2018高考数学新课标2理科真题

2018高考数学新课标2理科真题

‎1.(2018年新课标Ⅱ理)＝( )‎ A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i D 【解析】＝＝－＋i.‎ ‎2.(2018年新课标Ⅱ理)已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )‎ A.9 B.8 C.5 D.4‎ A 【解析】当x＝－1时,y2≤2,得y＝－1,0,1；当x＝0时,y2≤3,得y＝－1,0,1；当x＝1时,y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9个.‎ ‎3.(2018年新课标Ⅱ理)函数f(x)＝的图象大致为( )‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D B 【解析】f(－x)＝＝－＝－f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A；当x＝1时,f(1)＝e－＞0,排除D；当x→＋∞时,f(x)→＋∞,排除C.故选B.‎ ‎4.(2018年新课标Ⅱ理)已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·(2a－b)＝( )‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ B 【解析】由题意,a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.‎ ‎5.(2018年新课标Ⅱ理)双曲线－＝1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x A 【解析】依题意,e＝＝,则＝＝＝＝,所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选A.‎ ‎6.(2018年新课标Ⅱ理)在△ABC中,cos ＝,BC＝1,AC＝5,则AB＝( )‎ A.4 B. C. D.2 A 【解析】cos C＝2×2－1＝－,由余弦定理,得AB＝ ‎＝＝4.‎ ‎7.(2018年新课标Ⅱ理)为计算S＝1－＋－＋…＋－,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )‎ A.i＝i＋1? B.i＝i＋2? C.i＝i＋3? D.i＝i＋4?‎ B 【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S＝N－T＝＋＋…‎ ‎＋,则在空白处应填入“i＝i＋2?”.‎ ‎8.(2018年新课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )‎ A. B. C. D. C 【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C＝45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17)共3种,则对应的概率p＝＝.‎ ‎9.(2018年新课标Ⅱ理)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. C 【解析】以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝,∴A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),B1(1,1,),＝(－1,0,),＝(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cos θ＝＝＝.故选C.‎ ‎10.(2018年新课标Ⅱ理)若f(x)＝cos x－sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )‎ A. B. C. D.π C 【解析】f(x)＝cos x－sin x＝－(sin x－cos x)＝－sin.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z),得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z).取k＝0,得f(x)的一个减区间为.由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是.‎ ‎11.(2018年新课标Ⅱ理)已知f(x)是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f(1－x)＝f(1＋x),若f(1)＝2,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )‎ A.－50 B.0 C.2 D.50‎ C 【解析】∵f(x)是奇函数,且f(1－x)＝f(1＋x),∴f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1),f(0)＝0,则f(x＋2)＝－f(x),则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵f(1)＝2,∴f(2)＝f(0)＝0,f(3)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2,f(4)＝f(0)＝0,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0,∴则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.‎ ‎12.(2018年新课标Ⅱ理)已知F1,F2是椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°,则C的离心率为( )‎ A. B. C. D. D 【解析】由题意知A(－a,0),F1(－c,0),F2(c,0),直线AP的方程为y＝(x＋a).由∠F1F2P＝120°,|PF2|＝|F1F2|＝2c,则P(2c,c),代入AP的方程,整理得a＝4c,∴C的离心率e＝＝.‎ ‎13.(2018年新课标Ⅱ理)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为________.‎ y＝2x－2 【解析】∵y＝2ln x,∴y′＝.当x＝1时,y′＝2,∴曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为y－0＝2(x－1),即y＝2x－2.‎ ‎14.(2018年新课标Ⅱ理)若x,y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.‎ ‎9 【解析】作出可行域如图.z＝x＋y可化为y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z过A(5,4)时,z取得最大值,最大值为z＝5＋4＝9.‎ ‎15.(2018年新课标Ⅱ理)已知sin α＋cos β＝1,cos α＋sin β＝0,则sin(α＋β)＝________.‎ ‎－ 【解析】由sin α＋cos β＝1,两边平方,得sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1,① 由cos α＋sin β＝0,两边平方,得cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0,② ①＋②,得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β ‎)＝1,即2＋2sin(α＋β)＝1,解得sin(α＋β)＝－.‎ ‎16.(2018年新课标Ⅱ理)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.‎ ‎40 【解析】由题意可得sin∠AMB＝＝.S△SAB＝|SA|2sin∠AMB＝5,即|SA|2·＝5,解得SA＝4.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为×4＝2,则该圆锥的侧面积＝×4×4π＝40π.