高考数学统计统计案例与概率文

高考数学统计统计案例与概率文

质量检测(七)‎ 测试内容：统计、统计案例与概率 ‎(时间：120分钟　满分：150分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下 组别 ‎(0,10]‎ ‎(10,20]‎ ‎(20,30]‎ ‎(30,40]‎ ‎(40,50]‎ ‎(50,60]‎ ‎(60,70]‎ 频数 ‎12‎ ‎13‎ ‎24‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13‎ ‎7‎ 则样本数据落在(10,40]上的频率为 (　　)‎ A．0.13 B．0.39 ‎ C．0.52 D．0.64‎ 解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52.‎ 答案：C ‎2．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 (　　)‎ A．50 B．47 ‎ C．48 D．52‎ 解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，则第2小组的频率是0.75×＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.‎ 答案：C ‎3．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎5 727　0 293　7 140　9 857　0 347　4 373　8 636　9 647　1 417　4 698　0 371　6 233　2 616　8 045　6 011　3 661　9 597　7 424　6 710　4 281‎ 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 (　　)‎ A．0.85 B．0.819 2 ‎ C．0.8 D．0.75‎ 解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P＝＝0.75.‎ 答案：D ‎4．(2012年山东)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 (　　)‎ A．众数 B．平均数 ‎ C．中位数 D．标准差 解析：由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.‎ 答案：D ‎5．(2012年哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 (　　)‎ A．13,12 B．13,13 ‎ C．12,13 D．13,14‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a‎1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B.‎ 答案：B ‎6．(2012年辽宁大连四所重点中学联考)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 加工时间y(min)‎ ‎62‎ ‎68‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ ‎95‎ ‎102‎ ‎108‎ 设回归方程为＝x＋，则点(，)在直线x＋45y－10＝0的 (　　)‎ A．左上方 B．左下方 ‎ C．右上方 D．右下方 解析：依题意得，＝×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，＝ ‎×(62＋68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.因为样本中心点(，)在回归直线上，所以85＝45＋，所以a＋45b＝85>10，因此点(，)必位于直线x＋45y－10＝0的右上方，选C.‎ 答案：C ‎7．(2012年宝鸡模拟)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的人数是 ‎ (　　)‎ A．32 B．27 ‎ C．24 D．33‎ 解析：位于(80,100)之间人数所占的比例为 ＝，‎ ‎∴共有人数×60＝33人．‎ 答案：D ‎8．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．‎ 记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.‎ 答案：D ‎9．(2012年豫南九校联考)从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：当m＝－1，n＝－1时，表示焦点在y轴上的双曲线；当m＝2，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；‎ 当m＝3，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m＝2，n＝－1时，表示椭圆；‎ 当m＝3，n＝－1时，表示椭圆．‎ ‎∴方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为P＝.‎ 答案：B ‎10．(2012年汉中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是 因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是＝.‎ 答案：A ‎11．(2012年石家庄名校联考)下列命题：①若函数f(x)＝x2－2x＋3，x∈[－2,0]的最小值为2；②线性回归方程＝x＋对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；④若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a＋5，方差为b＋25.其中，错误命题的个数为 (　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ 解析：因为f(x)＝(x－1)2＋2，此函数在[－2,0]上为减函数，所以x＝0时，f(x)最小为3，①错误；线性回归方程对应的直线不一定经过样本点，所以②错误；特称命题的否定为全称命题，③正确；若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a＋5，方差为b，所以④错误，综上所述，错误命题为①、②、④，故选D.‎ 答案：D ‎12．关于统计数据的分析，有以下几个结论：‎ ‎①一组数不可能有两个众数；‎ ‎②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；‎ ‎③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；‎ ‎④一组数据的方差一定是正数；‎ ‎⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆．‎ 则这5种说法中错误的个数是 (　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ 解析：一组数中可以有两个众数，故①错；根据方差的计算可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．故选B.‎ 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．(2012年福建)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．‎ 解析：男女运动员人数比例为：‎ ＝，‎ 分层抽样中男女人数比例不变，则女运动员人数为 ‎28×＝12.‎ 故应抽取女运动员人数为12.‎ 答案：12‎ ‎14．(2013届宁夏银川月考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.‎ ‎(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；‎ ‎(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．‎ 解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x＋3y＝25的距离d＝＝5.‎ ‎(2)如图l′∥l，且O到l′的距离为3，sin∠ODE＝＝，所以∠ODE＝60°，从而∠BOD＝60°，点A应在劣弧上，所以满足条件的概率为.