第十五次高考物理中的最值问题1含答案

第十五次高考物理中的最值问题1含答案

高考物理中的最值问题1‎ 为什么要仔细研读题目的理由：‎ ‎1 （2015浙江高考选择题19）如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r．一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A´B´线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O'为圆心的半圆，OO' =r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax．选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道（所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大），则（ ）‎ A． 选择路线 ①，赛车经过的路程最短 ‎ B． 选择路线 ②，赛车的速率最小 ‎ C． 选择路线 ③，赛车所用时间最短  ‎ D． ‎①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 ‎【答案】ACD A、选择路线①，赛车经过的路程为πr+2r=(π+2)r，选择路线②，赛车经过的路程为2rπ +2r=(1+π)2r；选择路线③，赛车经过的路程为π（2r）=2πr；所以，选择路线①，赛车经过的路程最短，故A对；‎ B、因为 Fmax=，R越小，v越小，故路线①速率最小，B错 C、②③二条路线速度最大，但路线③路程短，赛车所用时间最短，C对 D、因为 Fmax=，所以D对。‎ ‎2（2016年选择题20）如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O'距离L=100m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度g=10m/s2,=3.14）。‎ A． 在绕过小圆弧弯道后加速 ‎ B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 ‎ D．通过小圆弧弯道的时间为5.85 s ‎【答案】AB A．在弯道上做匀速圆周运动，赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短，则在弯道上都由最大静摩擦力提供向心力，速度最大，由BC分析可知，在绕过小圆弧弯道后加速，故A正确； B．设经过大圆弧的速度为v，经过大圆弧时由最大静摩擦力提供向心力，由 2.25mg=m 可知，代入数据解得：v=45m/s，故B正确； C．设经过小圆弧的速度为v0，经过小圆弧时由最大静摩擦力提供向心力，由2.25mg=m，代入数据解得：v0=30m/s，‎ 由几何关系可得直道的长度为：x=m，‎ 再由v2-=2ax 代入数据解得：a=6.50m/s，故C错误； D．设R与OO'的夹角为α，由几何关系可得：cosα=，α=600，小圆弧的圆心角为：1200，‎ 经过小圆弧弯道的时间为t=2πr×=2.79s，故D错误． 故选：AB．‎ ‎3（2017年计算题20）图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为 r1=10m，r2=20m，弯道2比弯道1高h=12m，有一直道与两弯道相切，质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑（sin37°=0.6，sin53°=0.8） （1）求汽车沿弯道1中心线行驶的最大速度v1；（2）汽车以v1进入直道，以P=30kW的恒定功率直线行驶了t=8.0s进入弯道2此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力外的阻力对汽车做的功；‎ ‎（3）汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道。设路宽d=10m，求此最短时间（A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点）。‎ ‎（1）弯道1的最大速度，得 ‎（2）弯道2的最大速度，得 直道上由动量定理 代入数据可得 ‎（3）沿如图所示内切的路线行驶时间最短，由图可得 ‎ 汽车沿该路线行驶的最大速度：‎ 得 由 ‎ 线路长度 最短时间 ‎4 （浙江2018年4月选考选择题8）如图所示，小芳在体重计上完成下蹲动作。下列F-t图像能反映体重计示数随时间变化 ‎【答案】C ‎5 （北京2017模拟）如图所示，某同学站在体重计上观察超重与失重现象。由稳定的站姿变化到稳定的 蹲姿称为“下蹲”过程；由稳定的蹲姿变化到稳定的站姿称为“起立”过程。她稳定站立时，体重计的示数为A0，关于实验现象，下列说法正确的是（ ）  ‎ A． ‎“起立”过程，体重计的示数一直大于A0 ‎ B． ‎“下蹲”过程，体重计的示数一直小于A0  ‎ C． ‎“起立”、“下蹲”过程，都能出现体重计的示数大于A0的现象 D．