北京市朝阳区高考二模数学文科试题

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北京市朝阳区高考二模数学文科试题

北京市朝阳区2012年高考二模 ‎ 数学试卷(文史类) 2012.5‎ ‎(考试时间120分钟 满分150分)‎ 本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分 第一部分(选择题 共40分)‎ 注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 设集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 在复平面内,复数对应的点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 如果命题“且”是假命题,“”也是假命题,则 A.命题“或”是假命题 B.命题“或”是假命题 C.命题“且”是真命题 D.命题“且”是真命题[‎ ‎4. 已知△中,,,,且△的面积为,则 A. B. C.或 D.或 ‎5. 已知双曲线()的右焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎6. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长都为1,那么这个几何体的表面积为 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7. 给出下列命题: ‎ ‎ 函数的最小正周期是;‎ ‎ ,使得;‎ ‎ 已知向量,,,则的充要条件是.‎ 其中所有真命题是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在答题卡上. ‎ x=1,y=1,z=2‎ z≤4?‎ 开始 结束 是 否 z=x+y 输出z y = z ‎ x = y ‎(第10题图)‎ ‎9. 函数,的单调递增区间是 . ‎ ‎10. 运行如图所示的程序框图,输出的结果是 .‎ ‎11. 直线与圆相交于两点,若,则实数的值是 . ‎ ‎12. 若实数满足则的最小值是 .‎ ‎13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加 投资1万元,年产量为 件.当时,年销售总收入为()万元;当时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元,则(万元)与(件)的函数关系式为 ,该工厂的年产量为 件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入年总投资)‎ ‎14. 在如图所示的数表中,第行第列的数记为,且满足,‎ 第1行 1 2 4 8 …‎ 第2行 2 3 5 9 …‎ 第3行 3 5 8 13 …‎ ‎… …‎ ‎,则此数表中的第2行第7列的数是 ;记第3行的数3,5,8,13,22,39,为数列,则数列的通项公式是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 已知函数的图象过点. ‎ ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)在中,角,,的对边分别是,,,若,‎ 求的取值范围.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 高三年级进行模拟考试,某班参加考试的40名同学的成绩统计如下:‎ 分数段 ‎(70,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎[100,120)‎ ‎[120,150]‎ 人数 ‎5‎ a ‎15‎ b 规定分数在90分及以上为及格,120分及以上为优秀,成绩高于85分低于90分的同学为希望生.已知该班希望生有2名.‎ ‎(Ⅰ)从该班所有学生中任选一名,求其成绩及格的概率;‎ ‎(Ⅱ)当a =11时,从该班所有学生中任选一名,求其成绩优秀的概率;‎ ‎(Ⅲ)从分数在(70,90)的5名学生中,任选2名同学参加辅导,求其中恰有1名希望生 的概率.‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 如图,四边形为正方形,平面,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:; ‎ ‎(Ⅱ)若点在线段上,且满足, ‎ 求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)试判断直线与平面是否垂直?若垂 ‎ 直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)已知曲线在点处的切线的斜率为,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个,都有.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,点到两点,的距离之和为,设点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)写出的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点的斜率为()的直线与曲线交于不同的两点,,点在轴上,且,求点纵坐标的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 已知数列,满足,且当()时,.令.‎ ‎(Ⅰ)写出的所有可能取值;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值.‎ 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 ‎ 数学试卷答案(文史类) 2012.5‎ 一、选择题:‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ 答案 D B C A C D D ‎ B 二、填空题: ‎ 题号 ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎(11)‎ ‎(12)‎ 答案 ‎5‎ 或0‎ 题号 ‎(13)‎ ‎(14)‎ 答案 ‎ ‎ ‎16ZXXK]‎ ‎65‎ 注:若有两空,则第一个空3分,第二个空2分.‎ 三、解答题:‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ). ……3分 ‎ 由已知点在函数的图象上,所以,‎ ‎. ………5分 ‎ (Ⅱ) 因为,‎ ‎ 所以=2,‎ ‎ 所以,即. ………7分 ‎ 因为,所以,所以, ………8分 又因为,所以,. ………10分 ‎ 所以,, ………11分 ‎ 所以=. ………13分 ‎(16)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩及格”为事件A,则 ‎.‎ 答:从该班所有学生中任选一名,其成绩及格的概率为. ………3分 ‎(Ⅱ)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀”为事件B,则当时,成绩优秀的学生人数为,所以 ‎.‎ 答:从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀的概率为. ………7分 ‎(Ⅲ)设“从分数在的5名学生中,任选2名同学参加辅导,其中恰有1名希望生”为事件C.‎ 记这5名学生分别为a,b,c,d,e,其中希望生为a,b.‎ 从中任选2名,所有可能的情况为:ab, ac, ad, ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种. ………9分 其中恰有1名希望生的情况有ac, ad, ae,bc,bd,be,共6种. ………11分 所以. ‎ 答:从分数在的5名学生中,任选2名同学参加辅导,其中恰有1名希望生的概率为. ………13分 ‎(17)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以与确定平面,‎ 因为平面,所以. ………2分 由已知得且,‎ 所以平面. ………3分 又平面, ‎ 所以. ………4分 ‎(Ⅱ)过作,垂足为,连结,则. .………5分 P 又,所以.‎ 又且,所以.‎ ‎ .………6分 且,所以四边形为平行四边形. ‎ ‎………7分 ‎ 所以.‎ 又平面,平面,‎ 所以平面. ………9分 ‎(Ⅲ)直线垂直于平面. ………10分 证明如下:‎ 由(Ⅰ)可知,.‎ 在四边形中,,, ‎ 所以,则.‎ 设,因为,故 则,即. ………12分 又因为,所以平面. ………13分 ‎(18)(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)的定义域为, . ………1分 ‎. ………2分 根据题意,,‎ 所以,即,‎ 解得. .………4分 ‎(Ⅱ).‎ ‎(1)当时,因为,所以,,‎ 所以,函数在上单调递减. ………6分 ‎(2)当时,‎ 若,则,,函数在上单调递减;‎ 若,则,,函数在上单调递增. …8分 综上所述,当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在上单调递增. ………9分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)可知.‎ 设,即.‎ ‎. ………10分 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 是在上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是的最小值点.‎ 可见, .………13分 所以,即,所以对于定义域内的每一个,都有. ………14分 ‎(19)(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)由题设知,‎ 根据椭圆的定义,的轨迹是焦点为,,长轴长为的椭圆,‎ 设其方程为 则, ,,所以的方程为. ………5分 ‎(II)依题设直线的方程为.将代入并整理得,‎ ‎ . . ………6分 设,,‎ 则, ..………7分 设的中点为,则,,即. ………8分 因为,‎ 所以直线的垂直平分线的方程为, ……9分 令解得,, .………10分 当时,因为,所以; .………12分 当时,因为,所以. .………13分 综上得点纵坐标的取值范围是. .………14分 ‎(20)(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:‎ ‎(1)此时;‎ ‎(2)此时;‎ ‎(3)此时;‎ ‎(4)此时;‎ ‎(5)此时;‎ ‎(6)此时.‎ 所以,的所有可能取值为:,,,,. .………5分 ‎(Ⅱ)由,可设,则或(,),‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ …‎ ‎ ,‎ 所以. ………7分 因为,所以,且为奇数,是由 个1和个构成的数列.‎ 所以 ‎ .‎ 则当的前项取,后项取时最大,‎ 此时..……10分 证明如下:‎ 假设的前项中恰有项取,则 的后项中恰有项取,其中,,,.‎ 所以 ‎ ‎ ‎.‎ 所以的最大值为. .………13分
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