高考数学专题指数函数对数函数幂函数理科
高考数学专题复习:指数函数、对数函数、幂函数（理科）
1．（2007北京文、理，5分）函数的反函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
B；[解析] 函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为。
[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。
2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
B；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A满足，C满足，而D满足，B不满足其中任何一个等式。
[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。
3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ）
A．（ln2）2 B．ln（ln2） C．ln D．ln2
D；[解析] ∵，∴ln（ln2）<0，（ln2）2
0恒成立，当k=0时，3>0恒成立；当时，即时也符合题意。
[考点透析]把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题，再结合参数的取值情况加以分类解析。
27．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：
①函数（且）与函数（且）的定义域相同；
②函数和的值域相同；
③函数与都是奇函数；
④函数与在区间上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）
①、③；[解析] 在①中，函数（且）与函数（且）的定义域都是R，则结论正确；在②中，函数的值域为R，的值域为，则结论错误；在③中，函数与都是奇函数，则结论正确；在④中，函数在上是增函数，在R上是增函数，则结论错误。
[考点透析]综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容。
28．（2008江苏连云港模拟，5分）直线（）与函数、、、的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是________。
D、C、B、A；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A。
[考点透析]结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题。
29．（2008宁夏银行模拟理，5分）若关于的方程有实根，则实数的取值范围是________。
{m|}；[解析] 令，则有，则可转化得，根据题意，由于有实根，则，解得。
[考点透析]通过换元，把指数方程转化为一元二次方程来分析求解，关键要注意换元中对应的参数y的取值范围，为求解其他参数问题作好铺垫。
30．（2008海南大联考模拟文、理）已知lgx+lgy=2lg（x－2y），求的值。
[分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x0，y0，x－2y0这些条件成立。假如x=y，则有x－2y=－x0，这与对数的定义不符，从而导致多解。
[解析] 因为lgx+lgy=2lg（x－2y），所以xy=（x－2y）2，
即x2－5xy+4y2=0，所以（x－y）（x－4y）=0，解得x=y或x=4y，
又因为x0，y0，x－2y0，所以x=y不符合条件，应舍去，
所以=4，即==4。
[考点透析] 在对数式logaN中，必须满足a0，a1且N0这几个条件。在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解。
31．（2008宁夏大联考模拟理）根据函数的图象判断：当实数为何值时，方程无解？有一解？有两解？
[分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程的解的个数转化为两个函数与的图象交点个数去理解。
[解析] 函数的图象可由指数函数的图象先向下平移一个单位，然后再作轴下方的部分关于轴对称图形，如下图所示，
函数的图象是与轴平行的直线，
观察两图象的关系可知：
当时，两函数图象没有公共点，所以方程无解；
当或时，两函数图象只有一个公共点，所以方程有一解；
当时，两函数图象有两个公共点，所以方程有两解．
[考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键．
32．（2008山东淄博模拟理）已知是方程xlgx=2008的根，是方程x·10x=2008的根，求的值．
[分析] 观察此题，易看到题中存在和，从而联想到函数与．而可以看成和交点的横坐标，同样可看成和交点的横坐标，若利用函数与的对称性，此题便迎刃而解了．
[解析] 令，，设其交点坐标为，
同样令，它与的交点的横坐标为，
由于反比例函数关于直线对称，则有和关于直线对称，
点即点应该在函数上，所以有=2008．
[考点透析] 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的．而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题．以上求解过程不能算此题超纲．
33．（2008山东泰安模拟文、理）已知实数a、b、c满足2b=a+c，且满足2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1），同时a+b+c=15，求实数a、b、c的值。
[分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。
[解析] 因为2b=a+c，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5，
由于2b=a+c=10，则可设a=5－d，c=5+d，
因为2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1），
所以2lg4=lg（6－d）+lg（4+d），即16=25－（d－1）2，则有（d－1）2=9，
所以d－1=3，则d=4或d=－2，
所以实数a、b、c的值分别为1，5，9或7，5，3。
[考点透析] 在一些实际运算中，要注意运算时所满足的条件，利用正确的公式加以变形求解。特别对于对数运算、无理式的运算等，最终结果要进行必要的验证，否则容易出现增、减根。还要注意对数的运算法则等相关知识，否则容易导致出错。
34．（2008江苏苏州模拟）已知。
（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）求使的的取值范围。
[分析] 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。
[解析] （1），即，等价于，得，
所以的定义域是；
（2）==，
所以，即为奇函数；
（3）由，得，
当时，有，解得；
当时，有，解得；
故当时，；当时，。
[考点透析]主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。
35．（2008江苏盐城模拟，12分）已知函数。
（1）求函数的解析式；（2）求的值；（3）解方程。
[分析]通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。
[解析] （1）由于，
上式中，以代可得：，则有，
把代入可得：
，解得；
（2）由（1）得，则；
（3）由（1）得，则（2）得，
则有，即，
解得或，所以原方程的解为：或。
[考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式，要合理选取比较适合的方法加以分析处理，关键是要结合抽象函数关系式的特征，这里用到的是以代的方式来达到求解函数解析式的目的。
36．（2008广东广州模拟理，12分）已知函数（）。
（1）求的定义域、值域；（2）判断的单调性；
（3）解不等式。
[分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。
[解析] （1）要使函数（）有意义，则需要满足，
即，又，解得，所以所求函数的定义域为；
又，即，所以所求函数的值域为；
（2）令，由于，则在上是减函数，
又是增函数，所以函数在上是减函数；
（3）设，则，所以，即，
所以函数的反函数为，
由于，得，
由于，则，即，
所以，解得，
而函数的定义域为，故原不等式的解集为。
[考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。
