西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案

西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案

云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）‎ 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B A A C B B B C A C D ‎【解析】‎ ‎1．由题意知：集合，集合，则，故选D．‎ ‎2．在复平面内，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，的最小值为，所以，故选B．‎ ‎3．由数列为等差数列，设其公差为，所以，即，故选A．‎ ‎4．设与的夹角为，由，‎ 所以，则与的夹角为，故选A．‎ ‎5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1，所以圆柱的外接球的半径为，故而圆柱的外接球的表面积为，故选C．‎ ‎6．由函数的最大值为，则选项A不满足；由为其一个对称中心，即，选项D不满足；由，且，即函数的最小正周期为，选项C不满足；而B选项均满足，故选B．‎ ‎7．如图1，在中，，，则，‎ 设点为内切圆的圆心，设其内切圆的半径为，由 ‎，所以 图1‎ ‎，故而，所以其 内切圆的直径为步，故选B．‎ ‎8．由均为大于的正数，令，则，且，，，所以，，．又由，即，由，即，由幂函数在第一象限的单调性知，，故选B．‎ ‎9．由程序框图可知，当时，运算前的值记为，则程序输出的是，即，由程序框图可知，当输入的为正整数时，对任意的，均为正整数，而，则必有，此时， 故而，的可能取值为，故选C．‎ ‎10．如图2，设，，，由题意知：所以 ‎，又，‎ 所以．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为 图2‎ ‎，所以外接圆的面积为，故选A．‎ ‎11．当时，满足题意；当时，，要满足题意需满 足，即；当时，，不合题意．综上所述，‎ 的取值范围是，故选C．‎ ‎12．如图3，设点为点在平面内的投影，‎ 若，则由，，两两全 ‎ 等，所以，故选项A正确；‎ 图3‎ 若，，由，，所以 ‎ 平面，即，同理，所以在平面 内的投影为三角形的垂心，故选项B正确；‎ 若，，，则四面体可以放 在长方体内，如图4，则每组对棱的中点可以看成棱所在面 图4‎ 的中心，故而每组对棱中点的线段互相垂直平分，故选项C正确；‎ 若三棱锥各棱长均为，则三棱锥为正四面体，到三棱锥的四个顶点距离相等的截面，如图5有两种情况：‎ 第一种情况，如图5甲，截面为边长为的 正图5‎ 三角形，其面积为，故所有的截面为 正三角形的面积和为；‎ 第二种情况，如图乙，截面为边长为的正方形，其面积为，故所有截面为正方形的面 积和为，所以所有的截面面积和为，故选项D错误；‎ 综上所述，故选D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎40‎ ‎1‎ ‎【解析】‎ ‎13．作出不等式组表示的平面区域，如图6中 阴影部分所示，作出直线，平移直线 ‎，图6‎ 当直线经过点时，取得最小 值，所以的最小值为．‎ ‎14．令，则，所以，当第一个括号取时，第二个括号内要取含的项，即；当第一个括号取时，第二个括号内要取含的项，即，所以的系数为．‎ ‎15．设，，，则切点为的椭圆C的直线方程为：，切点为的椭圆C的直线方程为：．由两切线均过点，故而有：所以直线的方程为，则直线过定点，所以原点到直线的距离的最大值为1．‎ ‎16．由题意知：，，又由，则，‎ ‎，所以，又 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理可知：‎ 所以，因为，‎ 而，则，所以．…………………………………………（6分）‎ 图7‎ ‎（Ⅱ）如图7，由及（Ⅰ）知是顶角 为的等腰三角形，则，‎ 所以，即，‎ 又，所以，‎ 则，‎ 所以．………………………………………………………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：‎ 物理优秀 物理不优秀 总计 数学优秀 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 数学不优秀 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎……………………………………………………………………………………（2分）‎ ‎（Ⅱ）由题意知：，‎ 所以有的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分）‎ ‎（Ⅲ）由题意知，每名即将被询问的同学数学与物理都优秀的概率为，‎ ‎ 随机变量所有可能的取值为：，‎ 所以的期望．……………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图8，连接交于点，连接MO，NO，所以，‎ 又平面，且，‎ 所以平面，则有，，‎ 故而为二面角的平面角，‎ 图8‎ 由，，是边长为的菱形，且 ‎ ‎，可得，，‎ 又由，即，‎ 所以，所以平面平面．………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：如图9，取的中点，则平面，‎ 由（Ⅰ）知，建立以为轴，为轴，为轴的空 ‎ 间直角坐标系，‎ 图9‎ 则，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即 令，则，，所以，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即 令，则，，所以，‎ 设锐二面角的平面角为，则，‎ 所以锐二面角的余弦值为．……………………………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设圆心M的坐标为，则．‎ 由题意知：，整理得：．………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设所在的直线的倾斜角为，‎ 则直线的方程为，‎ 与抛物线的方程联立得：，‎ 设的横坐标分别是，‎ 则有：，‎ 同理：，‎ 所以四边形的面积，‎ ‎ 当且仅当或时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为．……（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由，则，‎ 所以．‎ 若，则，即函数为定义域上的增函数，由，不合题意；‎ 若，则，所以为上的增函数，且，由，不合题意；‎ 若，则，所以为上的减函数，且，由，不合题意；‎ 若，，，所以为上的增函数，为 上的减函数，所以，满足题意．‎ 综上所述，满足题意的．…………………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由恒成立，则，‎ 又由，等价于，即等价于函数的图象不在函数图象的上方，对于每一个大于零的，要使得的值最小，需使直线与函数的图象相切，此时，设切点为且，‎ 则切线方程可以表示为，即，‎ 所以．‎ 令，则，‎ 所以为上的减函数，为上的增函数，则，‎ 所以的最小值为0．‎ 由，等价于，即等价于函数的图象不在函数的图象的下方，同理，对于每一个大于零的，要使得的值最大，需使直线与函数的图象相切，此时，设切点为，‎ 则切线方程可以表示为，即：，‎ 所以．‎ 令，则，‎ 所以为上的增函数，为上的减函数，则，‎ 所以的最大值为．‎ ‎ 综上所述，的取值范围是．………………………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）曲线的参数方程为：，‎ 所以曲线的普通方程为：，．‎ 又由，，‎ 所以曲线的极坐标方程为：，，‎ 直线的极坐标方程为：．……………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）如图10，由题意知：，‎ 由（Ⅰ）知，，‎ 图10‎ ‎，‎ 所以，．…………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ ‎（Ⅰ）解：由，‎ 所以则函数的图象如图11，‎ 则函数的最小值为，即．……………（5分）‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，‎ 图11‎ 所以，‎ 当且仅当时不等式取等号，所以．………………………（10分）‎