2015安徽高考数学理科真题及解析

2015安徽高考数学理科真题及解析

‎ 2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（理科）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由 ‎ ‎ 其对应点的坐标为在第二象限，故选B.‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】选项中A,D都是偶函数，排除B,C. 而D选项与 轴没有交点，故选A.‎ ‎（3）设 则p是q成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由解得，可知由能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，‎ ‎ 故选A.‎ ‎（4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】选项A和B中的双曲线的交点都在上，可排除。D选项中的双曲线的 其 ‎ 渐近线方程为，故也可排除。因此答案选C.‎ ‎（5）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎（A）若，垂直于同一平面，则与平行 ‎（B）若，平行于同一平面，则与平行 ‎（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 ‎（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 ‎【答案】D ‎【解析】选项A中垂直于同一平面，关系可能相交，故排除。‎ ‎ 选项B中平行于同一平面，关系无法确定，故排除。‎ ‎ 选项C中不平行，在中可以存在与平行的直线，故排除。‎ 因此，答案选D。‎ ‎（6）若样本数据，，……，的标准差为，则数据，，，的 标准差为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设样本数据的平均数为 ，其标准差为8，则方差为64，‎ 数据，，，的平均数为，‎ 根据方差计算公式知方差为256，故其标准差为16。因此答案选C。‎ ‎（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示：‎ ‎ ，,‎ ‎ ，‎ 因此该四面体的表面积为，因此答案选B。‎ ‎（8）是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，故 ，故选项A错。又且,所以，‎ ‎ ，所以，故B,C错。‎ ‎ 因此答案选D.‎ ‎（9）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ ‎（A），， （B），，‎ ‎（C），， （D），，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题中图形可知易知，所以。当时，，所以。当时， 所以 ，所以。因此，答案选C。‎ ‎（10）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,‎ ‎ 又,知，即 所以可求出函数的一个解析式为，可以判断，因此答案选A。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11）的展开式中的系数是 （用数字填写答案）‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】由 ‎ 令得，所以所求的系数.‎ ‎（12）在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是 ‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由，得圆的方程为，化为标准方程为，直线方程为，可求得圆心到直线的距离为2，因此所求最大值为6.‎ ‎（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为 ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】当时，；当时，；当时，‎ ‎ 当时，，由于，故输出的值为4.‎ ‎（14）已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得方程和，解得，‎ ‎ 所以。‎ ‎（15）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个 实根的是 （写出所有正确条件的编号）‎ ‎； ； ；‎ ‎; .‎ ‎【答案】⑴ ⑶ ⑷ ⑸‎ ‎【解析】设，则。当时，，此时单调递增，‎ ‎ 若方程有一个实根，⑷ ⑸正确；当时，由于选项中，此时可求 得，由于方程仅有一根，须满足或，因此 ‎⑴ ⑶正确。综上可得本题正确选项是⑴ ⑶ ⑷ ⑸。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（16）（本小题满分12分）‎ 在中，,点D在边上，，求的长。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设的内角所对边的长分别是，‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ 所以 ………………………………4分 又由正弦定理得 由题设知所以 在中，由正弦定理得 ……………12分 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知2件次品和3件正品混 放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。‎ ‎ （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎ （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） =350‎ ‎【解析】（Ⅰ）第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品概率.……5分 ‎ （Ⅱ）由题意知的可能取值为200,300,400三种情况，‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ……………10分 所以的分布列如下 所以=350 ……………12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ 当时，.……………5分 ‎ （Ⅱ）由题设中和（1）中的计算结果知 ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 综上可得对任意的 均有 ……………12分 ‎（19）（本小题满分13分）‎ 如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）求二面角余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：, 平面, 平面 ‎ 平面 ……………3分 ‎ 又平面平面 ‎ 而 ‎ ……………6分 ‎ （Ⅱ）如图所示，将原图形补全为正方体，过作 ‎ 取的中点，连结，则 ‎ 所以是二面角的平面角……………9分 ‎ 设正方体的边长为，所以，‎ ‎ 所以 ‎ 故所求二面角的余弦值为 ……………13分 ‎（20）（本小题满分13分）‎ 设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.‎ ‎（I）求E的离心率 ；‎ ‎（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得 ‎ 因为可得 ‎ 所以，可得椭圆的离心率。……………5分 ‎（Ⅱ）设点关于对称的点为，的中点为， ‎ 由题意知，所以点的坐标为 所以 可求直线的方程为 ‎ 由及点在直线上得到 ‎ ①‎ ‎ ② ……………10分 ‎ 由①解得代入②并且由（Ⅰ）中可求得 ‎ ，故椭圆方程为 ……………13分 ‎（21）（本小题满分13分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；‎ ‎（Ⅱ）记上的最大值D；‎ ‎（Ⅲ）在中（Ⅱ）取 ‎【答案】（Ⅰ）①当时，，单调递减，无极值；‎ ‎②当时，，单调递增，无极值 ‎ ③当时，在内存在唯一的，使得，‎ ‎ 时，函数单调递减， 时，函数单调递增，‎ ‎ 因此，，时，有极小值为 ‎ 有极小值为 ；‎ ‎（Ⅱ）；（Ⅲ）最大值为1.‎ ‎【解析】（Ⅰ），令 ‎ 可求得=‎ ‎ 因为，所以 ，因此的符号决定的符号，‎ ‎①当时，，单调递减，无极值；‎ ‎②当时，，单调递增，无极值 ‎ ③当时，在内存在唯一的，使得，‎ ‎ 时，函数单调递减， 时，函数单调递增，‎ ‎ 因此，，时，有极小值为 ‎ ‎ ……………4分 ‎（Ⅱ）时， ‎ ‎ 当时，取等号成立，‎ ‎ 当时，取等号成立。‎ 由此可知，在上的最大值为 ‎ ……………8分 ‎（Ⅲ）即为，此时从而.‎ ‎ 取则，并且.‎ ‎ 由此可知，满足条件的最大值为1. ……………13分