三年高考两年模拟数学试题与解析平面向量
【3年高考2年模拟】
第五章 平面向量
第一部分三年高考荟萃
2012年高考数学解析汇编
一、选择题
1 ．（2012辽宁文）已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x = （ ）
A．—1 B．—C．D．1
2 ．（2012辽宁理）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是 （ ）
A．a∥bB．a⊥b
C．{0,1,3} D．a+b=ab
3 ．（2012天津文）在中,,,设点满足.若,则
（ ）
A．B．C．D．2
4 ．（2012重庆文）设 ,向量且 ,则 （ ）
A．B．C．D．
5 ．（2012重庆理）设R,向量,且,则 （ ）
A．B．C．D．10
6 ．（2012浙江文）设a,b是两个非零向量. （ ）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
7 ．（2012浙江理）设a,b是两个非零向量. （ ）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
8 ．（2012天津理）已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,
,,若,则 （ ）
A．B．C．D．
9 ．（2012广东文）(向量、创新)对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则 （ ）
A．B．1 C．D．
10 ．（2012广东文）(向量)若向量,,则 （ ）
A．B．C．D．
11 ．（2012福建文）已知向量,则的充要条件是 （ ）
A．B．C．D．
12 ．（2012大纲文）中,边的高为,若,,,,,则 （ ）
A．B．C．D．
13 ．（2012湖南理）在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.（ ）
A．B．C．D．
14 ．（2012广东理）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则 （ ）
A．B．1 C．D．
15 ．（2012广东理）(向量)若向量,,则 （ ）
A．B．C．D．
16 ．（2012大纲理）中,边上的高为,若
,则 （ ）
A．B．C．D．
17．（2012安徽理）在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是 （ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2012浙江文）在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
11．（2012上海文）在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上
的点,且满足,则的取值范围是_________ .
12．（2012课标文）已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______.
13．（2012江西文）设单位向量。若,则_______________。
14．（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且= _____.
15．（2012湖北文）已知向量,则
(Ⅰ)与同向的单位向量的坐标表示为____________;
(Ⅱ)向量与向量夹角的余弦值为____________.
16．（2012北京文）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________.
17．（2012安徽文）设向量,若⊥,则.
18、．（2012新课标理）已知向量夹角为,且;则
19、．（2012浙江理）在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.
20、．（2012上海理）在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________ .
21、．（2012江苏）如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是___.
22．（2012北京理）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;
的最大值为________.
23．（2012安徽理）若平面向量满足:;则的最小值是
参考答案
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】,故选D
【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题.
2、【答案】B
【解析一】由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0, 所以a⊥b,故选B
【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.
3. 【解析】如图,设 ,则,又,,由得,即,选B.
4. 【答案】B
【解析】,
【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分.
5【答案】B
【解析】由,由,故.
【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据、,得到的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.
6. 【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系.
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
7、【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
8、【答案】A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】∵=,=,
又∵,且,,,∴,,所以,解得.
9. 解析:C.,,两式相乘,可得.因为,所以、都是正整数,于是,即,所以.而,所以,,于是.
10. 解析:A..
11. 【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D正确
【答案】D
【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质.
12. 答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.
【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D
13、【答案】A
【解析】由下图知
.
.又由余弦定理知,解得.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.
14、【解析】C;因为,且和都在集合中,所以,,所以,且,所以,故有,选C.
【另解】C;,,两式相乘得,因为,均为正整数,于是,所以,所以,而,所以,于是,选C.
15、解析:A..
16、答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.
【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D
17、【解析】选
【方法一】设
则
【方法二】将向量按逆时针旋转后得
则
二、填空题
10. 【答案】-16
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.
【解析】由余弦定理,
,,两式子相加为,
,
.
11. A
B
D
C
y
x
2
1
(O)
M
N
[解析] 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).
设Î[0,1],则,,
所以M(2,t),N(2-2t,1),
故=4-4t+t=4-3t=f(t),因为tÎ[0,1],所以f (t)递减,
所以()max= f (0)=4,()min= f (1)=1.
12. 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或(舍)
13. 【答案】
【解析】由已知可得,又因为m为单位向量所以,联立解得或代入所求即可.
【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.
14. 【答案】18
【解析】设,则,=
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
15. (Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由,得.设与同向的单位向量为,则且,解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
(Ⅱ)由,得.设向量与向量的夹角为,则.
【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.
16. 【答案】;
【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
17. 【解析】
18、【解析】
19、【答案】
【解析】此题最适合的方法是特例法.