‎ 答案：5　 ‎15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是____．‎ 解析：∵中位数为10.5，‎ ‎∴＝10.5，a＋b＝21，‎ ‎∵＝＝10，‎ ‎∴s2＝[(2－10)2＋(3－10)2＋(3－10)2＋(7－10)2＋(a－10)2＋(b－10)2＋‎ ‎(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]．‎ 令y＝(a－10)2＋(b－10)2‎ ‎＝‎2a2－‎42a＋221‎ ‎＝2(a－)2＋.‎ 当a＝10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值．‎ ‎∴a＝10.5，b＝10.5.‎ 答案：10.5、10.5‎ ‎16．(2012年银川质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机取出n名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁，根据调查结果得出司机的年龄情况的部分频率分布直方图如图所示，则由该图可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的________．‎ 解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的20%.‎ 答案：20%‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(2012年湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ 解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，‎ 所以x＝15，y＝20.‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ＝1.9(分钟)．‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得 P(A1)＝＝，‎ P(A2)＝＝，‎ P(A3)＝＝.‎ 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以 P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎18．关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：‎ 使用年限x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎(1)请画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)求线性回归方程＝x＋.‎ 解：(1)由图中所给数据，画散点图如图所示．‎ ‎(2)＝＝4，‎ ＝＝5，‎ ＝22＋32＋42＋52＋62＝90，‎ iyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，‎ ‎∴＝＝＝1.23，‎ ＝－＝5－1.23×4＝0.08，‎ ‎∴线性回归方程为＝1.23x＋0.08.‎ ‎19．(2012年江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．‎ ‎(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；‎ ‎(2)求这3点与原点O共面的概率．‎ 解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：‎ x轴上取2个点的有A‎1A2B1，A‎1A2B2，A‎1A2C1，A‎1A2C2，共4种；‎ y轴上取2个点的有B1B‎2A1，B1B‎2A2，B1B‎2C1，B1B‎2C2，共4种；‎ z轴上取2个点的有C‎1C2A1，C‎1C2A2，C‎1C2B1，C‎1C2B2，共4种．‎ 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B‎1C1，A1B‎1C2，A1B‎2C1，A1B‎2C2，A2B‎1C1，A2B‎1C2，A2B‎2C1，A2B‎2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．‎ ‎(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B‎1C1，A2B‎2C2，共2种．‎ 因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.‎ ‎(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A‎1A2B1，A‎1A2B2，A‎1A2C1，A‎1A2C2，B1B‎2A1，B1B‎2A2，B1B‎2C1，B1B‎2C2，C‎1C2A1，C‎1C2A2，C‎1C2B1，C‎1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.‎ ‎20．(2012年山东)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.‎ ‎(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．‎ 解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：‎ ‎(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．‎ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．‎ 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.‎ ‎(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．‎ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．‎ 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.‎ ‎21．(2012年石家庄质检)某工科院校对A，B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：‎ 专业A 专业B 总计 女生 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 男生 ‎38‎ ‎46‎ ‎84‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？‎ ‎(2)从专业B的女生中随机抽取2名，代表该专业参加文艺汇演，求女生甲和女生乙至少一人参加的概率．‎ 注：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 解：(1)根据列联表中的数据 K2＝≈4.762，‎ 由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．‎ ‎(2)设4名女生分别为甲、乙、丙、丁，从4名女生中选取2名的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，女生甲和女生乙至少一人参加的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共5个，所以女生甲和女生乙至少一人参加的概率P＝.‎ ‎22．(2012年北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．‎ ‎(注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数)‎ 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ‎＝＝.‎ ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．‎ 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.‎ ‎(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．‎ 因为＝(a＋b＋c)＝200，‎ 所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]‎ ‎＝80 000.‎