2015高考数学理一轮题组训练52平面向量基本定理及坐标表示

2015高考数学理一轮题组训练52平面向量基本定理及坐标表示

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．在▱ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，则＝________，＝________.‎ 解析　＝＝－＝(1,2)，＝－＝(0，－1)．‎ 答案　(1,2)　(0，－1)‎ ‎2．(2014·揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝‎3a，则点B的坐标为________．‎ 解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．‎ 由＝‎3a，得解得 答案　(5,14)‎ ‎3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x ＋y ，且＝2 ，则x＝________，y＝________.‎ 解析　由题意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.‎ 答案　　 ‎4．(2013·镇江模拟)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m ‎＝________.‎ 解析　a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)×(m＋1)－2×1＝0，解得m＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎5．(2014·南京模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.‎ 解析　＝3 ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．‎ 答案　(－6,21)‎ ‎6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．‎ 解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，‎ 依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，‎ 即ab－‎2a－2b＝0，所以＋＝.‎ 答案　 ‎7．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．‎ 解析　由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.‎ 答案　m≠ ‎8．(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，‎ 即λ1＋λ2＝.‎ 答案　 二、解答题 ‎9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？‎ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，‎ a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，‎ 法一　当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，‎ 解得k＝λ＝－，‎ ‎∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，‎ 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．‎ ‎∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．‎ 法二　∵ka＋b与a－3b平行，‎ ‎∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，‎ 此时ka＋b＝＝－(a－3b)．‎ ‎∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．‎ ‎10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 .‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．‎ ‎(1)解　＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M 在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0，‎ ‎(2)证明　当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．‎ ‎∵＝－＝(4,4)，‎ ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ，‎ ‎∴A，B，M三点共线．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2013·保定模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为________．‎ 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，‎ 整理得b2＋a2－c2＝ab，‎ 由余弦定理得cos C＝＝，‎ 又0°0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．‎ 解析　＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴‎2a＋b＝1.‎ ‎∴＋＝(‎2a＋b)‎ ‎＝4＋＋≥4＋2 ＝8.‎ 当且仅当＝时取等号．∴＋的最小值是8.‎ 答案　8‎ 二、解答题 ‎4.如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．‎ 解　以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况：‎ ‎①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，‎ ‎①若是▱ABCD，则由＝，得 ‎(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，‎ 即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，‎ ‎∴∴x＝0，y＝－4.‎ ‎∴D点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D1)．‎ ‎②若是▱ADBC，由＝，得 ‎(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，‎ 即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.‎ ‎∴D点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D2)．‎ ‎③若是▱ABDC，则由＝，得 ‎(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，‎ 即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.‎ ‎∴D点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D3)，‎ ‎∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).‎