宁夏高考等值诊断网上阅卷联合考试新课程文科数学

宁夏高考等值诊断网上阅卷联合考试新课程文科数学

2010 年宁夏高考等值诊断网上阅卷联合考试 数学试卷（课标卷文科） 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 非选择题答案实用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数i (1 i)  对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设全集 RU  ， },02 1|{ Rxx xxA   ，则 ACR （ ） A． ]2,1[ B． ]2,1( C． )2,1[ D． )2,1( 3．若 n xx       2 展开式中的第 5 项为常数，则 n = （ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4.下列四个命题中的真命题为 （ ） A． 0x Z ， 01 4 3x  B． 0x Z ， 05 1 0x   C． x R ， 2 1 0x   D． x R ， 2 2 0x x   5．已知幂函数 ( )y f x 的图象经过点 (2, 4) ，则 ( )f x 的解析式为 （ ） A． ( ) 2f x x B． 2( )f x x C． ( ) 2xf x  D． ( ) 2f x x  6．右图是一个几何体的三视图，则该几何体 的体积为 （ ） A．6 B．8 C．16 D．24 7．若向量 a ，b 满足 1||||  ba ，且 a ·b + b ·b = 2 3 ，则向量 a ，b 的夹角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．在等差数列｛a n ｝中，已知 1 2a  , 2 3 13a a  ,则 4 5 6a a a  等于 （ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45 9． 已知变量 x，y 满足 2 0, 2 3 0, 0, x y x y x         则 2log ( 5)z x y   的最大值为 （ ） A． 8 B．4 C．3 D．2 10. 已知 ,m n 是两条不同直线， ,  是两个不同平面下列命题中不正确的是 （ ） A．若 m ∥ ， n   ，则 m // n B．若 m // n ， m   ，则 n ⊥ C．若 m   ， m   ，则 ∥  D．若 m   ， m ，则  11．若关于 ,x y 的方程组 2 2 1, 1 ax by x y      有实数解，则实数 ,a b 满足 （ ） A． 2 2 1a b  B． 2 2 1a b  ． C． 2 2 1a b  D． 2 2 1a b  12．偶函数 ( )f x 在（ ,  ）内可导，且 ' (1) 2f   ， ( 2) ( 2)f x f x   ，则曲线 ( )y f x 在点（ 5, ( 5)f  ） 处切线的斜率为 （ ） A．2 B． 2 C．1 D． 1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在横线上． 13．抛物线 22y x 的焦点坐标是________________． 14. 阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的 y 值为 1 8 ， 则输入的实数 x 值为________________. 开始 x > 0 22 1y x  输出 y 是 否 输入 x 1 2 x y      15. 设关于 x 的不等式 2 *2 ( )x x nx n   N 的解集中整数的个数为 na ，数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 100S 的值为_______________________. 16．函数 ( ) sin ( 0 0)f x A x A   , 的部分图象如图所示， 则 (1) (2) (2006)f f f   = ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 已知在⊿ABC 中，角 CBA ,, 的对边为 ,,, cba 向量 (2cos , sin( )2 C A B  m ）， (cos ,2sin( )2 C A B n ），且 m n ． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)若 222 2 1 cba  ，求 )sin( BA  的值． 18．（本小题满分 12 分） 某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知 该题有两空，第一空答对得 3 分，答错或不答得 0 分；第二空答对得 2 分，答错或不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取 1000 份试卷，其 中该题的得分组成容量为 1000 的样本，统计结果如下表： （Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得 分情况的频率（精确到 0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一 空得分不低于第二空得分的概率. 19．（本小题满分 12 分） 如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 、 F 分别为 1DD 、 DB 的中点． （I）求证： 1EF B C ； （II）求二面角 DFCE  的正切值； （III）求三棱锥 EDCF  的体积． 20．( 本小题满分 12 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，左焦点为 F，左准线与 x 轴的交点为 M， y xO 6 2 2 2 C D B F E D 1 C 1 B 1 A A 1 A B C D E O 4OM OF  . （Ⅰ）求椭圆的离心率 e ； （Ⅱ）过左焦点 F 且斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，若 2OA OB    ，求椭圆的 方程. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 3 21 2( ) 2 33 2 af x x x ax    . （Ⅰ）当 1a  时，求函数 ( )f x 在 2, 0 上的最小值； （Ⅱ）求 ( )f x 的单调增区间． 