“起立”的过程，先出现超重现象后出现失重现象 ‎【答案】CD 下蹲过程中，人先向下做加速运动，后向下做减速运动，所以先处于失重状态后处于超重状态； 人从下蹲状态站起来的过程中，先向上做加速运动，后向上做减速运动，最后回到静止状态，人先处于超重状态后处于失重状态，故AB错误，CD正确 故选：CD．‎ ‎【同类题】如图所示，是某同学站在压力传感器上，做下蹲-起立的动作时记录的力随时间变化的图线．由图线可知，该同学的体重约为650N，除此以外，还可以得到以下信息（　　）‎ A．该同学做了一次下蹲-起立的动作，且下蹲后约2 s起立 B．该同学做了两次下蹲-起立的动作 C．下蹲过程中人一直处于失重状态 D．下蹲过程中人先处于超重状态后处于失重状态 A、人下蹲动作分别有失重和超重两个过程，先是加速下降失重，到达一个最大速度后再减速下降超重对应先失重再超重，起立对应先超重再失重，对应图象可知，该同学做了一次下蹲-起立的动作，由图象看出两次超重的时间间隔就是人蹲在地上持续的时间，约2s，故A正确，B错误； C、下蹲过程既有失重又有超重，且先失重后超重，C、D均错误； 故选：A ‎【同类题】（2016郑州模拟）图甲是某人站在力传感器上做下蹲.起跳动作的示意图，中间的·表示人的重心。图乙是根据传感器采集到的数据画出的力一时间图线。两图中a～g各点均对应，其中有几个点在图甲中没有画出。取重力加速度g＝10 m／s2。根据图象解题思路可知（    ）‎ A人的重力为1500 N B c点位置人处于超重状态 C e点位置人处于失重状态 D d点的加速度小于f点的加速度 ‎【答案】B解析 A.开始时人处于平衡状态，人对传感器的压力是500N，根据牛顿第三定律和功率的平衡可知，人的也是500N．故A错误；‎ B.c点时人对传感器的压力大于其重力，处于超重状态．故B正确；‎ C.e点时人对传感器的压力大于其重力，处于超重状态．故C错误；‎ D.人在d点：m/s2‎ 人在f点：m/s2，可知d点的加速度大于f点的加速度．故D错误．‎ 故选：B ‎【同类题】人站在体重计上，当下蹲和起立时，能看到超重和失重的现象，如图所示，小女孩从站立到下蹲过程中，指针示数的变化应是（　　） A先增加，后还原 B先减小，后还原 C先增加，后减小，再还原 D先减小，后增加，再还原 ‎【答案】D ‎【例题】‎ ‎1甲乙两地相距，摩托车的加速度为12，减速时的加速度为12摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？‎ 分析：题目中并没有说明摩托车由甲地往乙地是如何运动的，从甲地往乙地所用时间最短这一临界状态是解决问题的突破口。分析的方法可以用数学推导法，也可以用图象分析法等。‎ 解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为1，匀速运动时间为2，减速运动时间为3，总时间为，则：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 联立以上六式并代入数据得：‎ 要使以上方程有解，须判别式Δ≥0，即：‎ ‎ ， 所以 ，即最短时间为。‎ 故有：，解得：。‎ 可见摩托车从甲地到乙地先加速后紧接着减速达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。‎ 最大速度为：。‎ ‎ ‎ v vm 解法二：用图象分析法。建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距离，在保证“面积”不变的情况下要使运动时间变小，只有把梯形变成三角形。‎ ‎ ， ‎ 联立以上三式得：最短时间为，最大速度为。‎ ‎2 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为，盘与桌面间的动摩擦因数为。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边 。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度) ‎ 解：（解法一）对盘在桌布上有 μ1mg=ma1  ①‎ 在桌面上有 μ2mg=ma2  ②‎ υ12=2a1s1  ③‎ υ12=2a2s2  ④‎ 盘没有从桌面上掉下的条件是s2≤l－s1  ⑤‎ 对桌布s=at2  ⑥‎ 对盘s1=a1t 2  ⑦‎ 而s=l+s1  ⑧‎ 由以上各式解得  ⑨‎ ‎（解法二）动量定理求解 以圆盘为研究对象，对加速过程分析，圆盘受摩擦力冲量而获得动量，由动量定理得    mv－０＝μ1mgt1，  ‎ 设圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速运动的时间为t2，有   ‎ ‎ s2＝vt2－＝≤－s1，  ‎ 从全过程看，使圆盘没有从桌面掉落是由于圆盘受到桌布对它的冲量等于桌面对它相反方向的冲量，即  ，  联立解得 ‎ 由功能关系或动能定理可知，圆盘之所以没有从桌面掉落，是由于桌布对圆盘所做的（正）功W1等于桌面对圆盘所做的（负）功W2，即  ‎ W1＝W2，         ‎ 又 W1＝f1 s1，    W2＝f2 s2≤μ2mg（－s1），  ‎ 解得 ．