1，2），（﹣1，﹣2）}‎ ‎2．已知复数z=（i为虚数单位），则（　　）‎ A．z的实部为 B．z的虚部为 C． D．z的共轭复数为 ‎3．焦点在y轴上的椭圆C： =1（a＞0）的离心率是，则实数a为（　　）‎ A．3 B．2 C．2或3 D．4或9‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎5．如图所示，一报刊亭根据某报纸以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，但原始数据遗失，则对日销售量中位数的估计值较为合理的是（　　）‎ A．100 B．113 C．117 D．125‎ ‎6．已知sin（+α）=，则cos2α=（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎7．已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C渐近线方程为（　　）‎ A． B．y=2x C． D．‎ ‎8．已知函数f（x）=ln（ax+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，则不等式f（x）＞alna的解集是（　　）‎ A．（a，+∞）‎ B．（﹣∞，a）‎ C．当a＞1时，解集是（a，+∞）；当0＜a＜1时，解集是（﹣∞，a）‎ D．当a＞1时，解集是（﹣∞，a）；当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎10．将函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将其向左平移个单位后，所得的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（　　）‎ A． B． C．5 D．2‎ ‎11．在等比数列{an}中，若a2a5=﹣，a2+a3+a4+a5=，则=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）=，（a＞0，a≠1），若x1≠x2，则f（x1）=f（x2）时，x1+x2与2的大小关系是（　　）‎ A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．与a相关 ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量=（1，﹣3），=（2，0），=（﹣2，k），若（）⊥（），则k=　　　　　　．‎ ‎14．设变量x，y满足不等式组，若z=x﹣y﹣4，则|z|的取值范围是　　　　　　．‎ ‎15．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高AB=　　　　　　米．‎ ‎16．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=ln（n+1）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=ean（e为自然对数的底数），定义： bk=b1•b2•b3…bn，求bk．‎ ‎18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AE=1，AB=2，CD=3，E，F分别为AB，CD上的点，以EF为轴将正方形ADFE向上翻折，使平面ADFE与平面BEFC垂直如图2．‎ ‎（1）求证：平面BDF⊥平面BCD；‎ ‎（2）求多面体AEBDFC的体积．‎ ‎19．随机抽取某中学高三年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图，其中甲，乙两班各有一个数据被污损．‎ ‎（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，求甲，乙两班污损处的数据；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求甲，乙两班同学身高的平均值；‎ ‎（3）①若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值，求甲班污损处的数据的值；‎ ‎②在①的条件下，从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm的同学，求身高为181cm的同学被抽中的概率．‎ ‎20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）若=﹣11，求直线AB的方程；‎ ‎（2）求△ABF面积的最小值．‎ ‎21．设函数f（x）=xn﹣mlnx﹣1，其中n∈N*，n≥2，m≠0．‎ ‎（1）当n=2时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当m=1时，讨论函数f（x）的零点情况．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．‎ ‎（1）求证：∠CDA=∠EDB ‎（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎（1）求圆心的极坐标；‎ ‎（2）求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（文科）（衡水金卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（　　）‎ A．{（1，2）} B．（1，2） C．{1，2} D．{（1，2），（﹣1，﹣2）}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合交集的定义转化求方程组的公共解即可．