- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高中数学高考数学离心率题型总结
高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率 二．典例剖析： 例.若椭圆短轴端点为满足，求椭圆离心率。 分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即，得到 的结论。 变 式1.在椭圆上有一点（除短轴端点外），若，求椭圆离心率取值范围。 分析：点P在椭圆上 ；点P在以O为圆心，OP为半径的圆上,所以得到c>b，进而得到的结论。 变 式2. 满足的所有点P都在椭圆内，求椭圆离心率取值范围。 分析：满足的所有点P都在椭圆内以O为圆心，OP为半径的圆都在椭圆内，进而得到的结论。 变 式3.过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点且满足，若，求该椭圆离心率。 分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段拉长和椭圆交于点，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭 圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。 设则，在中利用勾股定理便可获解。 变 式4：过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，满足，若，求该椭圆离心率。 分析：设 则，,所以,不能利用勾股定理，利用余弦定理便可解出。 备选练习题： 1、过椭圆左焦点的直线垂直于轴且交椭圆于点，若，求该椭圆的离 心率。 2、设M为椭圆上一点， ,为椭圆的焦点，如果 ，求椭圆的离心率。 求解离心率范围问题的几种思维策略 求圆锥曲线离心离的取值范围，是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率e的不等式。本文通过一例，给出求解这类问题的几种思维策略。 题 设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 解法3：利用三角函数有界性 记 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得 解法6：巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有 离心率的五种求法 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率． 一、直接求出、，求解 已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决。 例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D 解：由题设，，则，，因此选C 变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A B C D 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A 二、构造、的齐次式，解出 根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。 例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得 （舍去），故选D 变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得， 又, ∴,两边平方，得，整理得， 得或，又 ，∴，∴，∴，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 解：如图所示，不妨设，，，则 ，又， 在中， 由余弦定理，得, 即，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解： 四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 . 解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 解： 五、构建关于的不等式，求的取值范围 例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 另：由，，得，, ∴,∴ ∵，∴,∴，∴，故选D 例6：如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。 解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高． 由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为 ，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得① 将点的坐标代入双曲线方程得② 再将①、②得，∴③ ④ 将③式代入④式，整理得，∴，由题设得： ，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为 配套练习 1. 设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D 5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 6．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 7. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ） A B C D 9．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 10．椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案： 1.由可得故选D 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。 3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A 4.不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝ 5.不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则有，据此解得e＝，选C 6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。 7.由已知P（），所以化简得． 8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。 9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C 10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D 离心率取值范围求法 求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 一、利用均值不等式 例1 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。 解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。 二、利用平面几何性质 例2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。 解析：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得： ，由三角形性质得：解得：。 点评：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。 三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知： ，点P在双曲线右支上由图1可知： ，，即，两式相加得：，解得：。 四、利用双曲线性质 例4 设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。 解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。 点评：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。 五、利用已知参数的范围 例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。 解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。 六、利用直线与双曲线的位置关系 例6 已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。 七、利用点与双曲线的位置关系 例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。 解析：设，弦PQ中点为M，由点差法求得，当点M 在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。 八、利用非负数性质 例8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。 解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：， ，由OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。 由椭圆离心率求法探讨最大角的应用 例：设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 常见解法有： 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用基本不等式 由椭圆定义，有，平方后得 解法3：利用最大角范围 由已知可知椭圆的最大角范围为，所以 又 很显然第三种解法最为简单，但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如图：即是。当p为椭圆上任意一点时，则当P在位置时，最大。此时 在中， 最大角还可以快速解决一些其他问题： 1.为上的一点，则为直角的点有_____个． 2.上有4个点使为直角，则的范围是_________． 总结： ， 综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于，故满足题意的P 点有两个，第二题中由于M点有四个，故最大角应该大于，此时，即 再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围又是多少？此时最大角范围应该，则，又，所以。 双曲线离心率的取值范围 一、利用双曲线性质 例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。 2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。 3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。 4 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。 5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。 2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。6已知双曲线 与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 7已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。 8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。 二、利用平面几何性质 ，由三角形性质得：解得：。 点评： 三、利用数形结合 ，点 四、利用均值不等式 例 解析：， 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e= ⑤e= D B F OBBB A P Q 评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。 题目1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ B A F2 F1 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=c c+c=2a ∴e= = -1 变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOO P F1 F2 F2F22 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=-1 变形2: 椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？B A F2 F1 P O 解：∵｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴= 又 ∵b= ∴a2=5c2 e= 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆 +=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? F B A O 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜= a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去) 变形：椭圆 +=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。 题目3：椭圆 +=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e? 解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m 在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e= 题目4：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e? 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 解：由正弦定理： = = 根据和比性质： = 变形得： == ==e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= = 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e= 变形1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。 解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=== ≥ ∴≤e<1 变形2：已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若查看更多