假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,
AM=3,BC=10,AB=AC=.
cos∠BAC=.=
20、x
y
A
B
C
D
M
N
[解析] 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,).
设Î[0,1],则,,
所以M(2+,),N(-2t,),
故=(2+)(-2t)+×=,
因为tÎ[0,1],所以f (t)递减,( )max= f (0)=5,()min= f (1)=2.
[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
21、【答案】.
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.
【解析】由,得,由矩形的性质,得.
∵,∴,∴.∴.
记之间的夹角为,则.
又∵点E为BC的中点,∴.
∴
.
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.
22、【答案】;
【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
23、【解析】的最小值是
2011年高考题
一、选择题
1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF中，=
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】
2.（山东理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且,则称，调和分割，,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
3.（全国新课标理10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中真命题是
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
4.（全国大纲理12）设向量a，b，c满足==1，=，=，则的最大值等于
A．2 B． C． D．1
【答案】A
5.（辽宁理10）若，，均为单位向量，且，，则
的最大值为
（A）（B）1 （C）（D）2
【答案】B
6.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]
【答案】D
7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
8.（广东理5）已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为C
A． B． C．4 D．3
【答案】
9.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
二、填空题
10.（重庆理12）已知单位向量，的夹角为60°，则__________
【答案】
11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是。
【答案】
12.（天津理14）已知直角梯形中，//,,,是腰
上的动点，则的最小值为____________.
【答案】5
13.（上海理11）在正三角形中，是上的点，，则。
【答案】
14.（江苏10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为 .
【答案】
15.（安徽理13）已知向量满足，且，，
则a与b的夹角为 .
【答案】
16.（北京理10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=__________。
【答案】1
17.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC中, 设则__________________．
【答案】
18.（江西理11）已知,·=-2，则与的夹角为
【答案】
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
【答案】 C
2.（2010全国卷2理）中，点在上，平方．若，，
，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.
3.（2010辽宁文）平面上三点不共线，设,则的面积等于
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
解析：
4.（2010辽宁理）平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
【解析】三角形的面积S=|a||b|sin
，而
5.（2010全国卷2文）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=
（A）a +b （B）a +b （C）a +b （D）a +b
【答案】 B
【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD为角平分线，∴，∵，∴，∴
6.（2010安徽文）设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B)
(C) (D)与垂直
【答案】D
【解析】，，所以与垂直.
【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.
7.（2010重庆文）若向量，，，则实数的值为
（A） （B）
（C）2 （D）6
【答案】 D
解析：，所以=6
8.（2010重庆理）已知向量a，b满足，则
A. 0 B. C. 4 D. 8
【答案】 B
解析：
9.（2010山东文）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是
(A)若a与b共线，则
(B)
(C)对任意的，有
(D)
【答案】B
10.（2010四川理）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
则
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
解析：由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
【答案】C
11.（2010天津文）如图，在ΔABC中，，，，则=
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
12.（2010广东文）
13.（2010福建文）
14.（2010全国卷1文）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
P
A
B
O
【解析1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，所以
，，解得或.故.此时.
【解析2】设，
换元：，
【解析3】建系：园的方程为，设，
15.（2010四川文）设点是线段的中点，点在直线外，， ，则
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
【答案】C
解析：由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
16.（2010湖北文）已知和点M满足.若存在实使得成立，则=
A.2 B.3 C.4 D.5
17.（2010山东理）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（ ）
A.若与共线，则 B.
C.对任意的，有 D.
【答案】B
【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而
，所以有，故选项B错误，故选B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
18.（2010湖南理）在中，=90°AC=4，则等于
A、-16 B、-8 C、8 D、16
19.(2010年安徽理)
20.（2010湖北理）已知和点M满足.若存在实数m使得
成立，则m=
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
1.（2010上海文）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 4ab=1 。
解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又
双曲线方程为，=，
，化简得4ab=1
2.（2010浙江理）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .
解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。
3.（2010陕西文）已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则
m＝ .
【答案】－1
解析：，所以m=-1
4.（2010江西理）已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则
【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：
5.（2010浙江文）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。
答案：
6.（2010浙江文）（13）已知平面向量则的值是
答案 ：
7.（2010天津理）（15）如图，在中，,,
,则 .
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
8.（2010广东理）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件= -2,则= .
