冲刺2011高考解答题专练 4

冲刺2011高考解答题专练 4

冲刺2011高考---解答题专练（4）‎ ‎1．（本小题满分12分）‎ 在△中，分别是内角的对边,且．‎ ‎(Ⅰ) 求； ‎ ‎ (Ⅱ) 求的长.‎ ‎2．（本小题满分12分）‎ 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.‎ ‎(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；‎ ‎(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为（元），用表示，并求的数学期望.‎ ‎3．（本小题满分14分）‎ 如图一，平面四边形关于直线对称，．‎ B C D A 图2‎ 把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：‎ ‎（Ⅰ）求两点间的距离；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面；‎ C B D A 图1‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎4．（本题满分14分）‎ 已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在 上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.‎ ‎5．（本题满分14分）‎ 已知数列满足：，且（）． ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．　‎ ‎6．（本题满分14分）‎ 已知函数(常数.‎ ‎(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.‎ ‎1．（本小题满分12分）‎ 在△中，分别是内角的对边,且．‎ ‎(Ⅰ) 求； ‎ ‎ (Ⅱ) 求的长.‎ 解：(Ⅰ)在中，‎ ‎.‎ ‎. …………………………2分 从而 …………………………6分 ‎∴……9分 ‎(Ⅱ)由正弦定理可得 ‎，‎ ‎ …………………………12分 ‎2．（本小题满分12分）‎ 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.‎ ‎(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；‎ ‎(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为（元），用表示，并求的数学期望.‎ 解：(Ⅰ)的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎. 　　　　　 　 ……………………4分 其分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…………………………6分 ‎ (Ⅱ)，‎ ‎ . 　　　　 …………………………8分 由题意可知 ‎， 　　　　　 …………………………10分 元. 　　　　 …………………………12分 ‎3．如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：‎ ‎（Ⅰ）求两点间的距离；‎ B C D A E ‎（Ⅱ）证明：平面；‎ C B D A ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎　　　　　　（图一）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图二）‎ 解：（Ⅰ）取的中点，连接，‎ 由，得：‎ ‎ ‎ 就是二面角的平面角，‎ ‎ …………………………2分 在中，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………4 分 ‎ ‎（Ⅱ）由，‎ ‎ …………………………6分 ‎， ‎ 又 平面． 　 …………………………8分 ‎（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面 平面 ‎∴平面平面 　　　　　　　　　　　　　…………………………10分 平面平面，‎ 作交于，则平面，‎ 就是与平面所成的角， 　　　　…………………………12分 ‎． …………………………14分 方法二：设点到平面的距离为，‎ ‎∵ 　　　　　　　…………………10分 ‎ ‎ ‎ 　　　　　　……………………12分 于是与平面所成角的正弦为 ‎． 　　　　　………………………14分 方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则 C B D A E y F z x ‎． ………10分 设平面的法向量为n，则 n， n，‎ 取，则n， ----------12分 于是与平面所成角的正弦即 ‎． ……………14分 ‎4．(本题满分14分)‎ 已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.‎ ‎ （Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎∴为的垂直平分线，∴, ‎ 又 ………………………………3分 ‎∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆.‎ ‎∴轨迹E的方程为………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ) 解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，‎ 由，消去，并整理，得 设，，则 ‎， …………………………………………8分 ‎，‎ ‎， ………………………………………………………11分 ‎.　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………12分 又点到直线的距离，‎ ‎　………………………………………………13分 ‎，‎ ‎. 　　　　　　　…………………………………………14分 解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，‎ 由，消去，并整理，得 设，，则 ‎， …………………………………………8分 ‎，‎ ‎ ………………………………………………………11分 又点到直线的距离，‎ 设，则 ‎，‎ ‎. ……………………………………………………14分 ‎（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）‎ ‎5．(本题满分14分)‎ 已知数列满足：，且（）． ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………‎ ‎ ‎ ‎…………………………………………‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．‎ 解：（Ⅰ）由条件，，得 ‎ ……………………………………2分 ‎∴ 数列为等差数列． ……………………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ……………………………………4分 ‎∴ ……………………………………7分 ‎∴ …………………………………… 8分 ‎（Ⅲ） () ………………………10分 ‎∴ 第行各数之和 ‎ ‎ （）……………………12分 ‎ ‎∴ 表中前行所有数的和 ‎ ‎ ‎. ……………………14分 ‎6. (本题满分14分)‎ 已知函数(常数.‎ ‎(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.‎ 解：(Ⅰ)当 时，‎ ‎. …………………………1分 ‎. ‎ 又， ‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为.‎ 即. ……………………………3分 ‎(Ⅱ)（1）下面先证明：．‎ 设　，则 ‎，‎ 且仅当，‎ 所以，在上是增函数，故 ‎．‎ 所以，，即．　　　　　　　　　……………………………5分 ‎（2）因为，所以 ‎ ‎ ‎ . ‎ 因为当时，，当时，.‎ 又，‎ 所以在上是减函数，在上是增函数.‎ 所以， 　　　　　　…………………………9分 ‎（3）下面讨论函数的零点情况．‎ ‎①当，即时，函数在上无零点；　 ‎ ‎②)当，即时，，则 而，‎ ‎∴在上有一个零点； ‎ ‎③当，即时， , ‎ 由于，，‎ ‎，‎ 所以，函数在上有两个零点.　　　　……………………………………13分 综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. ………………………………14分 解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数的定义域为，‎ ‎ ‎ ‎ . ………………………………………5分 ‎∴当时，，当时，.‎ 在上是减函数，在上是增函数. ‎ ‎ ………………………………………6分 设（，常数.‎ ‎∴当时，‎ 且仅当时，‎ 在上是增函数.‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴当时，‎ 取，得由此得. ………………………………9分 取得由此得 ‎. 　 …………………………10分 ‎(1)当，即时，函数无零点；　 ………………………11分 ‎(2)当，即时，，则 而，‎ ‎∴函数有一个零点； ………………………………12分 ‎(3)当，即时， .‎ 而，‎ ‎∴函数有两个零点. ………………………………………13分 综上所述，当时，函数无零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点. ………………14分