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）本小题满分（12 分）选修 4-1：几何证明选讲 w.w.w 如图，直线 AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB ， CA CB ，直线OB 交⊙O 于点 E D， ，连接 EC CD， ． （I）试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明； （II）若 1tan 2E  ，⊙O 的半径为 3，求OA的长． .k.s.5.u.c o（23）（本小题满分 12 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已 知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 6   ． （I）写出直线 l 的参数方程； （II）设 l 与圆 2  相交与两点 A、B，求点 P 到 A、B 两点的距离之积． （24）（本小题满分 12 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 112)(  xxxf ，求使 )(xf ≥ 22 的 x 取值范围． 数学课标文科答案及评分标准 一、选择题：每小题 5 分，满分 60 分． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C B C D C A B C D A A 提示： 1．A．i (1 i) 1 i    ，∴复数i (1 i)  对应的点位于第一象限． 2．B．∵ 1|{  xxA 或 }2x ，∴ ]2,1(ACR ． 3．C．由通项公式列方程来解，体现方程的思想． 4．D. ∵ 2 22 ( 1) 1 0x x x      . 5．B．由幂函数的概念和和函数过定点进行判断. 6．B． 1 1 4 4 3 83 2V       . 7．C． a ·b +b ·b 2 3cos , cos , 1 2a b a b b a b               ， 1cos , 2a b   ， ∴ 向量 a ，b 的夹角为 60 . 8．B． 1 2a  , 2 3 13a a  ，所以 3d  ． 4 5 6 13 12 3 2 12 3 42a a a a d         ． 9．C．画出可行域，求得 5u x y   的最大值为 8，所以 2log ( 5)z x y   的最大值为 3． 10．A．由线线、线面位置定理可进行判断． 11．C . 圆心（0，0）到直线 1 0ax by   的距离 2 2 1 1d a b    ，即 2 2 1a b  . 12 ． A ． 由 ( ) ( 4)f x f x  可 知 (1) (5)f f ， 又 因 为 ( )f x 偶 函 数 ， 所 以 ' '( 5) (5) 2f f    . 二、填空题：每小题 5 分，满分 20 分． 13． 1(0, )8 ． 22y x 化为 2 1 2x y 后求焦点坐标． 14．0.3． 3 10 = 0.3. 15 ． 10100. 解 不 等 式 2 *2 ( )x x nx n   N 得 0 2x n  ， 则 2na n ， 100 100(2 200) 101002S   . 16． 2 . ( ) 2sin 4f x x ， (1) (2) (2006)f f f   = (1) (2) (6)f f f   = (1) 2f  . 三、解答题： 17．本小题主要考查三角变换、三角求值，正弦定理、余弦定理，考查转化与运算能力．满 分 10 分． 解：（Ⅰ）由 m n =0 得 0)(sin22cos2 22  BAC .即 0)cos1(2cos1 2  CC ; 整理得 01coscos2 2  CC . 解得 1cos 1 cos 2C C  （舍）或 . 因为  C0 ，所以 060C ． ……………………………………5 分 （Ⅱ）因为 ABBABA cossincossin)sin(  . 由正弦定理和余弦定理可得  BR bBR aA cos,2sin,2sin ,2 222 ac bca  bc acbA 2cos 222  代 入 上 式 得  )sin( BA bc acb R b ac bca R a 2222 222222  cR ba 4 )(2 22  ． 又因为 222 2 1 cba  ,故  )sin( BA 4 3sin2 1 44 2  CR c cR c . 所求 4 3)sin(  BA . ………………………………………………10 分 18．本小题主要考查平均数、独立事件以及对立事件的概率，考查运用概率的知识解决实际 问题的能力．满分 12 分． 解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为 x ，则由表中数据可得: 0 198 3 802 0 698 2 302 3.011000x         ， ……………….3 分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为 3.01 分. ……………….4 分 （Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为 0.8，第二空答对的概率为 0.3，……………….6 分 记“第一空答对”为事件 A ，“第二空答对”为事件 B ，则“第一空答错”为事件 A ， “第 二空答错”为事件 B .若要第一空得分不低于第二空得分，则 A 发生或 A 与 B 同时发生， ……………….8 分 故有： ( ) ( ) 0.8 0.2 0.7 0.94P A P A B      . ……………….11 分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为 0.94. ……………….12 分 19．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角与体积的计算，考查空间想象能力、思 维能力和运算能力．满分 12 分． 证明： （I） 1 1 1 1 1 1 1 , B C AB B C BC AB BC ABC D AB BC B        平面  1 1 1 1 1 1 B C ABC D BD ABC D     平面 平面 1 1 1// B C BD EF BD     1EF B C  ．…6 分 （II）∵点 F 为 DB 的中点，且 ABCD 为正方形，∴ BDCF  ． 又 1DD 平面 ABCD ，∴ CFDD 1 ． 而 DDBDD 1 ，∴ CF 平面 11BBDD ． 又 EF 平面 11BBDD ，∴ EFCF  ，故 EFD 为二面角 DFCE  的平面角． 在 EFDRt 中， 1DE ， 2DF ，∴ 2 2tan  DF DEEFD ． 