高考数学考点归纳之 抛物线

高考数学考点归纳之 抛物线

高考数学考点归纳之 抛物线 一、基础知识 1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F和一条定直线 l(点 F不在直线 l上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F叫做抛物 线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 方程 图形 p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F p 2 ，0 F － p 2 ，0 F 0，p 2 F 0，－ p 2 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ p 2 x＝p 2 y＝－ p 2 y＝p 2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ p 2 |PF|＝－x0＋ p 2 |PF|＝y0＋ p 2 |PF|＝－y0＋ p 2 二、常用结论 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设 AB是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦 AB的倾 斜角．则 (1)x1x2＝ p2 4 ，y1y2＝－p2. (2)|AF|＝ p 1－cos α ，|BF|＝ p 1＋cos α . (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2α . (4) 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝ 2 p . (5)以弦 AB为直径的圆与准线相切． 考点一 抛物线的定义及应用 [典例] (1)若抛物线 y2＝4x上一点 P到其焦点 F的距离为 2，O为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 (2)设 P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [解析] (1)设 P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 又点 P到焦点 F的距离为 2， ∴由定义知点 P到准线的距离为 2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2， ∴△OFP的面积为 S＝1 2 ·|OF|·|yP|＝1 2 ×1×2＝1. (2)如图，过点 B作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q| ＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为 4. [答案] (1)B (2)4 [变透练清] 1．若抛物线 y2＝2px(p＞0)上的点 A(x0， 2)到其焦点的距离是 A到 y轴距离的 3 倍， 则 p等于( ) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 解析：选 D 由抛物线 y2＝2px知其准线方程为 x＝－ p 2 .又点 A到准线的距离等于点 A 到焦点的距离，∴3x0＝x0＋p 2 ，∴x0＝p 4 ，∴A p 4 ， 2 .∵点 A在抛物线 y2＝2px上，∴ p2 2 ＝2. ∵p＞0，∴p＝2.故选 D. 2.变条件若将本例(2)中的 B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． 因为|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F两点间的距离， 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 22＋42＝ 4＋16＝2 5， 即|PB|＋|PF|的最小值为 2 5. 答案：2 5 3．已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l的方程为 x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点 P到 y轴的距离为 d1，到直线 l的距离为 d2，则 d1＋d2的最小值为________． 解析：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)． 点 P到 y轴的距离 d1＝|PF|－1， 所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知 d2＋|PF|的最小值为点 F到直线 l的距离， 故 d2＋|PF|的最小值为 |1＋5| 12＋－12 ＝3 2， 所以 d1＋d2的最小值为 3 2－1. 答案：3 2－1 [解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的 相互转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最 短”，使问题得解； (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连 线中，垂线段最短”解决． 考点二 抛物线的标准方程及性质 [典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物线的标准方程是 ( ) A．y2＝－x B．x2＝－8y C．y2＝－8x或 x2＝－y D．y2＝－x或 x2＝－8y (2)(2018·北京高考)已知直线 l过点(1,0)且垂直于 x轴，若 l被抛物线 y2＝4ax截得的线 段长为 4，则抛物线的焦点坐标为________． [解析] (1)(待定系数法)设抛物线为 y2＝mx，代入点 P(－4，－2)，解得 m＝－1，则抛 物线方程为 y2＝－x；设抛物线为 x2＝ny，代入点 P(－4，－2)，解得 n＝－8，则抛物线方 程为 x2＝－8y. (2)由题知直线 l的方程为 x＝1， 则直线与抛物线的交点为(1，±2 a)(a>0)． 又直线被抛物线截得的线段长为 4， 所以 4 a＝4，即 a＝1. 所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． [答案] (1)D (2)(1,0) [解题技法] 1．