全国高考安徽卷理科数学试题及详细解析

全国高考安徽卷理科数学试题及详细解析

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ 卷第 1 至第 2 页，第Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时 间 120 分钟。 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认 真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号 是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写， 要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘 出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指 示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题 无效。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： 如果事件 与 互斥；则 如果事件 与 相互独立；则 A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B= 如果 与 是事件，且 ；则 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）复数 满足： ；则 （ ） 【解析】选 （2）下列函数中，不满足： 的是（ ） 【解析】选 与 均满足： 得： 满足条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果 是（ ） 【解析】选 A B ( ) 0P B > ( )( ) ( ) P ABP A B P B = z ( )(2 ) 5z i i− − = z = ( )A 2 2i− − ( )B 2 2i− + ( )C i2 − 2 ( )D i2 + 2 D 5 5(2 )( )(2 ) 5 2 22 (2 )(2 ) iz i i z i z i ii i i +− − = ⇔ − = ⇔ = + = +− − + (2 ) 2 ( )f x f x= ( )A ( )f x x= ( )B ( )f x x x= − ( )C ( )f x x= +1 ( )D ( )f x x= − C ( )f x kx= ( )f x k x= (2 ) 2 ( )f x f x= , ,A B D ( )A 3 ( )B 4 ( )C 5 ( )D 8 B x 1 2 4 8 4.公比为 等比数列 的各项都是正数，且 ，则（ ） 【解析】选 5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图 如图所示，则 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位 数等于乙的成绩的中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小 于乙的成绩的极差 y 1 2 3 4 3 2 { }na 3 11 16a a = ( )A 4 ( )B 5 ( )C 6 ( )D 7 B 2 9 3 11 7 7 16 7 2 1616 16 4 32 log 5a a a a a a q a= ⇔ = ⇔ = ⇒ = × = ⇔ = ( )A ( )B ( )C ( )D 【解析】选 甲 的 成 绩 的 方 差 为 ， 乙 的 成 绩 的 方 差 为 （6）设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在 平面 内，且 则“ ”是“ ”的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 即不充分不必要条件 【解析】选 ① ②如果 ；则 与 条件相同 （7） 的展开式的常数项是（ ） 21 世纪教育网 【解析】选 第一个因式取 ，第二个因式取 得： 第一个因式取 ，第二个因式取 得： 展开式的常数 项是 （8）在平面直角坐标系中， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量 则点 的坐标是（ ） C 1 1(4 5 6 7 8) 6, (5 3 6 9) 65 5x x= + + + + = = × + + =乙甲 2 21 (2 2 1 2) 25 × + × = 2 21 (1 3 3 1) 2.45 × + × = α β m a α b β b m⊥ α β⊥ a b⊥ ( )A ( )B ( )C ( )D A ,b m b b aα β α⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ / /a m a b⊥ b m⊥ 2 5 2 1( 2)( 1)x x + − ( )A 3− ( )B 2− ( )C 2 ( )D 3 D 2x 2 1 x 1 4 51 ( 1) 5C× − = 2 5( 1)− 52 ( 1) 2× − = − 5 ( 2) 3+ − = (0,0), (6,8)O P OP 3 4 π OQ Q 【解析】选 【方法一】设 则 【方法二】将向量 按逆时针旋转 后得 则 （9）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是原 