‎ ‎【解答】解：∵A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，‎ ‎∴A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（1，2）}，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=（i为虚数单位），则（　　）‎ A．z的实部为 B．z的虚部为 C． D．z的共轭复数为 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】化简复数z，对四个选项进行判断即可．‎ ‎【解答】解：复数z===﹣i（i为虚数单位），‎ 所以z的实部为，A错误；‎ z的虚部为﹣，B错误；‎ ‎|z|==，C错误；‎ z的共轭复数为+i，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．焦点在y轴上的椭圆C： =1（a＞0）的离心率是，则实数a为（　　）‎ A．3 B．2 C．2或3 D．4或9‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵焦点在y轴上的椭圆C： =1（a＞0）的离心率是，‎ ‎∴6＞a2， =，解得a=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件S∈Q，退出循环，即可得到S的值．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=0，n=2，‎ 执行循环体，n=3，M=，S=log2，‎ 不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2，‎ 不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2‎ 由于：S=（log24﹣log23）+（log25﹣log24）+（log26﹣log25）=log26﹣log23=1，‎ 故此时满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示，一报刊亭根据某报纸以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，但原始数据遗失，则对日销售量中位数的估计值较为合理的是（　　）‎ A．100 B．113 C．117 D．125‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】由频率分布直方图得[0，100）的频率为0.4，[100，150）的频率0.3，由此能求出日销售量中位数的估计值．‎ ‎【解答】解：[0，100）的频率为：（0.003+0.005）×50=0.4，‎ ‎[100，150）的频率为0.006×50=0.3，‎ ‎∴日销售量中位数的估计值为：100+≈117．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知sin（+α）=，则cos2α=（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【考点】二倍角的余弦．‎ ‎【分析】由已知利用诱导公式可求cosα，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，从而得解．‎ ‎【解答】解：∵sin（+α）=，‎ ‎∴cosα=，‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C渐近线方程为（　　）‎ A． B．y=2x C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b），‎ 双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，‎ 则点B到bx﹣ay=0的距离d===，‎ 即c=2a，则c2=4a2=a2+b2，‎ 即3a2=b2，‎ 即b=a，‎ 则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=ln（ax+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，则不等式f（x）＞alna的解集是（　　）‎ A．（a，+∞）‎ B．（﹣∞，a）‎ C．当a＞1时，解集是（a，+∞）；当0＜a＜1时，解集是（﹣∞，a）‎ D．当a＞1时，解集是（﹣∞，a）；当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】利用奇函数的性质可得：f（0）=0，解得b=0．可得f（x）=xlna．则不等式f（x）＞alna，即为：（x﹣a）lna＞0．对a分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ln（ax+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=ln（1+b）=0，解得b=0．‎ ‎∴f（x）=xlna．则不等式f（x）＞alna，即为：（x﹣a）lna＞0．‎ ‎∴不等式转化为，或，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，利用体积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的．‎ ‎∵球的半径R=1，‎ ‎∴V==π 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．将函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将其向左平移个单位后，所得的图象关于y轴对称，则ω的值可能是（　　）‎ A． B． C．5 D．2‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦的图象的对称性，求得ω=6k+2，结合所给的选项，可得结论．