高考浙江理科数学试题及答案解析

高考浙江理科数学试题及答案解析

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2015年浙江，理1】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，故选C．‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎（2）【2015年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为2，所以该几何体的体积，故选C．‎ ‎【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．‎ ‎（3）【2015年浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，‎ 则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为成等比数列，所以，化简得，，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础题．‎ ‎（4）【2015年浙江，理4】命题“ 且的否定形式是（ ）‎ ‎（A）且 （B）或 ‎（C）且 （D）或 ‎【答案】D ‎【解析】全称命题，的否定是，，所以命题的否定为：， 或，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎（5）【2015年浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的 点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，抛物线的准线的方程为，又由抛物线定义知，，，，，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．‎ ‎（6）【2015年浙江，理6】设是有限集，定义，其中表示有限 集A中的元素个数（ ）‎ ‎ 命题①：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集，．‎ ‎（A）命题①和命题②都成立 （B）命题①和命题②都不成立 ‎（C）命题①成立，命题②不成立 （D）命题①不成立，命题②成立 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，命题①：‎ ‎，，命题①成立．‎ 命题②：由维恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：‎ ‎，因为 且，故命题②成立，故选A．‎ ‎【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．‎ ‎（7）【2015年浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A：当时，；当时，；‎ ‎ 选项B：当时，；当时，；‎ 选项C：当时，；当时，；或为偶函数，然而并不是偶函数；‎ 选项D：，令得，，再令，则，，故函数可以满足要求，故选D．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．‎ ‎（8）【2015年浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，‎ 所成二面角的平面角为，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法一：‎ 考查特殊值，用排除法，若，则当时，，排除D，当时，‎ ‎，，排除A，C，故选B．‎ 解法二：‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，如图，点投影在上，，连接，易得，，即．‎ 综上所述，，故选B．‎ ‎【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． ‎ ‎（9）【2015年浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，，焦距，焦距为，渐近线．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎（10）【2015年浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 ．‎ ‎【答案】0；‎ ‎【解析】；当时，（当时取最小值）当时取最小值，当时，，，的最小值为．‎ ‎【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．‎ ‎（11）【2015年浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，所以最小正周期；‎ 单调递减区间：，化简得，‎ 单调递减区间：．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．‎ ‎（12）【2015年浙江，理12】若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可知，即，所以．‎ ‎【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．‎ ‎（13）【2015年浙江，理13】如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 __．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点，因为，则为异面直线，所成的角．，，，又，，．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎（14）【2015年浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，即，‎ 如图，直线将直线分成了两部分：‎ ‎①在阴影区域内的满足，即，‎ 此时，‎ 利用线性规划可知在处取得最小值3；‎ ‎ ②在阴影区域外的满足，即，‎ ‎ 此时，‎ ‎ 利用线性规划可知在处取得最小值3．‎ ‎ 综上，当，时，的最小值为3．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．‎ ‎（15）【2015年浙江，理15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．‎ ‎【答案】，，．‎ ‎【解析】，，不妨设，，，则由题意知，，解得，，，‎ ‎，，由题意，当，时，取到最小值1，此时，故．‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．‎ 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（16）【2015年浙江，理16】（本小题满分14分）在中，内角所对边分别为．已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为7，求的值．‎ 解：（Ⅰ）由及正弦定理得，故．又由，即，‎ 得，解得．‎ ‎（Ⅱ）由得，，又，故，由正弦定理得，又，，故，故．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎（17）【2015年浙江，理17】（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，，‎ ‎，在底面的射影为的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．‎ 解：解法一：‎ ‎（Ⅰ）设为的中点，连．由题平面，故．因，故 ‎， 从而平面．由分别的中点，得且，‎ 从而，且，所以为平行四边形，故．又平面，‎ 故平面．‎ ‎（Ⅱ）作于，连，由题，，得．‎ 由，，得．由，得，因此 为二面角的平面角．由，，，得，‎ ‎，由余弦定理得．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，以中点为原点，方向为轴正方向，为轴正方向，为轴正方 向，建立空间直角坐标系．，，，易知 ‎，，，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，又，，又 ‎，平面．‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为，知，，则 取，设平面的法向量为，则，‎ ‎，则取，，‎ 又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎（18）【2015年浙江，理18】（本小题满分15分）已知函数，记是在区间上的最大值．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）当满足，求的最大值．‎ 解：（Ⅰ）由，得对称轴为直线，由，得，‎ 故在上单调，因此．‎ 当时，，故，，即；当时，，故，，即．综上，当时，． ‎ ‎（Ⅱ）由得，，故，，‎ 由，得．当，时，，且在 ‎ 的最大值为2，即，故的最大值为3． ‎ ‎【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解是在区间上的最大值，以及利用三角不等式变形．‎ ‎（19）【2015年浙江，理19】（本小题满分15分）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值（为坐标原点）．‎ 解：（Ⅰ）由题知，可设直线：，代入椭圆方程并整理得． 因直线与椭圆有两个不同的交点，故 ①．将中点代入直线方程得 ②．由①②得或． ‎ ‎（Ⅱ）令，则，且到的距离为，故的面积，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎（20）【2015年浙江，理20】（本小题满分15分）已知数列满足且，数列的前项和为，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ 解：（Ⅰ）由题，即，故．‎ 由得，‎ 故，从而，即．‎ ‎（Ⅱ）由题，故 ①．由和得，，‎ 故，因此 ②，‎ 由①②得．‎ ‎【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．‎