求抛物线标准方程的方法及注意点 (1)方法 求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程 (含有未知数 p)，那么只需求出 p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x轴上的 抛物线的标准方程可统一设为 y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在 y轴上的抛物线 的标准方程可设为 x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论． (2)注意点 ①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； ②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； ③要注意参数 p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． [题组训练] 1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线 y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y 解析：选 D 由抛物线的定义知，过点 F(0,3)且和直线 y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹 是以点 F(0,3)为焦点，直线 y＝－3为准线的抛物线，故其方程为 x2＝12y. 2．若双曲线 C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线 y2＝16x的准线交于 A，B两点，且|AB|＝ 4 3，则 m的值是________． 解析：y2＝16x的准线 l：x＝－4， 因为 C与抛物线 y2＝16x的准线 l：x＝－4交于 A，B两点，|AB|＝4 3， 设 A在 x轴上方， 所以 A(－4,2 3)，B(－4，－2 3)， 将 A点坐标代入双曲线方程得 2×(－4)2－(2 3)2＝m， 所以 m＝20. 答案：20 3．已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点 P为抛物线上的动点，点 M为其准线上的 动点，若△FPM为边长是 4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________． 解析：由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM垂直于抛物线的 准线，设 P m，m2 2p ，则点 M m，－ p 2 ，因为焦点 F 0，p 2 ，△FPM 是等边三角形，所以 m2 2p ＋ p 2 ＝4， p 2 ＋ p 2 2＋m2＝4， 解得 m2＝12， p＝2， 因此抛物线方程为 x2＝4y. 答案：x2＝4y 考点三 直线与抛物线的综合问题 考法(一) 直线与抛物线的交点问题 [典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)和定点 M(0,1)，设过点 M的动直线交抛物线 C于 A，B两点，抛物线 C在 A，B处的切线的交点为 N.若 N在以 AB 为直径的圆上，则 p的值为________． [解析] 设直线 AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线 AB的方程代入抛物线 C的方程得 x2－2pkx－2p＝0， 则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p. 由 x2＝2py得 y′＝ x p ， 则 A，B处的切线斜率的乘积为 x1x2 p2 ＝－ 2 p ， ∵点 N在以 AB为直径的圆上，∴AN⊥BN， ∴－ 2 p ＝－1，∴p＝2. [答案] 2 [解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 考法(二) 抛物线的焦点弦问题 [典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，过 F且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C交于 A，B两点，|AB|＝8. (1)求 l的方程； (2)求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得 F(1,0)，l的方程为 y＝k(x－1)(k>0)． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y＝kx－1， y2＝4x 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故 x1＋x2＝ 2k2＋4 k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4 k2 . 由题设知 4k2＋4 k2 ＝8，解得 k＝1或 k＝－1(舍去)． 因此 l的方程为 y＝x－1. (2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)， 所以 AB的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)， 即 y＝－x＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则 y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x0＋12 2 ＋16. 解得 x0＝3， y0＝2 或 x0＝11， y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [解题技法] 解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦 点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设 而不求”、“整体代入”等解法． [提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． [题组训练] 1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为 2 3 的直线与 C 交于 M，N两点，则 FM ―→ · FN ―→ ＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选 D 由题意知直线 MN的方程为 y＝2 3 (x＋2)， 联立 y＝2 3 x＋2， y2＝4x， 解得 x＝1， y＝2 或 x＝4， y＝4. 