高考数学平面向量与复数时平面向量的概念与线性运算更多资料关注微博高中学习资料库

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‎《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章　平面向量与复数第1课时　平面向量的概念与线性运算 考情分析 考点新知 ‎① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.‎ ‎② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.‎ ‎③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义．‎ ‎　　掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.‎ ‎1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝________．‎ 答案：b－a 解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝________．(用b、c表示)‎ 答案：b＋c 解析：因为＝2，所以－＝2(－)，即3＝＋2＝c＋2b，故＝b＋c.‎ ‎3. (必修4P63练习第6题改编)设四边形ABCD中，有＝且||＝，则这个四边形是________．‎ 答案：等腰梯形 解析：＝∥，且||＝||，∴ ABCD为梯形．又||＝||，∴ 四边形ABCD的形状为等腰梯形．‎ ‎4. (必修4P66练习第2题改编)设a、b是两个不共线向量，＝‎2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三点共线，则实数p＝________．‎ 答案：－1‎ 解析：∵ ＝＋＝‎2a－b，又A、B、D三点共线，∴ 存在实数λ，使＝λ.‎ 即∴ p＝－1.‎ ‎1. 向量的有关概念 ‎(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||.‎ ‎(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．‎ ‎(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．‎ ‎(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．‎ 规定：0与任一向量平行．‎ ‎(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．‎ ‎(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．‎ ‎2. 向量加法与减法运算 ‎(1) 向量的加法 ‎① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．‎ ‎② 法则：三角形法则；平行四边形法则．‎ ‎③ 运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．‎ ‎(2) 向量的减法 ‎① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．‎ ‎② 法则：三角形法则．‎ ‎3. 向量的数乘运算及其几何意义 ‎(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：‎ ‎① |λa|＝|λ||a|；‎ ‎② 当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.‎ ‎(2) 运算律：设λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．‎ ‎4. 向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　平面向量的基本概念 例1　给出下列六个命题：‎ ‎① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎② 若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形；‎ ‎④ 在ABCD中，一定有＝；‎ ‎⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p；‎ ‎⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中错误的命题有________．(填序号)‎ 答案：①②③⑥‎ 解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．‎ 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|·a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题个数是________．‎ 答案：3‎ 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②、③也是假命题，填3.‎ 题型2　向量的线性表示 例2　平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.‎ 解：＝a－b，＝＝a－b，＝＋＝a＋b.＝a＋b，＝＋＝＋＝＝ a＋b.＝－＝a－b.‎ 在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ 解：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.‎ 又＝＋＝＋m＝＋(＋)‎ ‎＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，‎ ‎∴ 解得λ＝m＝，‎ ‎∴ ＝a＋b.‎ 题型3　共线向量 例3　设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1) 若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；‎ ‎(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎(1) 证明：∵ ＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴ ＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴ ，共线．‎ 又它们有公共点B，∴ A、B、D三点共线．‎ ‎(2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线，‎ ‎∴ 存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ 又a、b是两不共线的非零向量，‎ ‎∴ k－λ＝λk－1＝0.‎ ‎∴ k2－1＝0.∴ k＝±1.‎ 已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________．‎ 答案：λμ＝1‎ 解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.‎ 题型4　向量共线的应用 例4　如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．‎ 答案： 解析：如图所示，设M是AC的中点，则 ＋＝2.‎ 又＋＝－2，‎ ‎∴ ＝－，‎ 即O是BM的中点，‎ ‎∴ S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，‎ 即＝.‎ 如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．‎ 解：∵＝－＝(－)‎ ‎＝(＋)＝，‎ ＝－＝＋λ，‎ 又∵＝，∴＋λ＝，‎ 即λ＝，∴λ＝.‎ ‎1. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________．(用向量a和b表示)‎ 答案：a＋b 解析：因为＝＋＝＋＝a＋b，‎ 又＝2，所以＝＝＝a＋b.‎ ‎2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．‎ 答案：2‎ 解析：＋＝＝2，则λ＝2.‎ ‎3. (2013·江苏)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝DC，若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．‎ 答案： 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ1＋λ2，故λ1＝－，λ2＝，则λ1＋λ2＝.‎ ‎4. 已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．‎ 答案： 解析：由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴ 2＋4＝3，即4＝5.‎ ‎∴ ＝，＝＝.‎ ‎1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．‎ 答案：2 ‎ 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，所以＋＝，又O为AC的中点，所以＝2，所以＋＝2，因为＋＝λ，所以λ＝2. ‎ ‎2. 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________．‎ 答案：1‎ 解析：∵ A，B，C三点共线，∴ ＝λ，即－＝λ－λ，∴ ＝(1－λ)＋λ，即x＝1－λ，y＝λ，∴ x＋y＝1.‎ ‎3. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．‎ 答案： ‎ 解析：易知DE＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.‎ ‎4. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．‎ ‎(1) 求＋＋；‎ ‎(2) 若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.‎ ‎(1) 解：因为＋＝2，又2＝－，所以＋＋＝－＋＝0.‎ ‎(2) 证明：因为＝(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P、G、Q三点共线，得∥，所以有且只有一个实数λ，使＝λ.又＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝‎ λ.‎ 又a、b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝‎ m＋n，故＋＝3.‎ ‎1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．‎ ‎2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ ‎3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．‎ ‎[备课札记]‎