校级：高考数学试题导数内容探究

校级：高考数学试题导数内容探究

高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。‎ ‎《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。‎ 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。‎ 例、已知函数.‎ ‎(1)设，求函数的极值；‎ ‎(2)若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：‎ ‎（-1，3）‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以，的极大值是，极小值是 ‎（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.‎ 若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是 由于是有 由 所以 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 二、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，极值点、最值等问题，这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题。解决极值，极值点问题转化为研究函数的单调性；参数的取值范围转化为解不等式的问题；有时需要借助于方程的理论来解决。从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想。‎ 例已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 ‎（Ⅰ）求函数的另一个极值点；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极大值M和极小值m，并求时k的取值范围.‎ 解（I）∵是函数的一个极值点，‎ ‎∴即得∵∴由此可知，‎ O c k ‎1‎ ‎，即，由此方程的一个根为，另一个根由韦达定理容易计算为或 ‎∴函数的另一个极值点为（或）‎ ‎（II）由（I）知，现画一个函数图帮助理解，‎ ‎∵且，则图象如图所示，‎ ‎∴或，‎ ① 当，即时，当或时，当时，上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴，‎ 又，∴，即，解之得满足。‎ ‎②当，即时，当或时，当时，∴上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴，又，∴，‎ 即，解之得或，结合，∴‎ 综上可知，所求k的取值范围为 三、函数，导数，方程，不等式综合在一起，利用导数的几何意义，解决求函数的解析式、参数值、极值、切线方程，单调性及切线方程有关的问题，此类问题求单调性的过程就是解一元二次不等式和高次不等式的问题。从而达到考查化归与转化的数学思想。‎ 例：已知函数,且 ‎(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；‎ ‎（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：‎ ‎（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；‎ 解(Ⅰ)依题意,得 由.‎ 从而 令 ‎①当a>1时, ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.‎ ‎（2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ 四、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，最值等问题。求极值的过程就是讨论函数单调性及解含参数的不等式问题；通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。‎ 例：已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.‎ ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。‎ 解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，‎ 所以，于是 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.‎ ‎（ⅰ）当c 12时，，此时无极值。‎ ‎（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.‎ 当x＜时，，在区间内为增函数；‎ 当＜x＜时，，在区间内为减函数;‎ 当时，，在区间内为增函数. ‎ 所以在处取极大值，在处取极小值.‎ 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.‎ 于是的定义域为.由得.‎ 于是.‎ 当时，所以函数 在区间内是减函数，故的值域为 五、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决求参数值、单调性问题；用导数探讨函数图像的交点，从而达到求解参数的取值范围和解决有关证明问题，常常借助极值的分布特征，再结合函数单调性，函数的零点值、端点值，画出原函数的草图来解决。值得强调的是：必须考虑函数的定义域，从而达到考查数形结合的思想 例：设函数．‎ ‎（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．‎ 解：(1) , ‎ 因为,, 即恒成立, ‎ 所以, 得，即的最大值为 ‎(2) 因为当时, ;当时, ;当时, ;‎ 所以当时,取极大值;‎ 当时,取极小值;‎ 故当或时, 方程仅有一个实根. 解得或.‎ 新课程高考导数复习，应该以高考试题为指导。分析研究高考题目，为高考复习指明方向，化繁为简、突出重点、提高效率。要认识导数是新课程新增内容，在复习中明确导数作为一种工具，在研究函数的变化率，解决函数的单调性，极值等方面的作用，抓住导数基础知识学习．注意考题的难度逐年增大，要有意识地与解析几何(特别是切线,最值)，函数的单调性，函数的极值，最值，二次函数，方程、不等式、等知识进行交汇综合训练，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些切线问题、函数单调性问题、含参分类讨论、含参恒成立问题等典型问题进行训练，提高应用导数知识分析问题和解决问题的能力。‎