高考立几题的几个创新视角

高考立几题的几个创新视角

高考立几题的几个创新视角 立体几何历来是高考改革的一块试验田.随着高考改革的不断深入，独具匠心的立体几何创新试题层出不穷，常令人目不暇接，望“题”赞叹.那么高考创新试题的从何处、用什么方法进行创新设计呢？‎ ‎１“大跨度组合”的视角 ‎“组合即创造”.艺术和科学上的许多事实印证了这一点：达芬奇将数学中的“透视法”和绘画结合起来使绘画艺术进入一个新境界，孟德尔将“概率统计”和生物学结合起来创立了遗传学，牛顿和莱布尼兹则将微分和积分结合起来发明了微积分.高考强调在知识的交汇处设计试题，这就使实现大跨度组合成为了可能，近年在许多省份出现了这样的试题，为逐步摆脱题海战术，起到了良好的导向作用. ‎ 例1（2004年北京卷，理第4题）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）‎ ‎ A．直线 B．圆 C． 双曲线 D． 抛物线 分析　P到CD的距离就是线段PC的长，所以问题转化为求动点P到定点C与到定直线BC的距离相等的轨迹，由圆锥曲线的定义知这个轨迹是抛物线，选D.‎ 说明　本题将立体几何中的“距离”与解析几何中的“轨迹”巧妙地组合起来，揭示了不同数学分支之间的内在联系，令人倍感清新和谐、回味无穷.无独有偶,2004年的重庆高考题也很类似.请看:‎ 例2 (2004年重庆卷(理)第12题) 若三棱锥侧面内一动点P到底面的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成的图形可能是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎ ‎ 分析 利用普性遍与特殊性的关系，首先考虑特殊图形，当AC⊥平面BCD时，问题化为点P到AB和BC距离相等的点的轨迹.显然，P 点的轨迹是∠ABC的平分线.如图所示. 当AC不垂直平面BCD时，如图所示，设P到平面DBC和到边BC的距离分别为h、dBC ，设A－BC－D的大小为，则≤1，所以选（D）.‎ 评注 显然在这个相类似的问题中,重庆的题目比北京的要难一些．‎ 例3（2009年高考湖北卷理科第9题）设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C ‎ C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C ‎ 解析 这道题如果仅用初等方法则很可能陷入困境，利用导数即能达到柳暗花明：设球半径为r,则r=R（t）.球体积. 依题意.‎ 球表面积.‎ 可知球的表面积的增长速度与球半径成反比，且比例系数为2C，故选D.‎ ‎2 “归纳、类比”的视角 开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的”.立体几何是考查学生思维能力和空间想像能力的绝好素材，归纳、类比是思维能力的重要组成部分，因此立体几何便成为类比创新型试题的最佳载体.此类题型在近年高考中频频出现，有效地考查了学生的创新能力. ‎ 例4 (2003年全国文科高考题)在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .”‎ 分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 　面 边 ‎ 　　体 积 面 积 ； 二面角 平面角 ‎ 　　面 积 线段长； … …‎ 勾股定理揭示了一个直角三角形的两条直角边与斜边三者的关系.由类比得知，要探讨的是题设的三棱椎A－BCD的三个侧面与底面之间的面积关系.为了方便计算，可取一特殊三棱椎A－BCD，它的三条侧棱两两垂直，且AB＝AC＝AD＝1，则S=S =S=,S=.‎ 由于()+()+()=() ，由类比法得到＋＋＝‎ ‎.更一般的解法请读者自己完成.‎ 例5 (2004年上海春季高考题)‎ 在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.‎ 分析 根据类比猜想得出.其中为侧面为与所成的二面角的平面角.‎ 证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：‎ ‎，‎ 同乘以，得 ‎ 即 ‎ 评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习.‎ ‎3“改变知识呈现方式”的视角 诗的魅力不在于它所描述的故事，而在故事后面的情趣，以及用一种恰如其分的简朴而隽永的语言表现出来的艺术本领.而数学也是一种语言，它不仅具有严谨性的特点，而且还富有诗的情趣.因为一个知识可以有多种不同的呈现方式，不同的呈现方式代表着学生不同的思维方式和思维习惯.因此改变知识的呈现方式就成为高考创新试题设计的又一个新的视角.‎ 例6（1998年全国）如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，‎ 当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1‎ ‎(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)‎ 分析 本题是条件探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1 C1以及A1C⊥B1D1（平面A1 C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理.因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可.显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC.因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1.由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②‎ 四边形ABCD为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可.‎ ‎ 点评　AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件． 本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力.‎ 例7 (1999年全国高考题)是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线.给出四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ‎ 解析　本题通过改变条件与结论之间呈现的顺序与组合，使问题具备了探索性，将分析—猜想—证明的思维过程巧妙地融入了解题过程；同时也使问题具有了开放性，走出了数学答案唯一确定的误区.它们以新颖的知识呈现方式改变学生的常规思维，考查学生的创新能力.‎ 答案是:②③④①或①③④②.