‎ ‎【解答】解：将函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，‎ 可得y=sin（ωx+）的图象；‎ 再将其向左平移个单位后，可得y=sin[ω（x+）+]=sin（ωx+ω•+）的图象，‎ 根据所得的图象关于y轴对称，则ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=6k+2，结合所给的选项，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．在等比数列{an}中，若a2a5=﹣，a2+a3+a4+a5=，则=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列{an}的性质及其a2a5=﹣=a3a4，a2+a3+a4+a5=，可得=+，代入即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等比数列，‎ a2a5=﹣=a3a4，a2+a3+a4+a5=，‎ ‎∴=+==﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，（a＞0，a≠1），若x1≠x2，则f（x1）=f（x2）时，x1+x2与2的大小关系是（　　）‎ A．恒小于2 B．恒大于2 C．恒等于2 D．与a相关 ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据变量关系，不妨设﹣1＜x1＜1＜x2＜3，则﹣1＜2﹣x2＜1，设f（x1）=f（x2）=t，用t分别表示出x1和x2的关系，求出x1+x2的值，结合指数函数的单调性进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若x1≠x2，设f（x1）=f（x2）=t，‎ 不妨令﹣1＜x1＜1＜x2＜3，则﹣1＜2﹣x2＜1‎ 则f（x1）=﹣loga（x1+1）=t，则1+x1=a﹣t，则x1=a﹣t﹣1，‎ f（x2）=f（2﹣x2）﹣a+1=﹣loga（3﹣x2）﹣a+1=t，‎ loga（3﹣x2）=1﹣a﹣t 则3﹣x2=a1﹣a﹣t，x2=3﹣a1﹣a﹣t，‎ 则x1+x2=a﹣t﹣1+3﹣a1﹣a﹣t=2+（a﹣t﹣a1﹣a﹣t）‎ 当0＜a＜1时，y=ax为减函数，且﹣t＜﹣t+1﹣a，则a﹣t＞a1﹣a﹣t，此时x1+x2＞2；‎ 当a＞1时，y=ax为增函数，且﹣t＞﹣t+1﹣a，则a﹣t＞a1﹣a﹣t，此时x1+x2＞2；‎ 故x1+x2的值恒大于2，‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量=（1，﹣3），=（2，0），=（﹣2，k），若（）⊥（），则k=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】求出向量，利用向量的垂直，数量积为0，求解即可．‎ ‎【解答】解：向量=（1，﹣3），=（2，0），=（﹣2，k），‎ ‎=（﹣1，﹣3），‎ ‎=（4，﹣2k），（）⊥（），‎ 可得：﹣4+6k=0，解得k=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设变量x，y满足不等式组，若z=x﹣y﹣4，则|z|的取值范围是　[，6]　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：‎ 由z=x﹣y﹣4得y=x﹣z﹣4，‎ 平移直线y=x﹣z﹣4由图象可知当直线y=x﹣z﹣4经过点B（1，3）时，直线y=x﹣z﹣4的截距最大，‎ 此时|z|=|x﹣y﹣4|最大为|z|=|1﹣3﹣4|=6，‎ 当直线y=x﹣z﹣4z经过点A时，，可得A（，），直线y=x﹣z﹣4的截距最小，此时|z|最小为：|z|==，‎ 故答案为：[，6]．‎ ‎　‎ ‎15．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高AB=　1+20　米．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，即可求得AB．‎ ‎【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，‎ 在△CBD中，根据正弦定理得BC==20，‎ ‎∴AB=1+tan30°•CB=1+20（米），‎ 故答案为：1+20．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是　[，）　．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性先求出函数在一个周期内的[﹣1，1]的解析式，作出函数f（x）的图象，根据不等式的解集关系，确定直线斜率k的范围即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，‎ 当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，‎ ‎∴f（x）=x2，x∈[﹣1，1]，‎ ‎∵定义在R上的函数f（x）的周期是2，‎ 作出函数f（x）的图象，‎ ‎∵不等式f（x）≤g（x）的解集是 ‎[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），‎ ‎∴函数直线y=kx在[0，1]，[1，3]内相交，‎ 且在当x≥5时，不等式无解，‎ 当直线经过点A（3，1）时，y=x，‎ 此时不等式的解集不满足，‎ 当直线经过点B（5，1）时，y=x，此时不等式的解集满足条件，‎ 则若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），‎ 则k满足≤k＜，‎ 即正数k的取值范围是[，）．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=ln（n+1）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=ean（e为自然对数的底数），定义： bk=b1•b2•b3…bn，求bk．