高考试题分类汇编之向量带答案解析

高考试题分类汇编之向量带答案解析

‎2017年11月08日187****5958的高中数学组卷 ‎　‎ 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎2．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（　　）‎ A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||‎ ‎3．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎4．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（　　）‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ ‎5．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ 二．填空题（共9小题）‎ ‎6．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　 　．‎ ‎7．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=　 　．‎ ‎8．已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　 　．‎ ‎9．已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=　 　．‎ ‎10．已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是　 　．‎ ‎11．已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为　 　．‎ ‎12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=　 　．‎ ‎13．在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为　 　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ ‎2017年11月08日187****5958的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共5小题）‎ ‎1．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1‎ ‎【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，‎ 则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），‎ 设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），‎ 则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]‎ ‎∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（　　）‎ A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||‎ ‎【分析】由已知得，从而=0，由此得到．‎ ‎【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，‎ ‎∴，‎ 解得=0，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ ‎【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．‎ ‎【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，‎ 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），‎ ‎∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，‎ 设圆的半径为r，‎ ‎∵BC=2，CD=1，‎ ‎∴BD==‎ ‎∴BC•CD=BD•r，‎ ‎∴r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，‎ 设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），‎ ‎∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，‎ ‎∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴1≤λ+μ≤3，‎ 故λ+μ的最大值为3，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（　　）‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ ‎【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴∠AOB=∠COD＞90°，‎ 由图象知OA＜OC，OB＜OD，‎ ‎∴0＞•＞•，•＞0，‎ 即I3＜I1＜I2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．‎ 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．‎ ‎∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 二．填空题（共9小题）‎ ‎6．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2‎ ‎　．‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．‎ ‎【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，‎ ‎∴=+4•+4‎ ‎=22+4×2×1×cos60°+4×12‎ ‎=12，‎ ‎∴|+2|=2．‎ ‎【解法二】根据题意画出图形，如图所示；‎ 结合图形=+=+2；‎ 在△OAC中，由余弦定理得 ‎||==2，‎ 即|+2|=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=　7　．‎ ‎【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），‎ ‎∴=（﹣1+m，3），‎ ‎∵向量+与垂直，‎ ‎∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，‎ 解得m=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　2　．‎ ‎【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，‎ ‎∴=﹣6+3m=0，‎ 解得m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=　﹣3　．‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2017•山东）已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是　　．‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．‎ ‎【解答】解：， 是互相垂直的单位向量，‎ ‎∴||=||=1，且•=0；‎ 又﹣ 与+λ的夹角为60°，‎ ‎∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，‎ 即+（﹣1）•﹣λ=××，‎ 化简得﹣λ=××，‎ 即﹣λ=，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为　6　．‎ ‎【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．‎ ‎【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．‎ 则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=　3　．‎ ‎【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．‎ 由与的夹角为α，且tanα=7．‎ ‎∴cosα=，sinα=．‎ ‎∴C．‎ cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．‎ sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．‎ ‎∴B．‎ ‎∵=m+n（m，n∈R），‎ ‎∴=m﹣n，=0+n，‎ 解得n=，m=．‎ 则m+n=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为　　．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，‎ 再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，‎ ‎=2，‎ ‎∴=+‎ ‎=+‎ ‎=+（﹣）‎ ‎=+，‎ 又=λ﹣（λ∈R），‎ ‎∴=（+）•（λ﹣）‎ ‎=（λ﹣）•﹣+λ ‎=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，‎ ‎∴λ=1，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是　[﹣5，1]　．‎ ‎【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，‎ ‎=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，‎ 化为：12x0﹣6y0+30≤0，‎ 即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，‎ 联立，解可得x0=﹣5或x0=1，‎ 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，‎ 故答案为：[﹣5，1]．‎ ‎【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．‎ ‎　‎