不妨设 M(1,2)，N(4,4)． 又∵抛物线焦点为 F(1,0)， ∴ FM ―→ ＝(0,2)， FN ―→ ＝(3,4)． ∴ FM ―→ · FN ―→ ＝0×3＋2×4＝8. 2．已知抛物线 y2＝16x的焦点为 F，过 F作一条直线交抛物线于 A，B两点，若|AF|＝6， 则|BF|＝________. 解析：不妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在 B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋p 2 ＝x1＋4＝ 6，所以 x1＝2，y1＝4 2，所以直线 AB的斜率为 k＝ 4 2 2－4 ＝－2 2，所以直线方程为 y＝－ 2 2(x－4)，与抛物线方程联立得 x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以 x2＝8，故|BF| ＝8＋4＝12. 答案：12 [课时跟踪检测] A级 1．(2018·永州三模)已知抛物线 y＝px2(其中 p为常数)过点 A(1,3)，则抛物线的焦点到准 线的距离等于( ) A.9 2 B.3 2 C. 1 18 D.1 6 解析：选 D 由抛物线 y＝px2(其中 p为常数)过点 A(1,3)，可得 p＝3，则抛物线的标准 方程为 x2＝1 3 y，则抛物线的焦点到准线的距离等于 1 6 .故选 D. 2．过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－ 9 2 x或 x2＝4 3 y B．y2＝9 2 x或 x2＝4 3 y C．y2＝9 2 x或 x2＝－ 4 3 y D．y2＝－ 9 2 x或 x2＝－ 4 3 y 解析：选 A 设抛物线的标准方程为 y2＝kx或 x2＝my，代入点 P(－2,3)，解得 k＝－ 9 2 ， m＝4 3 ，所以 y2＝－ 9 2 x或 x2＝4 3 y. 3．(2019·龙岩质检)若直线 AB与抛物线 y2＝4x交于 A，B两点，且 AB⊥x轴，|AB|＝4 2， 则抛物线的焦点到直线 AB的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：选 A 由|AB|＝4 2及 AB⊥x轴，不妨设点 A的纵坐标为 2 2，代入 y2＝4x得点 A的横坐标为 2，从而直线 AB的方程为 x＝2.又 y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到 直线 AB的距离为 2－1＝1，故选 A. 4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线 C：y＝x2 8 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C上一点， 且|AF|＝2y0，则 x0＝( ) A．2 B．±2 C．4 D．±4 解析：选 D 由 y＝x2 8 ，得抛物线的准线为 y＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF|＝ 2y0＝2＋y0，得 y0＝2，所以 x0＝±4，故选 D. 5．(2019·湖北五校联考)直线 l过抛物线 y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于 A， B两点，若线段 AB的长是 8，AB的中点到 y轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( ) A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8. 又 AB的中点到 y轴的距离为 2，∴－ x1＋x2 2 ＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的 方程为 y2＝－8x.故选 B. 6．已知点 A(0,2)，抛物线 C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为 F，射线 FA与抛物线 C相交于点 M，与其准线相交于点 N.若|FM|∶|MN|＝1∶5，则 a的值为( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．4 解析：选 D 依题意，点 F的坐标为 a 4 ，0 ，设点 M在准线上的 射影为 K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶5，则|KN|∶ |KM|＝2∶1.∵kFN＝ 0－2 a 4 －0 ＝－ 8 a ，kFN＝－ |KN| |KM| ＝－2，∴ 8 a ＝2，解得 a ＝4. 7．抛物线 x2＝－10y的焦点在直线 2mx＋my＋1＝0上，则 m＝________. 解析：抛物线的焦点为 0，－ 5 2 ，代入直线方程 2mx＋my＋1＝0，可得 m＝2 5 . 答案： 2 5 8．(2019·沈阳质检)已知正三角形 AOB(O为坐标原点)的顶点 A，B在抛物线 y2＝3x上， 则△AOB的边长是________． 解析：如图，设△AOB的边长为 a，则 A 3 2 a，1 2 a ，∵点 A在抛 物线 y2＝3x上，∴ 1 4 a2＝3× 3 2 a，∴a＝6 3. 答案：6 3 9．(2018·广州一模)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线 x2 3 －y2＝1的右焦点重合， 若 A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线 AF的斜率为________． 解析：∵双曲线 x2 3 －y2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为 y2＝8x，∵|AF|＝3，∴xA ＋2＝3，得 xA＝1，代入抛物线方程可得 yA＝±2 2.∵点 A在第一象限，∴A(1,2 2)， ∴直线 AF的斜率为 2 2 1－2 ＝－2 2. 答案：－2 2 10．已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F的直线与抛物线交于 A，B两点，过 A，B分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________． 解析：由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值 时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所 以|AC|＋|BD|的最小值为 2. 答案：2 11．