【答案】2
，，解得．
三、解答题
1.（2010江苏卷）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足()·=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
（1）（方法一）由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，。
由()·=0，得：，
从而所以。
或者：，
第二部分 两年模拟题
全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编
1、【江西省泰和中学2012届高三12月周考】已知平面向量，满足与的夹角为，则“m=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C．
【解析】解析：，，选Ｃ
2、【山东省日照市2012届高三上学期期末理】（3）如图所示，已知则下列等式中成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A 解析：由，即。
3、【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】11. 的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（）
(A).(B).(C). 3 (D).
【答案】A
【解析】由已知可以知道，的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此是直角三角形。且，又因为
因此答案为A
4、【山东省微山一中2012届高三10月月考理】9．若，恒成立，则△ABC的形状一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】根据遇模平方，恒成立可以转化为:
由余弦定理得:
由正弦定理得:.由上可知:该题综合考查向量的模、数量积、二次不等式恒成立、正余弦定理以及推理论证能力,是难题.
5、【2012三明市普通高中高三上学期联考文】关于的方程，（其中、、都是非零平面向量），且、不共线，则该方程的解的情况是
A.至多有一个解 B.至少有一个解
C.至多有两个解 D.可能有无数个解
【答案】A
【解析】本题主要考查平面向量的基本定理、向量相等以及方程的解的相关知识，属于基础知识、基本计算的考查.
由已知，是实数。关于的方程，（其中、、都是非零向量）可化为，、不共线且为非零平面向量，由平面向量的基本定理，存在唯一实数对（m，n）使。于是，至多有一个解。
6、【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，则实数λ等于
A.－2B.－C.－1D.－
【答案】C
【解析】本题主要考查平面向量的共线的性质. 属于基础知识、基本运算的考查.
λa＋b＝(λ＋2,2λ)，向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线，∴（λ＋2）×（－2）＝2λ×1，
∴λ＝－1
7、【2012厦门市高三上学期期末质检文】如图，已知，，·，∠AOP＝，若，则实数t等于
A.B.C.D.3
【答案】B
【解析】本题主要考查向量的相等、向量的数量积公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵·，∴∠AOB＝； ∵∠AOP＝， ∴∠BOP＝
若则，∴，
在Rt△BOP中,, ∴实数t等于
8、【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1】△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足2，则·=
A．18 B．3
C．15 D．12
【答案】 A
【解析】本题主要考查平面向量的共线及数量积的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
由题意，如图建立直角坐标系，则A(3,0),B(0,3)
∵2，∴A是BM的中点
∴M（6，－3）
＝（6，－3），＝(3,0)
·＝18
9、【2012黄冈市高三上学期期末考试文】若，则必定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】 B
【解析】本题主要考查向量的运算、向量垂直的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
则必定是直角三角形。
10、【2012金华十校高三上学期期末联考文】设向量，满足
，则= （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】 B
【解析】本题主要考查平面向量的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
11、【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】在边长为1的正三角形ABC中，，E是CA的中点，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】本题主要考查平面向量的运算以及坐标法. 属于基础知识、基本方法的考查.
如图，建立直角坐标系，则
12【2012粤西北九校联考理11】已知向量==,若，则的最小值为 ;
【答案】6
【解析】若,向量==，所以，所以，由基本不等式得
13【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】14、在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为。B
A
C
D
【答案】
解析:由可得且四边形ABCD是平行四边形，再由可知D在的角平分线上，且以及上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长（如图）是，因此，所以。该题由考查向量相等的概念和求摸以及几何意义，由考查向量的加法的几何意义，该题还考查正弦定理面积公式以及转化能力，是难题。
14【烟台市莱州一中2012届高三模块检测文】已知向量满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】17.解：（1）由｜｜=2得
，
所以.……………………………………………………………………6分
（2），所以.……………12分
15【山东实验中学2012届高三一次诊断文】16. 点O在内部且满足，则的面积与凹四边形.的面积之比为________.