因而二面角 DFCE  的正切值为 2 2 ． ……………………………………9 分 （III） 1DE ， 2 DFFC ， FCDFDEVV FDCEEDCF   2 1 3 1 3 1 ． ………………………………………………………………………………………………12 分 向量法解略. 20．本小题主要考查直线及圆锥曲线，考查方程的思想及解析几何的基本思想，考查运算能 力和综合解题的能力．满分 12 分． 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   ， ( ,0)F c ， 2 ( ,0)aM c  . 由 4OM OF  ，有 2 ( ,0)a c  =4 ( ,0)c . ……………………………………………3 分 则有 2 4a cc  ，即 2 2 1 4 c a  ，∴ 1 2 c a  . ………………………………………………5 分 （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 2( )y x c  .直线 AB 与椭圆的交点为 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y . 由（Ⅰ）可得 2 24a c ， 2 23b c . 由 2 2 23 4 12 , 2( ). x y c y x c      消去 y，得 2 211 16 4 0x cx c   . ……………………………………8 分 1 2 16 11 cx x   ， 2 1 2 4 11x x c  . 1 1 2 2( , ) ( , )OA OB x y x y    = 1 2 1 2x x y y ， 且 1 2 1 22( )( )y y x c x c    = 2 1 2 1 22 2 ( ) 2x x c x x c   . ∴ 2 1 2 1 23 2 ( ) 2 2x x c x x c     . ……………………………………………………10 分 即 2 2 212 32 2 211 11c c c     . ∴ 2 1c  . 则 2 4a  ， 2 3b  . 椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  . ……………………………………………………………12 分 21．本小题主要考查导数的计算，应用导数研究函数的单调性，不等式的证明等，考查综合 运用数学知识解决问题的能力．满分 12 分． （Ⅰ）当 1a  时，函数解析式为 3 21 1( ) 2 33 2f x x x x    ，其定义域为 R ． 2( ) 2 ( 1)( 2)f x x x x x       ……………………………………………2 分 令 ( ) 0f x  ，得 ( 1)( 2) 0x x   ，解得 1x   或 2x  ． 同样，令 ( ) 0f x  ，得 ( 1)( 2) 0x x   ，解得 1 2x   ． 所以 ( )f x 在 ( , 1)  上为增函数．在 ( 1, 2) 上为减函数．在 (2, )  上为增函数． 故 ( )f x 在 2, 0 上的最小值是 ( 2)f  与 (0)f 中的较小者． 8 11( 2) 2 4 33 3f         ， (0) 3f   ，有 ( 2) (0)f f  ． 所以 ( )f x 在 2, 0 上的最小值为 11( 2) 3f    ．………………………………6 分 （Ⅱ） 2( ) ( 2) 2 ( )( 2)f x x a x a x a x        ………………………8 分 令 ( ) 0f x  ，即 ( )( 2) 0x a x   ． ① 当 2a  时，即 2a   ，不等式①的解为 2x x a  或 ， 所以 ( )f x 的单调增区间是 ( , 2) ( , )a   和 ； 当 2a  时，即 2a   ，不等式①的解为 2x a x  或 ， 所以 ( )f x 的单调增区间是 ( , ) ( 2, )a   和 ； 当 2a  时，即 2a   ，不等式①的解为 , 2x R x 且 ，由 ( )f x 在 2x  处连续所以 ( )f x 的单调增区间是实数集 R ． 综上： （1）当 2a   时， ( )f x 的单调增区间是 ( , 2) ( , )a   和 ；……………10 分 （2）当 2a   时， ( )f x 的单调增区间是 ( , ) ( 2, )a   和 ；……………11 分 （3）当 2a   时， ( )f x 在实数集 R 上的单调递增．……………………………12 分 22．解：（I）证明：如图，连接 OC ． OA OB ，CA CB ， OC AB  ． ∴ AB 是 O 的切线．3 分 （II） 1tan 2E  ，∴ 1 2 CD EC  ． BCD BEC△ ∽△ ，∴ 1 2 BD CD BC EC   ．设 BD x ，则 2BC x ． ………… 6 分 又 2BC BD BE  ，∴ 2(2 ) ( 6)x x x  ． ………………………………………… 8 分 解得 1 0x  ， 2 2x  ． 0BD x  ，∴ 2BD  ． 2 3 5OA OB BD OD       ． 12 分 23．解：（I）直线的参数方程是 是参数）t ty tx ( ;2 11 ,2 31         ．……………………… 3 分 （II）因为点 A,B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别 为 ),2 11,2 31( 11 ttA  )2 11,2 31( 22 ttB  ． …………………………… 5 分 圆 2  化为直角坐标系的方程 422  yx ．…………………………… 7 分 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 422  yx 整理得到 02)13(2  tt ① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2． 所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． …………………………… 12 分 24．解：由于 2xy  是增函数， ( ) 2 2f x  等价于 3| 1| | 1| 2x x    ． ① ……………… 3 分 （1）当 1x  时，| 1| | 1| 2x x    ，则①式恒成立， （2）当 1 1x   时，| 1| | 1| 2x x x    ，①式化为 32 2x  ，即 3 14 x  ， （3）当 1x   时，| 1| | 1| 2x x     ，①式无解． 综上， x 取值范围是 3[ , )4  ．………………………… 12 分