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）当n=1求得a1，当n≥2，由an=Sn﹣Sn﹣1，代入验证当n=1是否成立，即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）求得数列{bn}通项公式，根据新定义即可求得bk的值．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=ln2；‎ 当n≥2且n∈N*时，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=ln（n+1）﹣lnn，‎ ‎=ln，‎ a1=ln2，等式成立，‎ ‎∴an=ln，‎ ‎（2）bn=ean=，‎ bk=×××…×=n+1，‎ ‎∴bk=n+1．‎ ‎　‎ ‎18．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AE=1，AB=2，CD=3，E，F分别为AB，CD上的点，以EF为轴将正方形ADFE向上翻折，使平面ADFE与平面BEFC垂直如图2．‎ ‎（1）求证：平面BDF⊥平面BCD；‎ ‎（2）求多面体AEBDFC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明BC⊥BF．推出平面ADFE⊥平面BEFC，说明DF⊥BC，然后证明平面BDF⊥平面BCD．‎ ‎（2）多面体AEBDFC可分为四棱锥B﹣AEFD和三棱锥B﹣DFC，利用几何体的体积公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知，，‎ ‎∴BC⊥BF．又∵DF⊥EF，平面ADFE⊥平面BEFC，‎ ‎∴DF⊥平面BEFC，‎ ‎∴DF⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面BDF，‎ ‎∴平面BDF⊥平面BCD．‎ ‎（2）多面体AEBDFC可分为四棱锥B﹣AEFD和三棱锥B﹣DFC ‎，，，‎ 则多面体AEBDFC的体积为．‎ ‎　‎ ‎19．随机抽取某中学高三年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图，其中甲，乙两班各有一个数据被污损．‎ ‎（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，求甲，乙两班污损处的数据；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求甲，乙两班同学身高的平均值；‎ ‎（3）①若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值，求甲班污损处的数据的值；‎ ‎②在①的条件下，从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm的同学，求身高为181cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，能求出甲，乙两班污损处的数据．‎ ‎（2）由（1）能求出甲班同学身高的平均值和乙班同学身高的平均值．‎ ‎（3）①设甲，乙班污损处的数据分别为x，y（0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N），由题意求出．由此能求出甲班污损处的数据的值．‎ ‎②设“身高为181cm的同学被抽中”为事件A，利用列举法能求出身高为181cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）因为已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，‎ 所以甲班污损处是9．‎ 因为乙班同学身高的中位数为172，‎ 所以乙班污损处是4．‎ ‎（2）由（1）得甲班同学身高的平均值为：‎ ‎，‎ 乙班同学身高的平均值为：‎ ‎．‎ ‎（3）①设甲，乙班污损处的数据分别为x，y（0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N），‎ 则甲班同学身高的平均值为，‎ 乙班同学身高的平均值为，‎ 由题意，．‎ 解得x＞y+8．又0≤x≤9，0≤y≤9，x，y∈N，‎ 则ymin=0，得x＞8，∴x=9，此时y=0．‎ 故甲班污损处的数据的值为9．‎ ‎②设“身高为181cm的同学被抽中”为事件A，‎ 从乙班10名同学中抽取两名身高高于170cm的同学有：‎ ‎{176，178}，{176，179}，{176，181}，{178，179}，{178，181}，{179，181}共6个基本事件，‎ 而事件A含有{176，181}，{178，181}，{179，181}共3个基本事件，‎ 所以身高为181cm的同学被抽中的概率．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎（1）若=﹣11，求直线AB的方程；‎ ‎（2）求△ABF面积的最小值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）不妨设点A在x轴上方，分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别直线和抛物线的位置关系即可求出，‎ ‎（2）分别求出直线的斜率存在和不存在，两种情况的三角形的面积，比较即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）不妨设点A在x轴上方，‎ ‎①当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x=2，‎ 此时将x=2代入抛物线C：y2=4x中，得y2=8，解得，‎ 所以点A，B的坐标分别为，‎ 又焦点F的坐标为（1，0），则，‎ 所以，不满足，故舍去；‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设斜率为k显然k≠0，故直线AB方程为y=k（x﹣2）．