【答案】5:4
【解析】解：
作图如下
作向量=2,
以、为邻边作平行四边形ODEF,根据
平行四边形法则可知：+=
即2+2＝
由已知2+2＝＝-，
所以＝-，
BC是中位线，则OE＝2OG=4OH,
则线段OA、OH的长度之比为4:1，
从而AH、OH的长度之比为5:1，
所以△ABC与△OBC都以BC为底，对应高之比为5:1，
所以△ABC与△OBC的面积比为5:1，
∴三角形ABC的面积与凹四边形ABOC面积之比是5:4
16【2012韶关第一次调研理7】平面向量与的夹角为，，，
则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为平面向量与的夹角为，，，
所以
17【2012深圳中学期末理13】给出下列命题中
①向量满足，则的夹角为；
②＞0，是的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y =的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =；
④若，则为等腰三角形；
以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；
对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为＞0，是
的夹角为锐角的必要条件；
对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确；
对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确；
18【2012海南嘉积中学期末理10】在空间给出下面四个命题（其中、为不同的两条直线，、为不同的两个平面）
①，//
②//，////
③//，，//
④，//，//，//，////
其中正确的命题个数有（）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】C
【解析】①，//正确；②//，////错误，线可以在平面内；③//，，//正确；④，//，//，//，////正确。
19【2012黑龙江绥化市一模理13】已知向量，，若向量，则实数的值为___.
【答案】
【解析】因为向量，所以，
【2012 浙江瑞安期末质检理15】已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若,则 与的夹角是.
【答案】
【解析】，夹角为；
20【2012·泉州四校二次联考理5】定义：，其中为向量与的夹角，若，，，
则等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由，，，得，所以=
21【2012延吉市质检理5】若向量=（x-1，2），=（4，y）相互垂直，则的最小值为（）
A．12 B． C． D．6
【答案】D
【解析】因为向量=（x-1，2），=（4，y）相互垂直，所以
则.
22【2012浙江宁波市期末文】在中，D为BC中点，若，，则的最小值是（ ）
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】由题D为BC中点，故，所以
，选D。
【2012安徽省合肥市质检文】已知向量，若共线，则m= ；
【答案】
【解析】，，由共线得，解得。
23【2012山东青岛市期末文】设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .
【答案】
【解析】由题可知，，，所以，，所求面积为。
24【2012吉林市期末质检文】已知，，若向量与
垂直，则实数的值为 .
【答案】
【解析】由题可得，又，，，则，解得。
25【2012江西南昌市调研文】则k= .
【答案】6；
【解析】由可得，解得。
26【2012广东佛山市质检文】已知向量，，其中.若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，又，选C。
27【2012河南郑州市质检文】在△ABC中，若则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.直角三角形
【答案】D
【解析】由得,
即,得,,选D。
28【2012河南郑州市质检文】在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p=q=满足p∥q,则∠C= .
【答案】；
【解析】由题p∥q，则,即，。
29【2012北京海淀区期末文】如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
【解析】，选D。
30【2012广东韶关市调研文】平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，所以，选B。
31【2012延吉市质检理11】已知向量．若a— 2b与c共线，则k=________．
【答案】1
【解析】因为a— 2b与c共线，向量．
所以；
32【2012延吉市质检理14】已知：点C在内,且设则．
【答案】3
【解析】因为点C在内,且设根据共线成比例得所以
33【2012厦门期末质检理6】如图，平行四边开ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于
A.－1 B. 1
C.－D.
【答案】B
【解析】选B。
34【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】若向量满足条件，则=
【答案】4
【解析】本题主要考查向量的坐标的运算、向量的数量积公式. 属于基础知识、基本运算的考查.
35【2012年西安市高三年级第一次质检文】已知向量.若a-2b与c共线 则k=_______
【答案】1
【解析】本题主要平面向量的共线和坐标运算 . 属于基础知识、基本运算的考查.
∵与共线，∴
36【2012三明市普通高中高三上学期联考文】已知向量，，，若∥，则= ．
【答案】5
【解析】本题主要考查向量的坐标的运算、向量的数量积公式.
属于基础知识、基本运算的考查.
，∵∥，∴，解得=5
37【2012武昌区高三年级元月调研文】在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则 。
【答案】14
【解析】本题主要考查向量的加法、向量的数量积的分配律及数量积运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
38【2012三明市普通高中高三上学期联考文】已知向量,函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．
【解析】本题主要考查了向量及其数量积、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面积公式. 属于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
解: （Ⅰ）
…………………2分
（Ⅱ）
因为，所以，…………8分
…………12分
39【2012山东青岛市期末文】已知函数，,将函数向左平移个单位后得函数，设三角形三个角、、的对边分别为、、.
（Ⅰ）若，，，求、的值；
（Ⅱ）若且，，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）
…………………………………………1分
,所以
因为,所以,所以……………………………3分
由余弦定理知：，
因为,由正弦定理知：……………………………………………5分
解得：…………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由条件知所以,
所以
因为,所以 即
，
于是…… 8分
,得……………………………………………10分
40【山东临沂市临沭一中高三10月份阶段测试试题】已知与的夹角
，求.