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于 x轴上方 的点，A到抛物线准线的距离等于 5，过 A作 AB垂直于 y轴，垂足为 B，OB的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N的坐标． 解：(1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－ p 2 ， 于是 4＋p 2 ＝5，∴p＝2. ∴抛物线方程为 y2＝4x. (2)∵点 A的坐标是(4,4)， 由题意得 B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴kFA＝4 3 ， ∵MN⊥FA，∴kMN＝－ 3 4 . ∴FA的方程为 y＝4 3 (x－1)，① MN的方程为 y－2＝－ 3 4 x，② 联立①②，解得 x＝8 5 ，y＝4 5 ， ∴点 N的坐标为 8 5 ， 4 5 . 12．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，抛物线 C与直线 l1：y＝－x的一个交点 的横坐标为 8. (1)求抛物线 C的方程； (2)不过原点的直线 l2与 l1垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB的中点 为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积． 解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8， ∴抛物线 C的方程为 y2＝8x. (2)直线 l2与 l1垂直，故可设直线 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2与 x轴 的交点为 M. 由 y2＝8x， x＝y＋m， 得 y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝y21y22 64 ＝m2. 由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或 m＝0(舍去)，∴直线 l2：x＝y＋8，M(8,0)． 故 S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝ 1 2 ·|FM|·|y1－y2|＝3 y1＋y22－4y1y2＝24 5. B级 1．设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，M∈C，以 M为圆心的圆 M与准 线 l相切于点 Q，Q 点的纵坐标为 3p，E(5,0)是圆 M与 x轴不同于 F的另一个交点，则 p ＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 如图，抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F p 2 ，0 ，由 Q 点的纵坐标为 3p知 M点的纵坐标为 3p，则 M点的横坐标 x＝3p 2 ， 即M 3p 2 ， 3p .由题意知点M是线段EF的垂直平分线上的点， 3p 2 ＝ 5－p 2 2 ＋ p 2 ，解得 p＝2.故选 B. 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C的焦点且斜率为 k的直 线与 C交于 A，B两点．若∠AMB＝90°，则 k＝________. 解析：法一：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y21＝4x1， y22＝4x2， ∴y21－y22＝4(x1－x2)， ∴k＝y1－y2 x1－x2 ＝ 4 y1＋y2 . 设 AB中点 M′(x0，y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，B作准线 x＝－1的垂线，垂 足为 A′，B′， 则|MM′|＝1 2 |AB|＝1 2 (|AF|＋|BF|) ＝ 1 2 (|AA′|＋|BB′|)． ∵M′(x0，y0)为 AB的中点， ∴M为 A′B′的中点，∴MM′平行于 x轴， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)， 设直线方程为 y＝k(x－1)， 直线方程与 y2＝4x联立，消去 y， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2＝1，x1＋x2＝ 2k2＋4 k2 . 由 M(－1,1)，得 AM ―→ ＝(－1－x1,1－y1)， BM ―→ ＝(－1－x2,1－y2)． 由∠AMB＝90°，得 AM ―→ · BM ―→ ＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又 y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋2k2＋4 k2 ＋1＋k2 1－2k2＋4 k2 ＋1 －k 2k2＋4 k2 －2 ＋1＝0， 整理得 4 k2 － 4 k ＋1＝0，解得 k＝2. 答案：2 3．(2019·洛阳模拟)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，过焦点 F的直线交 C于 A，B两点， D是抛物线的准线 l与 y轴的交点． (1)若 AB∥l，且△ABD的面积为 1，求抛物线的方程； (2)设 M为 AB的中点，过 M作 l的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN与抛物线相切． 解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p2，∴p＝1， 故抛物线 C的方程为 x2＝2y. (2)设直线 AB的方程为 y＝kx＋p 2 ， 由 y＝kx＋p 2 ， x2＝2py 得 x2－2kpx－p2＝0. ∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 其中 A x1，x21 2p ，B x2，x22 2p . ∴M kp，k2p＋p 2 ，N kp，－ p 2 . ∴kAN＝ x21 2p ＋ p 2 x1－kp ＝ x21 2p ＋ p 2 x1－ x1＋x2 2 ＝ x21＋p2 2p x1－x2 2 ＝ x21－x1x2 2p x1－x2 2 ＝ x1 p . 又 x2＝2py，∴y′＝ x p . ∴抛物线 x2＝2py在点 A处的切线斜率 k＝x1 p . ∴直线 AN与抛物线相切．