2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

‎2015年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎9．（5分）（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1，0）∪（0，1）‎ B．‎ ‎（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ C．‎ ‎（﹣，0）∪（0，）‎ D．‎ ‎（﹣∞，﹣）∪（，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=　‎ 三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．‎ ‎15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ‎，则直线l与曲线C的交点的极坐标为　（2，π）　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．‎ ‎20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1‎ ‎（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．‎ ‎32015年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 解答：‎ 解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，‎ 所求几何体的体积为：=．‎ 故选：A．‎ ‎8‎ 解答：‎ 解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．‎ 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．‎ 由于AC==2，CB=R=2，‎ ‎∴切线的长|AB|===6，‎ 故选：C．‎ ‎9：‎ 解：tanα=2tan，则==‎ ‎===========3．‎ 故答案为：3．‎ ‎10‎ 解答：‎ 解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，‎ 设D（x，0），则由BD⊥AC得，‎ ‎∴c﹣x=，‎ ‎∵D到直线BC的距离小于a+，‎ ‎∴c﹣x=＜a+，‎ ‎∴＜c2﹣a2=b2，‎ ‎∴0＜＜1，‎ ‎∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．‎ 故选：A．‎ ‎13‎ 解答：‎ 解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，‎ A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，‎ AC=2=．‎ 故答案为：．‎ ‎15解答：‎ 解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；‎ 曲线C的极坐标方程为，‎ 可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．‎ 由，可得x=﹣2，y=0，‎ 交点坐标为（﹣2，0），‎ 它的极坐标为（2，π）．‎ 故答案为：（2，π）．‎ ‎18‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，‎ 故函数的周期为=π，最大值为1﹣．‎ ‎（Ⅱ）当x∈ 时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；‎ 当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．‎ ‎20解答：‎ 解：（I）f′（x）==，‎ ‎∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．‎ 当a=0时，f（x）=，f′（x）=，‎ ‎∴f（1）=，f′（1）=，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；‎ ‎（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，‎ 由g（x）=0，解得x1=，x2=．‎ 当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；‎ 当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；‎ 当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．‎ 由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．‎ 因此a的取值范围为：．‎ 解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，‎ 可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．‎ 令u（x）=，u′（x）=＜0，‎ ‎∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，‎ ‎∴a≥u（3）=﹣．‎ 因此a的取值范围为：．‎ ‎21‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，‎ 设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，‎ 故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，‎ 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，‎ 有|QF1|=4a﹣2|PF1|，‎ 又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，‎ 由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．‎