点，若 ； 则 的面积为（ ） 【解析】选 21 世纪教育网 设 及 ；则点 到准线 的距离为 得： 又 21 世 纪教育网 的面积为 （10）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学 之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 份纪念品 ( )A ( 7 2, 2)− − ( )B ( 7 2, 2)− ( )C ( 4 6, 2)− − ( )D ( 4 6,2)− A 3 4(10cos ,10sin ) cos ,sin5 5OP θ θ θ θ= ⇒ = = 3 3(10cos( ),10sin( )) ( 7 2, 2)4 4OQ π πθ θ= + + = − − (6,8)OP = 3 2 π (8, 6)OM = − 1 ( ) ( 7 2, 2) 2 OQ OP OM= − + = − −   2 4y x= F ,A B O 3AF = AOB∆ ( )A 2 2 ( )B 2 ( )C 3 2 2 ( )D 2 2 C (0 )AFx θ θ π∠ = < < BF m= A : 1l x = − 3 13 2 3cos cos 3 θ θ= + ⇔ = 2 32 cos( ) 1 cos 2m m mπ θ θ= + − ⇔ = =+ AOB∆ 1 1 3 2 2 3 2sin 1 (3 )2 2 2 3 2S OF AB θ= × × × = × × + × = 4 的同学人数为（ ） 或 或 或 或 【解析】选 ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到 份纪念品的同学人数为 人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到 份纪念品的同学人 数为 人 第 II 卷（非选择题 共 100 分） 21 世纪教育网 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题 无效. 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答 题卡的相应位置. （11）若 满足约束条件： ；则 的取值范围为 [来 源:21 世纪教育网] 【解析】 的取值范围为 约束条件对应 边际及内的区域： 则 （12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面 ( )A 1 3 ( )B 1 4 ( )C 2 3 ( )D 2 4 D 2 6 13 15 13 2C − = − = 4 2 4 4 ,x y 0 2 3 2 3 x x y x y ≥  + ≥  + ≤ x y− _____ x y− _____ [ 3,0]− ABC∆ 3(0,3), (0, ), (1,1)2A B C [ 3,0]t x y= − ∈ − 积是 【解析】表面积是 该几何体是底面是直角梯形，高为 的直四棱柱 几何体的表面积是 （13）在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是 【解析】距离是 圆 的圆心 直线 ；点 到直线 的距离是 （14）若平面向量 满足： ；则 的最小值是 【解析】 的最小值是 （15）设 的内角 所对的边为 ；则下列命题正确的是 ①若 ；则 ②若 ；则 ③若 ；则 ④若 ；则 ⑤若 ；则 【解析】正确的是 ①②③ ① ② _____ _____ 92 4 2 212 (2 5) 4 (2 5 4 4 (5 2) ) 4 922S = × × + × + + + + + − × = 4sinρ θ= ( )6 R πθ ρ= ∈ _____ _____ 3 2 24sin ( 2) 4x yρ θ= ↔ + − = (0,2)C : ( ) 3 06l R x y πθ ρ= ∈ ↔ − = C l 0 2 3 32 − = ,a b  2 3a b− ≤  a b   _____ a b   _____ 9 8 − 2 2 2 2 2 3 4 9 4 94 4 4 9 4 4 8 a b a b a b a b a b a b a b a b a b − ≤ ⇔ + ≤ + + ≥ ≥ − ⇒ + ≥ − ⇔ ≥ −                        ABC∆ , ,A B C , ,a b c _____ 2ab c> 3C π< 2a b c+ > 3C π< 3 3 3a b c+ = 2C π< ( ) 2a b c ab+ < 2C π> 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ < 3C π> _____ 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 3 a b c ab abab c C Cab ab π+ − −> ⇒ = > = ⇒ < 2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3 a b c a b a ba b c C Cab ab π+ − + − ++ > ⇒ = > ≥ ⇒ < ③当 时， 与 矛 盾 ④取 满足 得： ⑤取 满足 得： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分 12 分) 设函数 （I）求函数 的最小正周期； （II）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ； 求函数 在 上的解析式。 