上海春季高考数学试卷

上海春季高考数学试卷

‎2015年上海市普通高等学校春季招生统一考试 ‎（暨上海市普通高中学业水平考试）‎ 数学试卷 考生注意：‎ ‎1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；春季高考，共36道试题，满分150分．考试时间130分钟（学业水平考，共29题，满分120分．考试时间90分钟；附加题共7题，满分30分．考试时间40分钟）．‎ ‎2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．‎ ‎3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定 位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．‎ 第I卷 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 得3分，否则一律得零分．‎ ‎1．设全集．若，则 ．‎ ‎2．计算： （为虚数单位）．‎ ‎3．函数的最小正周期为 ．‎ ‎4．计算： ．‎ ‎5．以点为圆心、1为半径的圆的标准方程为 ．‎ ‎6．已知向量，．若，则 ．‎ ‎7．函数的值域是 ．‎ ‎8．若线性方程组的增广矩阵为、解为，则 ．‎ ‎9．方程的解为 ．‎ ‎10．在的二项展开式中，常数项的值为 ．‎ ‎11．用数字1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示）．‎ ‎12．已知点，直线，两个动圆均过且与相切，其圆心分别为、．若动点 满足，则的轨迹方程为 ． ‎ 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表 答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．‎ ‎13．若，则下列不等式恒成立的是（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎14．函数的反函数为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎15．不等式的解集为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎16．下列函数中，是奇函数且在单调递增的为 （ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎17．直线的倾斜角为 ( ) （A） （B） （C） （D）‎ ‎18．底面半径为1、母线长为2的圆锥的体积是 （ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎19．以点和为焦点、长轴长为8的椭圆方程为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎20．在复平面上，满足（为虚数单位）的复数所对应的点的轨迹为（ ） （A）椭圆 （B）圆 （C）线段 （D）直线 ‎21．若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则（ ） （A）单调递减 （B）单调递增 （C）有最大值 （D）有最小值 ‎22．已知，.若，则（ ） （A）有最小值 （B）有最小值 （C）有最大值 （D）有最大值 ‎23．组合数恒等于（　　） （A） （B） （C） （D）‎ ‎24．设集合，，，，其中．下列说法正确的是（　　　　） （A）对任意，是的子集；对任意，不是的子集 （B）对任意，是的子集；存在，使得是的子集 （C）存在，使得不是的子集；对任意，不是的子集 （D）存在，使得不是的子集；存在，使得是的子集 ‎ 三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎25．（本题满分8分）‎ ‎ 如图，在正四棱柱中，，和平面所成角的大小为，求该四棱柱的表面积．‎ ‎26．（本题满分8分）‎ ‎ 已知是实数，函数是奇函数，求在上的最小值及取到最小是时的值.‎ ‎27．（本题满分8分）‎ 某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距6.0海里.船由向正北方向航行8.1海里 达到处，这时灯塔与船相距多少海里（精确到0.1海里）？在船的什么方向（精确到）？ ‎ ‎28．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ ‎ 已知点、依次为双曲线的左、右焦点，，，‎ ‎. （1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离； （2）若在双曲线上存在点，使得，求的取值范围. ‎ ‎29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.‎ ‎ 已知函数. （1）解不等式：； （2）数列满足， 为的前项和.对，恒成立，‎ ‎ 求实数的取值范围. ‎ 第II卷 一、选择题（本大题满分9分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分．‎ ‎1．对于集合，“”是“”的( )‎ ‎ (A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件 (C)充要条件 （D）既非充分又非必要条件 ‎2．对于任意实数、，均成立，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ (A) （B） (C) （D）‎ ‎3．已知数列满足（），那么（ ）‎ ‎ (A) 是等差数列 （B）是等差数列 (C) 是等差数列 （D）是等差数列 二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．‎ ‎4．关于的实系数一元二次方程的两个虚数根为、，若、在复平面上对应的点是 ‎ 经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．‎ ‎5．已知圆心为O，半径为1的圆上有三点A、B、C，若，则 ．‎ ‎6．函数与的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段，不含，，，‎ x y A B O D C ‎1‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎ ，五个点，若的图像关于原点对称的图形即为的图像，则其中一个函数的 ‎ 解析式可以为 ．‎ 三、解答题（本大题满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎7． 对于函数、，若存在函数，使得，则称是的 ‎“关联函数”。‎ ‎（1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的 ‎ “关联函数”？若存在，写出的解析式；若不存在，说明理由；‎ ‎（2）已知函数、的定义域为，当，（）时，‎ ‎ ，若存在函数及，使得是的“关联函数”，‎ ‎ 且是的“关联函数”，求方程的解．‎ 参考答案（简略版）‎ 第I卷 一、填空题（第1题至第12题）‎ ‎1、 2、 3、 4、 5、 6、 ‎ ‎7、 8、 9、 10、 11、 12、 ‎ 二、选择题（第13题至第24题）‎ ‎13、D 14、A 15、D 16、B 17、A 18、D ‎19、B 20、D 21、C 22、A 23、A 24、B 三、解答题（第25题至第29题）‎ ‎25、解：．‎ ‎26、解：．‎ ‎27、解：由余弦定理得海里；再由正弦定理得南偏东约．‎ ‎28、解：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）设，代入化简可得．‎ ‎29、解：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）当时，；‎ ‎ 通过数列单调性定义，可得右式当时有最小值，．‎ 第II卷 一、选择题（第1题至第3题）‎ ‎1、C 2、B 3、D 二、填空题（第4题至第6题）‎ ‎4、 5、 6、答案不唯一， ，等 三、解答题（第7题）‎ 解：‎ ‎（1）不存在；若，当时，，而的定义域不是，‎ ‎ 而当时，，等式不可能成立．‎ ‎（2）由题意，易证与同解．而由，可得，经过讨论，解得．‎