高考数学概率大题专项题型

高考数学概率大题专项题型

高考概率大题专项题型 ‎　‎ 一．解答题 ‎1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．‎ ‎（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；‎ ‎（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．‎ ‎2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．‎ ‎3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．‎ ‎（Ⅰ） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；‎ ‎（Ⅱ） 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．‎ ‎（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．‎ ‎6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，‎ 方案一：每满200元减50元：‎ 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）‎ 红球个数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 实际付款 半价 ‎7折 ‎8折 原价 ‎（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？‎ ‎7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）‎ ‎（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．‎ ‎（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．‎ ‎8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．‎ ‎9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 ‎[70，76）‎ ‎[76，82）‎ ‎[82，88）‎ ‎[88，94）‎ ‎[94，100]‎ 元件A ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 元件B ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，‎ ‎（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．‎ ‎10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），‎ ‎（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；‎ ‎（1）求该小组中女生的人数；‎ ‎（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：‎ 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．‎ ‎13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：‎ 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎58‎ ‎55‎ ‎76‎ ‎92‎ ‎88‎ 乙 ‎65‎ ‎82‎ ‎87‎ ‎85‎ ‎95‎ ‎（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；‎ ‎（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．‎ ‎14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．‎ ‎（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；‎ ‎（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．‎ ‎15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．‎ ‎（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；‎ ‎（2）求甲取到白球的概率．‎ ‎16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．‎ 健步走步数（千卡）‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 消耗能量（卡路里）‎ ‎400‎ ‎440‎ ‎480‎ ‎520‎ ‎（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；‎ ‎（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．‎ ‎17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，‎ 其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]‎ ‎（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；‎ ‎（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．‎ ‎18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．‎ ‎　‎ 概率大题专项题型参考答案 一．解答题 ‎1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．‎ ‎（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；‎ ‎（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．‎ ‎【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）‎ ‎（2）由题意得，．…（6分）‎ 所以X的概率分布表为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎…（8分）‎ 所以，X的数学期望为．…（10分）‎ ‎　‎ ‎2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，‎ 故概率P=++=++=，‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，‎ 则P（X=0）==，‎ P（X=1）=2×[+]=，‎ P（X=2）=+++=，‎ P（X=3）=2×=，‎ P（X=4）=2×[+]=‎ P（X=6）==‎ 故X的分布列如下图所示：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P ‎∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==‎ ‎　‎ ‎3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；‎ ‎（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，‎ 事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；‎ 共有+=15种，‎ ‎∴事件A发生概率：P==．‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．‎ P（X=0）==‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴EX=0×+1×+2×=1．‎ ‎　‎ ‎4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．‎ ‎（Ⅰ） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；‎ ‎（Ⅱ） 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）‎ 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）‎ 则．…（6分）‎ ‎（Ⅱ） X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）‎ 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，‎ 所以，．…（9分）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎…（11分）．…（13分）‎ ‎　‎ ‎5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．‎ ‎（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．‎ 依题意，集成电路E需要维修有两种情形：‎ ‎①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．‎ ‎②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）‎ ‎=++×=．‎ 所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．‎ ‎（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，‎ P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ P ‎∴EX=0×+100×+200×=．‎ ‎　‎ ‎6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，‎ 方案一：每满200元减50元：‎ 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）‎ 红球个数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 实际付款 半价 ‎7折 ‎8折 原价 ‎（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；‎ ‎（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，‎ 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：‎ P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．‎ 若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．‎ P（X=160）=，‎ P（X=224）==，‎ P（X=256）==，‎ P（X=320）==，‎ 则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．‎ ‎∵270＞240，‎ ‎∴第二种方案比较划算．…（12分）‎ ‎　‎ ‎7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）‎ ‎（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．‎ ‎（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是 ‎（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 数学期望．‎ ‎　‎ ‎8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．