2012高考天津理科数学试题及答案高清版

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2012高考天津理科数学试题及答案高清版

‎2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(天津卷)‎ 本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.‎ 参考公式:‎ ‎·如果事件A,B互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎·棱柱的体积公式V=Sh.‎ 其中S表示棱柱的底面面积,‎ h表示棱柱的高.‎ ‎·圆锥的体积公式V=Sh.‎ 其中S表示圆锥的底面面积,‎ h表示圆锥的高.‎ 第Ⅰ卷 本卷共8小题,每小题5分,共40分.‎ 一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. i是虚数单位,复数(  )‎ A.2+i   B.2-i   C.-2+i   D.-2-i ‎2.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出x的值为(  )‎ A.-1 B.1 C.3 D.9‎ ‎4.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎5.在(2x2-)5的二项展开式中,x的系数为(  )‎ A.10 B.-10 C.40 D.-40‎ ‎6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ) ,λ∈R.若,则λ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是(  )‎ A.[,]‎ B.(-∞,]∪[,+∞)‎ C.[,]‎ D.(-∞,]∪[,+∞)‎ 第Ⅱ卷 本卷共12小题,共110分.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取__________所学校,中学中抽取__________所学校.‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为__________ m3.‎ ‎11.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=__________,n=__________.‎ ‎12.已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=__________.‎ ‎13.如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,,则线段CD的长为__________.‎ ‎14.已知函数的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是__________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x-1,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[,]上的最大值和最小值.‎ ‎16.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;‎ ‎(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望 E(ξ).‎ ‎17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.‎ ‎(1)证明PC⊥AD;‎ ‎(2)求二面角A-PC-D的正弦值;‎ ‎(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.‎ ‎18.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎(2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).‎ ‎19.设椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.‎ ‎(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;‎ ‎(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足.‎ ‎20.已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;‎ ‎(3)证明-ln(2n+1)<2(n∈N*).‎ ‎1. B .‎ ‎2. A φ=0时,f(x)=cosx,f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=‎ ‎±1,∴cosφ=±1,‎ ‎∴φ=kπ(k∈Z).∴是充分而不必要条件.‎ ‎3. C x=|-25|>1,x=-1=4;‎ x=|4|>1,x=-1=1;‎ x=|1|>1不成立,‎ ‎∴x=2×1+1=3.‎ ‎4.B f′(x)=2xln2+3x2,在(0,1)上f′(x)>0恒成立,‎ ‎∴f(x)在区间(0,1)上单调递增.‎ 又∵f(0)=20+03-2=-1<0,f(1)=21+13-2=1>0,‎ ‎∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点.‎ ‎5. D Tr+1=(2x2)5-r()r=(-1)r25-rx10-3r,‎ ‎∴当10-3r=1时,r=3.∴(-1)325-3=-40.‎ ‎6. A 在△ABC中,由正弦定理:,∴,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴cosC=cos2B=2cos2B-1=.‎ ‎7. A 设,,‎ 则|a|=|b|=2,且〈a,b〉=.‎ ‎,.‎ ‎=[(1-λ)b-a]·(λa-b)‎ ‎=[λ(1-λ)+1]a·b-λa2-(1-λ)b2‎ ‎=(λ-λ2+1)×2-4λ-4(1-λ)‎ ‎=-2λ2+2λ-2=.‎ 即(2λ-1)2=0,∴.‎ ‎8.)D 直线与圆相切,∴,‎ ‎∴,即:mn=m+n+1,‎ 设m+n=t,则,‎ ‎∴t+1≤,∴t2-4t-4≥0,解得:或.‎ ‎9.答案:18 9‎ 解析:共有学校150+75+25=250所,∴小学中应抽取:所,中学中应抽取:所.‎ ‎10.答案:18+9π 解析:由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m的长方体,底部为两个直径为3 m的球.‎ ‎∴该几何体的体积为:V=6×3×1+2×=18+9π(m3).‎ ‎11.答案:-1 1‎ 解析:A={x∈R||x+2|<3},∴|x+2|<3.‎ ‎∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.‎ 又∵B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),‎ ‎∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n是区间(-5,1)的右端点,‎ ‎∴m=-1,n=1.‎ ‎12.答案:2‎ 解析:由参数方程(t为参数),p>0,可得曲线方程为:y2=2px(p>0).‎ ‎∵|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线定义),‎ ‎∴△MEF为等边三角形,‎ E的横坐标为,M的横坐标为3.‎ ‎∴EM中点的横坐标为:,与F的横坐标相同,‎ ‎∴,∴p=2.‎ ‎13.答案:‎ 解析:在圆中,由相交弦定理:‎ AF·FB=EF·FC,‎ ‎∴,‎ 由三角形相似,,‎ ‎∴.‎ 由切割弦定理:DB2=DC·DA,‎ 又DA=4CD,‎ ‎∴4DC2=DB2=.‎ ‎∴.‎ ‎14.答案:(0,1)∪(1,4)‎ 解析:‎ 函数y=kx-2过定点(0,-2),由数形结合:‎ kAB<k<1或1<k<kAC,‎ ‎∴0<k<1或1<k<4.‎ ‎15.解:(1)f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+sin2x·cos-cos2x·sin+cos2x=sin2x+cos2x=.‎ 所以,f(x)的最小正周期.‎ ‎(2)因为f(x)在区间[,]上是增函数,在区间[,]上是减函数,又,,,故函数f(x)在区间[,]上的最大值为,最小值为-1.‎ ‎16.解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.‎ 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),‎ 则.‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.‎ ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故 P(B)=P(A3)+P(A4)‎ ‎=.‎ 所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.‎ ‎(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)=,‎ P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,‎ P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P 随机变量ξ的数学期望.‎ ‎17.解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(,,0),P(0,0,2).‎ ‎(1)证明:易得 ‎=(0,1,-2),=(2,0,0),‎ 于是,‎ 所以PC⊥AD.‎ ‎(2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).‎ 设平面PCD的法向量n=(x,y,z),‎ 则 即 不妨令z=1,‎ 可得n=(1,2,1).‎ 可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).‎ 于是,‎ 从而.‎ 所以二面角A-PC-D的正弦值为.‎ ‎(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中h∈[0,2],由此得.由=(2,-1,0),故 ‎,‎ 所以,,解得,即.‎ 解法二:(1)证明:由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,又由AD⊥AC,PA∩AC=A,故AD⊥平面PAC.又PC平面PAC,所以PC⊥AD.‎ ‎(2)如图,作AH⊥PC于点H,连接DH.‎ 由PC⊥AD,PC⊥AH,可得PC⊥平面ADH.‎ 因此DH⊥PC,从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角.‎ 在Rt△PAC中,PA=2,AC=1,由此得.‎ 由(1)知AD⊥AH,故在Rt△DAH中,.因此.所以二面角A-PC-D的正弦值为.‎ ‎(3)如图,因为∠ADC<45°,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF.故∠EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角.‎ 由于BF∥CD,故∠AFB=∠ADC.在Rt△DAC中,,,故.‎ 在△AFB中,由,,sin∠FAB=sin135°=,可得.‎ 由余弦定理,BF2=AB2+AF2-2AB·AF·cos∠FAB,‎ 可得.‎ 设AE=h.‎ 在Rt△EAF中,.‎ 在Rt△BAE中,.‎ 在△EBF中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得 ‎,可解得.‎ 所以.‎ ‎18.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.‎ 由条件,得方程组解得 所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.‎ ‎(2)证明:(方法一)‎ 由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,①‎ ‎2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.②‎ 由②-①,得 Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2‎ ‎=+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10.‎ 而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.‎ ‎(方法二:数学归纳法)‎ ‎①当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立;‎ ‎②假设当n=k时等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时有:‎ Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1‎ ‎=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)‎ ‎=ak+1b1+qTk ‎=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)‎ ‎=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24‎ ‎=-2ak+1+10bk+1-12,‎ 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1,因此n=k+1时等式也成立.‎ 由①和②,可知对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立.‎ ‎19.解:(1)设点P的坐标为(x0,y0).由题意,有 ‎①‎ 由A(-a,0),B(a,0),得,.‎ 由kAP·kBP=,可得x02=a2-2y02,代入①并整理得(a2-2b2)y02=0.‎ 由于y0≠0,故a2=2b2.于是,所以椭圆的离心率.‎ ‎(2)证明:(方法一)‎ 依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐标为(x0,y0).由条件得 消去y0并整理得 ‎.②‎ 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,‎ 得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得 ‎(1+k2)x02+2ax0=0.而x0≠0,于是,代入②,整理得 ‎(1+k2)2=4k2()2+4.由a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即k2+1>4,因此k2>3.所以.‎ ‎(方法二)‎ 依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为(x0,kx0),由点P在椭圆上,有.因为a>b>0,kx0≠0,所以,即(1+k2)x02<a2.③‎ 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,于是.‎ 代入③,得(1+k2)<a2,解得k2>3,‎ 所以.‎ ‎20.解:(1)f(x)的定义域为(-a,+∞)..‎ 由f′(x)=0,得x=1-a>-a.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-a,1-a)‎ ‎1-a ‎(1-a,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极小值 因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.‎ ‎(2)当k≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合题意.当k>0时,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx2.‎ g′(x)=-2kx=.‎ 令g′(x)=0,得x1=0,.‎ ‎①当时,,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上单调递减.从而对于任意的x∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx2在[0,+∞)上恒成立,故符合题意.‎ ‎②当0<k<时,,对于x∈(0,),g′(x)>0,故g(x)在(0,‎ ‎)内单调递增.因此当取x0∈(0,)时,g(x0)>g(0)=0,即f(x0)≤kx02不成立.‎ 故0<k<不合题意.‎ 综上,k的最小值为.‎ ‎(3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.‎ 当n≥2时,‎ ‎=‎ ‎=-ln(2n+1).‎ 在(2)中取,得f(x)≤(x≥0),从而 ‎(i∈N*,i≥2),‎ 所以有 ‎-ln(2n+1)‎ ‎=‎ ‎<2-ln3+‎ ‎=2-ln3+=2-ln3+1-<2.‎ 综上,-ln(2n+1)<2,n∈N*.‎
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