高考专题平面向量中的三角形四心问题题型总结

高考专题平面向量中的三角形四心问题题型总结

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍：‎ ‎1．“四心”的概念与性质 ‎(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有＋＋＝0或＝(＋＋)(其中P为平面内任意一点)．反之，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝，y＝.‎ ‎(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2.反之，若·＝·＝·，则H是△ABC的垂心．‎ ‎(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有||·＋||·＋||·＝0.反之，若||·＋||·＋||·＝0，则点I是△ABC的内心．‎ ‎(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0或||＝||＝||.反之，若||＝||＝||，则点O是△ABC的外心．‎ ‎2．关于“四心”的典型例题 ‎[例1]　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．‎ ‎[解析]　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ ‎[答案]　重 ‎[点评]　探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之．‎ ‎[例2]　已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB 之值．‎ ‎[解]　延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，‎ 则＝2，＝3，由条件，得＋＋＝0，所以点O是△AB1C1的重心．从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝S，其中S表示△AB1C1的面积，‎ 所以S△COA＝S，S△AOB＝S，S△BOC＝S△B1OC＝×S△B1OC1＝S.‎ 于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶＝1∶2∶3.‎ ‎[点评]　本题条件＋2＋3＝0与三角形的重心性质＋＋＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．‎ ‎[引申推广]　已知△ABC内一点O满足关系λ1＋λ2＋λ3＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.‎ ‎[例3]　求证：△ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线，且|HG|＝2|GO|.‎ ‎[证明]　对于△ABC的重心G，易知＝，‎ 对于△ABC的垂心H，设＝m(＋＋)，则 ‎＝＋m(＋＋)＝(m－1) ＋m＋m.‎ 由·＝0，得[(m－1) ＋m＋m](－)＝0，‎ ‎(m－1) ·(－)＋m(2－2)＝0，‎ 因为||＝||，‎ 所以(m－1) ·(－)＝0.但与不一定垂直，所以只有当m＝1时，上式恒成立．所以＝＋＋，从而＝，得垂心H、重心G、外心O三点共线，且||＝2||.‎ ‎[引申推广]‎ 重心G与垂心H的关系：＝(＋＋)．‎ ‎[点评]　这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量．‎ ‎[例4]　设A1，A2，A3，A4，A5 是平面内给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为(　　)‎ A．0　　　 B．1　　　‎ C．5　　　 D．10‎ ‎[解析]　根据三角形中的“四心”知识，可知在△ABC中满足＋＋＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个．‎ ‎[答案]　B ‎[点评]　本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的详细解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满足＋＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足＋＋＝0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足＋＋＋＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD，在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满足条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满足＋＋＋＋＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满足条件，且唯一．‎