‎ 设点A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），‎ 联立，消去y，得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2=0，且△=32k2+16＞0，‎ 则由韦达定理，得，‎ 所以=，‎ 又焦点F的坐标为（1，0），‎ 所以=．‎ 由题意，，解得k=±1，‎ 所以直线AB方程为y=x﹣2或y=﹣x+2，即x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．‎ ‎（2）①当直线AB的斜率不存在时，由（1）得，点A，B的坐标分别为，‎ 所以△ABF的面积为；‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，设斜率为k显然k≠0，由（1）得，，‎ 所以△ABF的面积为 ‎=．‎ 综上所述，△ABF面积的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=xn﹣mlnx﹣1，其中n∈N*，n≥2，m≠0．‎ ‎（1）当n=2时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当m=1时，讨论函数f（x）的零点情况．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，得到f（x）的单调性，求出f（x）的最小值，通过构造函数结合零点存在性定理判断函数的零点即可．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，f（x）=x2﹣mlnx﹣1，x∈（0，+∞），‎ ‎∴，‎ 当m＜0时，f'（x）＞0，‎ 函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；‎ 当m＞0时，令f'（x）＞0，得；令f'（x）＜0，得，‎ 则函数f（x）在区间内单调递减；在区间内单调递增．‎ ‎（2）依题意得，f（x）=xn﹣lnx﹣1，x∈（0，+∞），‎ ‎∴，‎ 令f'（x0）=0得，‎ 因为n≥2，所以函数f（x）在区间（0，x0）内单调递减；在区间（x0，+∞）内单调递增，‎ 所以，‎ 令p（x）=lnx﹣x+1（x≥2），则，‎ ‎∴p（x）≤p（2）=ln2﹣1＜0，∴lnn﹣n+1＜0，即f（x0）＜0，‎ ‎∵，∴f（2）＞f（1）=0，‎ 又∵，∴，‎ 根据零点存在性定理知，函数f（x）在和内各有一个零点．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．‎ ‎（1）求证：∠CDA=∠EDB ‎（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．‎ ‎【分析】（1）利用CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点，得出角相等，即可证明：∠CDA=∠EDB；‎ ‎（2）证明△BDC≌△EDA，可得BC=EA，由切割线定理可得DE2=EA•EB，即可求线段BE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵CD∥AB，‎ ‎∴∠BDC=∠ABD，‎ ‎∵DE是圆的切线，‎ ‎∴∠ADE=∠ABD，‎ ‎∴∠ADE=∠BDC，‎ ‎∴∠CDA=∠EDB；‎ ‎（2）解：在△BCD，△ADE中，‎ ‎∵BC=CD=AD，∠BDC=∠EDA，∠BCD=∠EAD，‎ ‎∴△BDC≌△EDA，‎ ‎∴BC=EA，‎ 由切割线定理可得DE2=EA•EB，‎ ‎∴49=5BE，‎ ‎∴BE=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎（1）求圆心的极坐标；‎ ‎（2）求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与普通方程的互化得到圆的圆心与极坐标．‎ ‎（2）化简直线的参数方程转化为普通方程利用点到直线的距离公式公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，得x2+y2=2x，‎ 故圆C的普通方程为x2+y2﹣2x=0，所以圆心坐标为（1，0），圆心的极坐标为（1，0）．‎ ‎（2）直线l的参数方程为为参数） 化为普通方程是x﹣2y+1=0，‎ 即直线l的普通方程为x﹣2y+1=0，因为圆心（1，0）到直线l：x﹣2y+1=0的距离，‎ 所以点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0取得等号，可得f（x）的最小值；‎ ‎（2）求得f（1），讨论当1﹣2m＜0，当1﹣2m≥0，去掉绝对值，解m的不等式，即可得到所求m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由m＞0，有f（x）=|x+|+|x﹣2m|≥|x+﹣（x﹣2m）|=|+2m|=+2m，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 所以f（x）的最小值为．‎ ‎（2）f（1）=|1+|+|1﹣2m|（m＞0），‎ 当1﹣2m＜0，即时，，‎ 由f（1）＞10，得，化简得m2﹣5m+4＞0，解得m＜1或m＞4，‎ 所以或m＞4；‎ 当1﹣2m≥0，即时，，‎ 由f（1）＞10，得，即（m+2）2＜8，此式在时恒成立．‎ 综上，当f（1）＞10时，实数m的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2016年8月24日