‎ 例8 （2008北京卷，理8）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）‎ C D N P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x A．‎ O y x B．‎ O y x C．‎ O y x D．‎ O A B C D 分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由MN的特殊性与平面垂直，可以把向平面内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。‎ 解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点，‎ 而且随着点从点向的中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中 点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投 影得，则=，由于，‎ ‎∴，所以当时，为一次函数，故选。‎ 评注：向平面内作正投影是转化问题的关键。‎ ‎4“实验操作”的视角 数学在将获得的知识和结论按一定的逻辑体系整理后是一门演绎科学，但对知识的形成过程来说，又是一门实验科学.但数学实验有别于物理、化学实验，它更偏重于思维实验.以“实验操作”为视角设计的高考试题，让学生亲身经历了“做”数学的过程，体现了直观几何和论证几何的结合.它将空间想像能力的考查发挥到了极致.‎ 例9（2002年北京）关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：①可能是0º的角；②可能为锐角；③可能为直角；④可能为钝角；⑤可能为180º的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）‎ 解析 本题一方面可用三角板做实验，从直观几何的角度猜测出结论；另一方面要求学生能从不同的角度思考问题，将运动的观点纳入立体几何的考查.‎ 答案为：①②③④⑤‎ 例10（2002全国文，22）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；‎ ‎（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；‎ 解 （Ⅰ）中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.‎ 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.‎ ‎（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V柱＞V锥.‎ 推理如下：‎ 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱柱与正三棱锥的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.现在计算它们的高：‎ ‎∴V锥－V柱=（h锥－h柱）·，‎ 所以，V柱＞V锥.‎ 评述：本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，这是高考改革今后的命题方向.‎ ‎5“新定义”视角 给出新定义的问题，也叫信息迁移题.‎ 是指以考生已有的知识为基础，并给出一定容量的新信息，通过阅读获取有关信息，捕捉解题资料，发现问题的规律，找出解决方法，并应用于新问题解答的一类题目．这类问题对考生的能力要求较高，可以考查考生临场阅读、提取信息和进行信息加工处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力 例11 (2006上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　）‎ ‎（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 ‎ 分析 正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．‎ 例12 (2006年江西卷，文)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）‎ A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ‎ B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 ‎ 分析 本题是新定义一种四棱锥，其最大特点是侧棱相等，从而可推出与其等价的性质．因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B。‎ 点评 解本题的突破口是侧棱相等．‎ 例13如果一个n面体共有没m个面是直角三角形，那我们称这个n面体的直度为.‎ ‎⑴请构造一个直度是的四面体；‎ ‎⑵是否存在直度为1的四面体？请说明理由；‎ ‎⑶若一个n面体的直度为1，棱数为t，将t表示成n的函数；‎ ‎⑷证明不存在直度为1的五面体.‎ P A B C 解：（1）直度是的四面体即为有且只有三个面 是直角三角形的四面体，如四面体P－ABC中，‎ ‎∠BAC=900‎ PA⊥面ABC且AB⊥AC ，即∠PAB=∠PAC=‎ 此时， PBC为锐角三角形，满足题设. ‎ ‎（2）存在直度为1的四面体，即四个面均为直角三角形 的四面体P－ABC.‎ P A B C ‎ 只要PA⊥ABC且BC⊥AB,由三垂线定理PB⊥BC.‎ ‎∴∠PAC=∠PAB=∠ABC=∠PBC=900‎ ‎（3）由题意，n面体的n个面都是Rt△‎ ‎ 每个面有三条棱，每条棱在两个面上 ‎ ‎ ‎（4）若存在直度为1的五面体即五个面均为Rt△‎ ‎ 则棱数 ∵ t∈N* ， ∴ 不成立.‎ ‎ ∴ 不存在直度为1的五面体.‎ 评注：自定义题也是近来受命题者青睐的题型，源于它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力.如本题，自定义“直度”这个概念，在理解这概念的基础上，逐个求解所给问题，难度不大，但具较新的形式.‎ ‎6陈题翻新视角 例14 一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上以西Q点30米处（其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.‎ 解析 设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图），则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为β,记∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥.作AC∥PQ，则AC⊥.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,t=2时AB最短，最短距离为30 m.‎ 说明 回顾近年来的试题，那些最有冲击力的题，往往在我们的意料之外，而又在情理之中.‎