【 解 析 】 （I）函数 的最小正周期 （2）当 时， 当 时 ， 当 时 ， 2C π≥ 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b≥ + ⇒ ≥ + > + 3 3 3a b c+ = 2, 1a b c= = = ( ) 2a b c ab+ < 2C π< 2, 1a b c= = = 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ < 3C π< 22( ) cos(2 ) sin2 4f x x x π= + + ( )f x ( )g x x R∈ ( ) ( )2g x g x π+ = [0, ]2x π∈ 1( ) ( )2g x f x= − ( )g x [ ,0]π− 22 1 1 1( ) cos(2 ) sin cos2 sin 2 (1 cos2 )2 4 2 2 2f x x x x x x π= + + = − + − 1 1 sin 22 2 x= − ( )f x 2 2T π π= = [0, ]2x π∈ 1 1( ) ( ) sin 22 2g x f x x= − = [ ,0]2x π∈ − ( ) [0, ]2 2x π π+ ∈ 1 1( ) ( ) sin 2( ) sin 22 2 2 2g x g x x x π π= + = + = − [ , )2x ππ∈ − − ( ) [0, )2x ππ+ ∈ 得 ： 函 数 在 上 的 解 析 式 为 （17）（本小题满分 12 分） 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的 是 类型试题，则使用后 该试题回库，并增补一道 类试题和一道 类型试题入库 ，此 次调题工作结束；若调用 的是 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。 试题库中现共有 道 试题，其中有 道 类型试题和 道 类型试题，以 表示两 次调题工作完成后，试 题库中 类试题的数量。 （Ⅰ）求 的概率； （Ⅱ）设 ，求 的分布列和均值（数学期望）。 【 解 析 】（ I ） 表 示 两 次 调 题 均 为 类 型 试 题 ， 概 率 为 （Ⅱ） 时，每次调用的是 类型试题的概率为 随机变量 可取 ， ， 1 1( ) ( ) sin 2( ) sin 22 2g x g x x xπ π= + = + = ( )g x [ ,0]π− 1 sin 2 ( 0)2 2( ) 1 sin 2 ( )2 2 x x g x x x π ππ − − ≤ ≤=   − ≤ < A A B B n m+ n A m B X A 2X n= + m n= X 2X n= + A 1 2 n n m n m n +×+ + + m n= A 1 2p = X , 1, 2n n n+ + 2 1( ) (1 ) 4P X n p= = − = 1( 1) 2 (1 ) 2P X n p p= + = − = 2 1( 2) 4P X n p= + = = 答：（Ⅰ） 的概率为 （Ⅱ）求 的均值为 （18）（本小题满分 12 分） 平面图形 如图 4 所示，其中 是矩形， ， ， 。现将该平面图形分别沿 和 折叠，使 与 所在平面都 与平面 垂直，再分别连接 ,得到如图 2 所示的空间图 形，对此空间图形解答 下列问题。 X n 1n + 2n + P 1 4 1 2 1 4 1 1 1( 1) ( 2) 14 2 4EX n n n n= × + + × + + × = + 2X n= + 1 2 n n m n m n +×+ + + X 1n + 1 1 1ABB AC C 1 1BB C C 12, 4BC BB= = 2AB AC= = 1 1 1 1 5A B AC= = BC 1 1B C ABC∆ 1 1 1A B C∆ 1 1BB C C 1 1 1, ,AA BA CA 。 （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求 的长； （Ⅲ）求二面角 的余弦值。 【解析】（I）取 的中点为点 ，连接 则 ，面 面 面 同理： 面 得： 共面 又 面 （Ⅱ）延长 到 ，使 得： ，面 面 面 面 （Ⅲ） 是二面角 的平面角 在 中， 在 中， 1AA BC⊥ 1AA 1A BC A− − 1 1,BC B C 1,O O 1 1 1 1, , ,AO OO AO AO AB AC AO BC= ⇒ ⊥ ABC ⊥ 1 1BB C C AO⇒ ⊥ 1 1BB C C 1 1AO ⊥ 1 1BB C C 1 1 1 1/ / , , ,AO AO A O A O⇒ 1 1,OO BC OO AO O⊥ = ⇒ BC ⊥ 1 1 1AOO A AA BC⇒ ⊥ 1 1AO D 1O D OA= 1 1/ / / /O D OA AD OO⇒ 1OO BC⊥ 1 1 1A B C ⊥ 1 1BB C C 1OO⇒ ⊥ 1 1 1A B C ⇒ AD ⊥ 1 1 1A B C 2 2 2 2 1 4 (2 1) 5AA AD DA= + = + + = 1 1,AO BC AO BC AOA⊥ ⊥ ⇒ ∠ 1A BC A− − 1 1Rt OO A∆ 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 5A O OO AO= + = + = 1Rt OAA∆ 2 2 2 1 1 1 1 5cos 2 5 AO AO AAAOA AO AO + −∠ = = −× 得：二面角 的余弦值为 。 （19）（本小题满分 13 分）K] 设 （I）求 在 上的最小值； （II）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的 值。 【解析】（I）设 ；则 ①当 时， 在 上是增函数 得：当 时， 的最小值为 ②当 时， 当且仅当 时， 的 最小值为 （II） 由题意得： （20）（本小题满分 13 分） 如图， 分别是椭圆 的左，右焦点，过点 作 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 ， 过点 作直线 的垂线交直线 于点 ； （I）若点 的坐标为 ；求椭圆 的方程； 1A BC A− − 5 5 − 1( ) ( 0)x xf x ae b aae = + + > ( )f x [0, )+∞ ( )y f x= (2, (2))f 3 2y x= ,a b ( 1)xt e t= ≥ 2 2 2 2 1 1 1a ty at b y aat at at −′= + + ⇒ = − = 1a ≥ 0y′ > ⇒ 1y at bat = + + 1t ≥ 1( 0)t x= = ( )f x 1a ba + + 0 1a< < 1 2y at b bat = + + ≥ + 11( , ln )xat t e x aa = = = = − ( )f x 2b + 1 1( ) ( )x x x xf x ae b f x aeae ae ′= + + ⇒ = − 2 2 2 2 2 1 2(2) 3 3 3 1 3 1(2) 2 2 2 f ae b aae e f ae bae  = + + = =    ⇔ ⇔  ′ =  − = =   1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F x P 2F 2PF 2ax c = Q Q (4,4) C （II）证明：直线 与椭圆 只有一个交点。 【解析】（I）点 代入 得： ① 又 ② ③ 由①②③得： 既椭圆 的方程为 （II）设 ；则 得： 过点 与椭圆 相切的直线斜率 得：直线 与椭圆 只有一个交点。 （21）（本小题满分 13 分） 数列 满足： （I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 （II）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。 【解析】（I）必要条件 当 时， 数列 是单调递减数列 充分条件 数列 是单调递减数列 PQ C 1 1( , )( 0)P c y y− > 2 2 2 2 1x y a b + = 2 1 by a = 2 1 2 0 4 0 14 b aPF QF c c c − −⊥ ⇔ × = −− − − 2 4a c = 2 2 2 ( , , 0)c a b a b c= − > 2, 1, 3a c b= = = C 2 2 14 3 x y+ = 2 2( , )aQ yc 2 2 1 2 22 0 0 1 2 b yaPF QF y aac c cc − −⊥ ⇔ × = − ⇔ =− − − 2 2 2 PQ ba cak a acc − = = + 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 b xx y b ay b x ya b a bb xa − ′+ = ⇒ = − ⇒ = − P C x c PQ ck y ka=−′= = = PQ C { }nx 2 * 1 10, ( )n n nx x x x c n N+= = − + + ∈ { }nx 0c < c { }nx 0c < 2 1n n n nx x x c x+ = − + + < ⇒ { }nx { }nx 2 2 1 2 1 1 1 0x x x x c c x⇒ > = − + + ⇔ < = 得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 （II）由（I）得： ①当 时， ，不合题意 ②当 时， 当 时， 与 同 号， 由 当 时，存在 ，使 与 异号 与数列 是单调递减数列矛盾 得：当 时，数列 是单调递增数列 { }nx 0c < 0C ≥ 0c = 1 0na a= = 0c > 2 2 1 3 2, 2 0 1x c x x c c x c c= > = − + > = ⇔ < < 2 2 1 10 1 0n n n n nx x c x x c x x c+ − = − > ⇔ < < ⇔ = ≤ < 2 2 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1)n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x+ + + + + +− = − − + − = − − + − 1 4c ≤ 1 2 1 1 1 02n n n n nx c x x x x+ + +< ≤ ⇒ + − < ⇔ − 1n nx x+ − 2 1 2 1 10 0n n n nx x c x x x x+ + +− = > ⇒ − > ⇔ > 2 1lim lim( ) limn n n nn n n x x x c x c+→∞ →∞ →∞ = − + + ⇔ = 1 4c > N 1 2 1 1 12N N N N Nx x x x x+ + +> ⇒ + > ⇒ − 1N Nx x+ − { }nx 10 4c< ≤ { }nx