【答案】17.解：===
==4
41【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考文】17、已知，是夹角为60°的单位向量，且，。
（1）求；
（2）求与的夹角。
【答案】17、解：（1）＝（＝－6＋＋2＝；
（2），同理得，
所以，又，所以＝120°。
42【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考文】19、已知向量＝，，向量＝(，－1)
(1)若，求的值 ；
(2)若恒成立，求实数的取值范围。
【答案】19、解：(1)∵，∴，得，又，所以；
(2)∵＝，
所以，
又q ∈[0， ]，∴，∴，
∴的最大值为16，∴的最大值为4，又恒成立，所以。
43【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考文】16.(本小题满分12分)
已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．
(1) 若⊥，求；
(2) 求|＋|的最大值．
【答案】16. 解：(1)若，则
即 而，所以
(2)
当时，的最大值为
44【山东省济南市2012届高三12月考】30.（本小题满分8分）已知平面向量a,b
（Ⅰ）若存在实数,满足xab，yab且x⊥y，求出 关于的关系式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数在上的最小值.
【答案】30．（本小题满分8分）
（Ⅰ），且------------------2分
∴----------3分
∴ （） ------------------4分
（Ⅱ）---------------5分
∵，∴， ----------------6分
则， -----------------7分
当且仅当，即时取等号，∴的最小值为-3 . ------------8分
2011届高三模拟题
题组二
一、选择题
1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
，则A、B、C三点共线的充要条件为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于向量由公共起点，因此三点共线只要共线即可，根据向量共线的条件即存在实数使得，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉即得结论。
【解析】只要要共线即可，根据向量共线的条件即存在实数使得，即，由于不共线，根据平面向量基本定理得且，消掉得。
【考点】平面向量。
【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理，平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果不共线，那么的充要条件是且。
2．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文）
平面向量的夹角为 （ ）
A．3 B． C．7 D．
答案 B.
3. （山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）设平面向量，若，则实数的值为
(A) (B) (C) (D)
答案 B.
4.（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知，则与（ ）
A、垂直 B、不垂直也不平行 C、平行且同向 D、平行且反向
答案 A.
5．（吉林省东北师大附中2011届高三上学期第三次模底考试理）
已知向量的值是 （ ）
A． B． C．D．1
答案 D.
6．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B.
7．（湖北省涟源一中、双峰一中2011届高三第五次月考理）已知和点M满足．若存在实使得
成立，则= （ ）
A．2 B．3C．4D．5
答案 B.
C
A
B
N
P
．（湖北省八校2011届高三第一次联考理）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
答案 C.
9．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）已知向量=(－2,1)，=(－3，0)，则在方向上的投影为 ( )
A．－2 B．C．2 D．－
答案 C.
10．（黑龙江省哈九中2011届高三期末考试试题理）
已知，则与夹角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
答案 C.
11．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）若两个非零向量，满足
，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
答案 C.
12. （河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试理）如图，向量等于
A．
B．
C．
D．
答案 D.
13．（广东省高州市南塘中学2011届高三上学期16周抽考理）
已知向量，若与垂直，则等于（ ）
A．B．0 C．1 D．2
答案 C.
14.（广东六校2011届高三12月联考文） 已知平面向量，且，则
A．B.C.D.
答案 C.
15．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）已知为非零的平面向量，甲：
，乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案 B.
16.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理） 设非零向量满足
，则与的夹角为（ ）
30° 60° 90° 120°
答案 D.
17．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）
已知向量∥，则等于（ ）
A．3 B．－3
C． D．－
答案 D.
18.（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）
已知，则A、B、C 三点共线的充要条件为 ( )
A． B C． D．
答案 B.
19.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）
已知向量的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
答案 C.
20．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）
设向量的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A.
21.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）
已知，则A、B、C三点共线的充要条件为
A． B C． D．
答案 C.
二、填空题
22．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）已知和的夹角为，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量模的含义，讲已知代入即可。
【解析】，故
。
【考点】平面向量。
【点评】本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念，其中主要的考查点是，这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系。本题也可以根据向量减法的几何意义，通过余弦定理解决，实际上我们在【解析】中的计算式就是余弦定理的计算式。
23. （山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知平面向量，，与垂直，则_______.
答案 -1
24．（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）若向量与满足：， 则与所夹的角为__________
答案
25．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）如图：向量
（第4题）
答案
26．（广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）若平面向量与向量的夹角是180°，
且，则__▲__.