‎ ‎17.(2018年新课标Ⅱ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15.‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d.‎ S3＝3a1＋3d＝3×(－7)＋3d＝－15,解得d＝2.‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝－7＋2(n－1)＝2n－9.‎ ‎（2）Sn＝＝＝n2－8n.‎ ‎∵Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16,‎ ‎∴当n＝4时,Sn有最小值为－16.‎ ‎18.(2018年新课标Ⅱ理)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:＝99＋17.5t.‎ ‎（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎【解析】（1）对于模型①,当t＝19时,＝－30.4＋13.5×19＝226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.‎ 对于模型②,当t＝9时,＝99＋17.5×9＝256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.‎ ‎（2）模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,‎ 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,‎ ‎∴利用模型②的预测值更可靠些.‎ ‎19.(2018年新课标Ⅱ理)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解析】（1）抛物线C的焦点为F(1,0).‎ 当直线的斜率不存在时,|AB|＝4,不合题意.‎ 设直线AB的方程为y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立消去y,得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0,‎ ‎∴x1＋x2＝,x1x2＝1.‎ 由|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8,解得k＝1.‎ ‎∴直线l的方程y＝x－1.‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为D(3,2),‎ 则直线AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3),即y＝－x＋5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或 ‎∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ ‎20.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥PABC中,AB＝BC＝2,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点.‎ ‎（1）求证:PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.‎ ‎【解析】（1）证明:∵AB＝BC＝2,AC＝4,∴AB2＋BC2＝AC2,即△ABC是直角三角形.‎ 又O为AC的中点,∴OA＝OB＝OC.‎ ‎∵PA＝PB＝PC,∴△POA≌△POB≌△POC.‎ ‎∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.‎ ‎∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC＝0,∴PO⊥平面ABC.‎ ‎（2）以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.‎ 易知A(0,－2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),＝(－2,2,0).‎ 设＝λ＝(－2λ,2λ,0),0＜λ＜1,‎ 则＝－＝(－2λ,2λ,0)－(－2,－2,0)＝(2－2λ,2λ＋2,0),‎ 则平面PAC的一个法向量为m＝(1,0,0).‎ 设平面MPA的法向量为n＝(x,y,z),则＝(0,－2,2),‎ 则n·＝－2y－2z＝0,n·＝(2－2λ)x＋(2λ＋2)y＝0.‎ 令z＝1,则y＝－,x＝,即n＝.‎ ‎∵二面角MPAC为30°,∴cos 30°＝＝,‎ 即＝,解得λ＝或λ＝3(舍去).‎ ‎∴n＝(2,－,1),＝(0,2,－2).‎ PC与平面PAM所成角的正弦值sin θ＝|cos〈,n〉|＝＝＝.‎ ‎21.(2018年新课标Ⅱ理)已知函数f(x)＝ex－ax2.‎ ‎（1）若a＝1,求证:当x≥0时,f(x)≥1；‎ ‎（2）若f(x)在(0,＋∞)只有一个零点,求a.‎ ‎【解析】（1）证明:当a＝1时,f(x)＝ex－x2,则f′(x)＝ex－2x.‎ 令g(x)＝ex－2x,则g′(x)＝ex－2.‎ 令g′(x)＝0,解得x＝ln 2.‎ 当x∈(0,ln 2)时,g′(x)＜0；当x∈(ln 2,＋∞)时,g′(x)＞0.‎ ‎∴g(x)≥g(ln 2)＝eln 2－2·ln 2＝2－2ln 2＞0.‎ ‎∴f(x)在[0,＋∞)单调递增,则f(x)≥f(0)＝1.‎ ‎（2）f(x)在(0,＋∞)只有一个零点,等价于方程ex－ax2＝0在(0,＋∞)只有一个根,‎ 即a＝在(0,＋∞)只有一个根,转化为y＝a与G(x)＝的图象在(0,＋∞)只有一个交点.‎ 易得G′(x)＝.‎ 当x∈(0,2)时,G′(x)＜0；当x∈(2,＋∞)时,G′(x)＞0.‎ ‎∴G(x)在(0,2)单调递减,在(2,＋∞)单调递增.‎ 当x→0时,G(x)→＋∞；当x→＋∞时,G(x)→＋∞.‎ ‎∴f(x)在(0,＋∞)只有一个零点时,a＝G(2)＝.‎ ‎22.(2018年新课标Ⅱ理)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【解析】（1）曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 转换为直角坐标方程为＋＝1.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 转换为直角坐标方程为xsin α－ycos α＋2cos α－sin α＝0.‎ ‎（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程,‎ 整理得(4cos2α＋sin2α)t2＋(8cos α＋4sin α)t－8＝0,则t1＋t2＝－.‎ 由于(1,2)为中点坐标,∴＝0,‎ 则8cos α＋4sin α＝0,解得tan α＝－2.‎ ‎∴直线l的斜率为－2.‎ ‎23.(2018年新课标Ⅱ理)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎（1）当a＝1时,求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎（2）若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当a＝1时,f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|＝ 当x≤－1时,f(x)＝2x＋4≥0,解得－2≤x≤1；‎ 当－1＜x＜2时,f(x)＝2≥0恒成立,即－1＜x＜2；‎ 当x≥2时,f(x)＝－2x＋6≥0,解得2≤x≤3.‎ 综上,不等式f(x)≥0的解集为[－2,3].‎ ‎（2）∵f(x)≤1,∴5－|x＋a|－|x－2|≤1.‎ ‎∴|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ ‎∴|x＋a|＋|x－2|＝|x＋a|＋|2－x|≥|x＋a＋2－x|＝|a＋2|.‎ ‎∴|a＋2|≥4,解得a≤－6或a≥2.‎ ‎∴a的取值范围(－∞,－6]∪[2,＋∞).‎