‎ ‎（解法三）v-t图像求解 由题意作v-t图如图所示，根据图象可知，OA直线表 示桌布在从圆盘下抽出前的速度随时间ｔ的变化关系，OB直线表示圆盘加速的情形，BD直线则表示圆盘减速时的情形，ｖ曲线与ｔ轴之间的面积大小在数值上等于相应时间内的物体的位移大小，‎ 故有 S△OAB＝，  解得      ‎ 故 S△OAB＝，  ‎ 又 v＝μ1gt1＝μ2gt2，  ‎ 解得 ．‎ N f mg 图2 ‎ x F α ‎3倾角为度的斜面上放置一个重的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为，要使物体恰好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？ ‎ 分析；由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成角向上，物体的受力分析如图2所示。‎ 解：x方向：‎ y方向： 其中 ‎ 联立以上三式求解得：，‎ 其中。当时有极值：。‎ ‎【练习】‎ ‎1 质量为m的物体放在一水平放置的粗糙木板上，缓慢抬起木板的一端，在如下图所示的几个图线中，哪一个最能表示物体的加速度与木板倾θ角的关系（ ）‎ ‎ ‎ 解析：物体放在木板上，当斜面斜角为θ 时，有方程 F mgsinθ＞ɑ mgcosθ时，物体才开始下滑，当θ角小于此值时，物体在斜面上静止，加速度a =0，当θ角大于此值时，物体开始加速下可见a与θ 的关系为非线性关系。‎ 答案：所以D正确。‎ ‎2如图所示，质量为的木块与水平地面的动摩擦因数，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？‎ 解析： 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有 整理得 ‎ 令，可知，当A取最大值时a最大。‎ 利用三角函数知识有：，‎ 其中，而，‎ 与此相对应的角为 所以加速度的最大值为：‎ 此时木块离定滑轮的水平距离为：‎ ‎3 如图所示，一质量为m的小物块B，放在质量为M的长木板A的左端，m=3M。长木板A静止在光滑水平面上，A、B之间的动摩擦因数为μ。现使二者一起以初速度开始向右运动，运动一段距离后，长木板A与固定竖直挡板相撞。已知A与挡板碰撞时间极短，且无机械能损失。运动过程中，B始终没从长木板A上脱落。求：‎ ‎（1）长木板A第二次与挡板碰撞前，B在A上的滑痕长度s；‎ ‎（2）当长木板A长度L满足什么条件时，保证B不会从A上脱落。‎ 解：（1）长木板A与挡板碰后，被等速率反弹。木板A与物块B系统动量守恒，设第一次达到共速，取向左为正。则有： ‎ ‎      ‎ ‎      解得 ，方向向右 ‎  长木板A向左作匀减速运动，共速时滑痕最长。设最大滑痕为s1      ‎ 据能量守恒：‎ ‎      解得：‎ ‎（2）B始终没从板A上脱落，则长木板A与B将再次共速，一起向右运动，重复（1）问中的运动，直至二者速度均为零，板A右端挨着挡板。由于B一直相对A向右运动，则B相对A滑动的总路程与B相对A滑动的位移相等。设木板最短长度为，据系统能量守恒，则有：      ‎ ‎      解得： ‎ A O ‎1‎ 图10‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4 如图所示，在竖直平面内有一固定点O，O点系一长为的轻绳绳的另一端系一质量为的小球，把小球拉离平衡位置使绳与竖直方向的夹角为，然后让小球绕O点在竖直平面内摆动，现在O点的正下方点钉一铁钉，要使小球能摆到原来的高度，则铁钉与O点的距离X必须满足什么条件？‎ 分析：小球若能摆到最高位置，意味着小球达到最高点时的速度为零。小球的运动轨迹是圆周的一部分，那么圆周上哪些位置小球的速度可能为零？先来分析这个问题。找圆周上三个特殊位置和二个一般位置来分析，这五个位置的受力情况如图10所示，对应的动力学方程为：‎ 位置1： ① ‎ 位置2：　②‎ 位置3：　 ③‎ 位置4：　④　‎ 位置5：　⑤‎ ‎ 要使小球在竖直平面内做圆周运动，则绳对小球的拉力必须大于或等于零，即，在1、2、3三个位置小球的速度可以为零，而在4、5位置小球的速度不能为零，否则小球将会离开圆周，若小球保持做圆周运动，由④⑤两式可知，当时，有。由上面的分析可知；要使小球在圆周上运动，且在某点的速度等于零，则这些位置只能在圆周水平直径以下的这部分圆周上（包括水平直径的两个端点），在这个问题中，水平直径的两个端点就是临界点。‎ ‎ 所以，该题中要求小球能摆到原来的高度，则钉子的位置与小球释放时的位置在同一等高线上是临界位置，钉子的位置只能在这一等高线以上，即x。‎ ‎ 归纳：在竖直圆周上运动的问题较复杂，分析这类问题的关键是分析物体在不同位置时的受力情况，然后建立动力学方程进行讨论分析。实际上，要使小球在绳子的拉力作用下能在竖直平面内做完整的圆周运动，必须具备的条件就是绳子的拉力大于或恰好等于零，由此可以得出小球达到最高点时这一速度临界条件。‎