答案（-3，6）；
27．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）
若两个非零向量满足，则向量与的夹角是 。
答案
28．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）与垂直的单位向量为
______________
答案 ,
29.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）已知非零向量、，满足⊥，且+2与-2的夹角为1200，则等于
答案
30. （福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）
已知为钝角，则λ的取值范围是 .
答案 且
31．（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）
若向量e1与e2满足：|e1|=2|e2|=2，（e1+2e2)2=4，则e1与e2所夹的角为▲▲．
答案
三、简单题
32．（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）
（12分）已知向量。函数的图像过点，且相邻两对称轴之间的距离为2。
（1）求的表达式；
（2）求的值。
答案
33. （广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试理）（本小题满分12分）
已知向量，，且.
（1）求tanA的值；
（2）求函数的值域.
答案 （本小题满分12分）
解：（1）由题意得， （2分）
因为，所以. （4分）
（2）由（1）知得
. （6分）
因为，所以. （7分）
当时,有最大值； （9分）
当时，有最小值-3； （11分）
故所求函数的值域是. （12分）
题组三
一，选择题
1. （浙江省温州十校联合体2011届高三文）若向量，，，
则实数的值为（ ）
A B C 2 D 6
答案 D.
2．（浙江省桐乡一中2011届高三理）已知，是不共线的向量，，，，那么A、B、C三点共线的充要条件为
（A）（B）
（C）（D）
答案 D.
3．(浙江省桐乡一中2011届高三学理)在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面内任意一条直线m∥平面，则平面∥平面；
③若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面；
④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心.
其中正确命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案 B.
4．广东省广州东莞五校2011届高三理）已知向量，，若，则
A．B．
C．1 D．3
答案 D.
5．（浙江省桐乡一中2011届高三理）已知M是△ABC内的一点，且，，若，和△MAB的面积分别为，则的最小值是
（A）9 （B）18 （C）16 （D）20
答案 B.
6．(福建省福州八中2011届高三文)已知向量，则实数m的值为
A．3 B．－3 C．2 D．－2
答案 C.
7.（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）若向量，，且，那么( )
A.0 B.C. 4D.4或
答案 C.
8. (河北省唐山一中2011届高三理）.在中，点P是AB上一点，且
Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案 C.
9. （河北省唐山一中2011届高三文）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，则·等于 （ ）
A.-6 B.6 C.7 D.-8
答案 B.
10．（福建省四地六校联考2011届高三理)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，,则 （ ）
A.8 B.4C.2 D.1
答案 C.
11．（福建省四地六校联考2011届高三文)设向量与是两个不共线向量，且向量+与－（－2）共线，则=（ ）
A．0 B．－1
C．－2 D．－0.5
答案 D.
12．(广西桂林十八中2011届高三第四次月考试卷文)
在中，，若，则
A. B. C. D.
答案 C.
13．（广东省河源市龙川一中2011届高三第一次月考文）已知M（2，-4），N（3，-3），把向量向左平移1个单位后，在向下平移1个单位，所得向量的坐标为（ ）
A （1，1） B （0，0） C （-1，-1） D （2，2）
答案 A.
二、填空题
14.（2011湖南嘉禾一中）设向量若直线沿向量平移，所得直线过双曲线的右焦点，
（i）=
（ii）双曲线的离心率e= ．
答案 （i）（3分）（ii）（2分）
15．（成都市玉林中学2010—2011学年度）函数的图象F按向量平移到G，则图象G的函数解析式为 。
答案 ．
解：
开始
S＝0
i＝3
i＝i＋1
S＝S＋i
i＞10
输出S
结束
是
否
16. (广东省河源市龙川一中2011届高三理）
已知向量、的夹角为120°，且，则的值 为 ．
答案 10.
17．（成都市玉林中学2010—2011学年度）已知向量与的夹角为，则=_______．
答案 4
三 解答题
18．（江苏泰兴2011届高三理）已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角；
（3）二面角C-D1B1-B的大小．
答案 18．（1）因为所以
可知向量与的夹角为
因此与EF所成角的大小为
（2）在正方体中，因为平面,所以是平面的法向量 因为
所以，由，所以可得向量之间的夹角约为
（3）因为平面，所以是平面的法向量，因为
所以，所以可得两向量的夹角为
根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为
19.山西省四校2011届高三文）
(满分12分)已知点，O为坐标原点。
（Ⅰ）若,求的值；
（Ⅱ）若实数满足,求的最大值。
答案