‎ ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，‎ 根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，‎ 所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，‎ 用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．‎ 因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；‎ ‎（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，‎ P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．‎ 因此，X的分布列如下：‎ 所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．‎ ‎　‎ ‎9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 ‎[70，76）‎ ‎[76，82）‎ ‎[82，88）‎ ‎[88，94）‎ ‎[94，100]‎ 元件A ‎8‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎8‎ 元件B ‎7‎ ‎18‎ ‎40‎ ‎29‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，‎ ‎（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为． ‎ 元件B为正品的概率约为． ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．‎ ‎∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15． ‎ ‎∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；‎ P（X=﹣15）==．‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ EX=． ‎ ‎（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．‎ 依题意得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得 ．‎ 所以 n=4或n=5． ‎ 设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，‎ 则P（A）==．‎ ‎　‎ ‎10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]‎ ‎，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），‎ ‎（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1‎ 解得a=0.03；‎ 又由最高矩形中点的横坐标为20，‎ 可估计盒子中小球重量的众数约为20，‎ 而50个样本小球重量的平均值为：‎ ‎=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）‎ 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．‎ ‎（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；‎ 则X～B（3，），‎ X=0，1，2，3；‎ P（X=0）=×（）3=；‎ P（X=1）=×（）2×=；‎ P（X=2）=×（）×（）2=；‎ P（X=3）=×（）3=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 即E（X）=0×=．‎ ‎　‎ ‎11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；‎ ‎（1）求该小组中女生的人数；‎ ‎（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）设该小组中有n个女生，根据题意，得 解得n=6，n=4（舍去），‎ ‎∴该小组中有6个女生；‎ ‎（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；‎ P（ξ=0）=‎ P（ξ=1）=‎ P（ξ=3）=‎ P（ξ=2）=1﹣‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴Eξ=1×‎ ‎　‎ ‎12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：‎ 学院 海洋学院 医学院 经济学院 机械工程学院 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，‎ 选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：‎ 所以 ‎（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ 所以ξ的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以 ‎　‎ ‎13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：‎ 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎58‎ ‎55‎ ‎76‎ ‎92‎ ‎88‎ 乙 ‎65‎ ‎82‎ ‎87‎ ‎85‎ ‎95‎ ‎（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；‎ ‎（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．‎ ‎，，，‎ 随机变量X的分布列是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎．‎ ‎　‎ ‎14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．‎ ‎（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；‎ ‎（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，‎ P（ξ=1）=，‎ P（ξ=0）=，‎ P（ξ=﹣1）=，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎0‎ ‎﹣1‎ p Eξ=﹣=．…（6分）‎ ‎（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，‎ 则η的可能取值为2，﹣2，‎ P（η=2）=α，‎ P（η=﹣2）=β，‎ η的分布列为 η ‎2‎ ‎﹣2‎ p α β ‎∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，‎ ‎∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，‎ ‎∴4α﹣2≥，‎ 解得．…（12分）‎ ‎　‎ ‎15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．‎ ‎（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；‎ ‎（2）求甲取到白球的概率．‎ ‎【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，‎ 即 x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）‎ ‎（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．‎ P（x=1）==，‎ P（x=2）==，‎ P（x=3）==，‎ P（x=4）==，‎ P（x=5）==，…（5分）‎ ‎（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）‎ 随机变量X的概率分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）‎ ‎（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：‎ A1=“甲第1次取球时取出白球”；‎ A2=“甲第2次取球时取出白球”；‎ A3=“甲第3次取球时取出白球”．‎ 依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）‎ ‎（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）‎ 所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）‎ ‎　‎ ‎16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．‎ 健步走步数（千卡）‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 消耗能量（卡路里）‎ ‎400‎ ‎440‎ ‎480‎ ‎520‎ ‎（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；‎ ‎（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：‎ ‎（千步）．…..（4分）‎ ‎（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ X的分布列为：‎ X ‎800‎ ‎840‎ ‎880‎ ‎920‎ P ‎…..（13分）‎ ‎　‎ ‎17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，‎ 其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]‎ ‎（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；‎ ‎（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；‎ ‎10a=1﹣（++）×10=，‎ 解得a=；‎ ‎∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，‎ 成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，‎ 成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，‎ 成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；‎ 记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，‎ 包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，‎ 事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；‎ ‎∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；‎ ‎（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；‎ ‎∴P（X=0）==，‎ p（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==；‎ ‎∴X的分布列为 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．‎ ‎　‎ ‎18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：‎ P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，‎ ‎∴这批产品通过检验的概率：‎ p==+5×+（）5=．‎ ‎（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，‎ P（X=1000）=（）5=，‎ P（X=1200）==，‎ P（X=1400）=++=，‎ X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 1000‎ ‎ 1200‎ ‎ 1400‎ ‎ P ‎　‎