上海市春季高考数学试卷

上海市春季高考数学试卷

2012 年上海市春季高考数学试卷 　 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，要求直接填写结果，每题答对得 4 分， 否则一律得零分。 1．（4 分）（2012•上海）已知集合 A={1，2，k}，B={2，5}．若 A∪B={1，2，3，5}，则 k=　　　　　　． 　 2．（4 分）（2012•上海）函数 y= 的定义域是　　　　　　． 　 3．（4 分）（2012•上海）抛物线 y2=8x 的焦点坐标是　　　　　　． 　 4．（4 分）（2012•上海）若复数 z 满足 iz=1+i（i 为虚数单位），则 z=　　　　　　． 　 5．（4 分）（2012•上海）函数 f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为　　　　　　． 　 6．（4 分）（2012•上海）方程 4x﹣2x+1=0 的解为　　　　　　． 　 7．（4 分）（2012•上海）若 ，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　　． 　 8．（4 分）（2012•上海）若 f（x）= 为奇函数，则实数 m=　　　　　　． 　 9．（4 分）（2012•上海）函数 y= 的最大值为　　　　　　 ． 　 10．（4 分）（2012•上海）若复数 z 满足|z﹣i|≤ （i 为虚数单位），则 z 在复平面内所对 应的图形的面积为　　　　　　． 　 11．（4 分）（2012•上海）某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志 愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为　　　　　　．（结果用数值表示 ） 　 12．（4 分）（2012•上海）若不等式 x2﹣kx+k﹣1＞0 对 x∈（1，2）恒成立，则实数 k 的 取值范围是　　　　　　． 　 13．（4 分）（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令 ．当 bk 是数列{bn}的最大项时，k=　　　　　　 ． 　 14．（4 分）（2012•上海）若矩阵 满足 a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，且 =0，则这样的互不相等的矩阵共有　　　　　　个． 　 　 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一 个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分。 15．（5 分）（2012•上海）已知椭圆 C1： + =1，C2： + =1，则（　　） 　A．C1 与 C2 顶点相同 B．C1 与 C2 长轴长相同 　C．C1 与 C2 短轴长相同 D．C1 与 C2 焦距相等 　 16．（5 分）（2012•上海）记函数 y=f（x）的反函数为 y=f﹣1（x）．如果函数 y=f（x）的 图象过点（1，0），那么函数 y=f﹣1（x）+1 的图象过点（　　） 　A．（0，0） B．（0，2） C．（1，1） D．（2，0） 　 17．（5 分）（2012•上海）已知空间三条直线 l、m、n．若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则 （　　） 　A．m 与 n 异面 　B．m 与 n 相交 　C．m 与 n 平行 　D．m 与 n 异面、相交、平行均有可能 　 18．（5 分）（2012•上海）设 O 为△ABC 所在平面内一点．若实数 x、y、z 满足 x +y +z = ，（x2+y2+z2≠0），则“xyz=0”是“点 O 在△ABC 的边所在直线上”的（　　） 　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　 　 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。 19．（12 分）（2012•上海）如图，正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1，高为 2， M 为线段 AB 的中点． 求：（1）三棱锥 C1﹣MBC 的体积； （2）异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 　 20．（14 分）（2012•上海）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为 30 千米（忽略内、外环线长度差异）． （1）当 9 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，求内环 线列车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时，外环线列车平均速度为 30 千 米/小时．现内、外环线共有 18 列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之 差不超过 1 分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？ 　 21．（14 分）（2012•上海）已知双曲线 C1： ． （1）求与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P（4， ）的双曲线 C2 的标准方程； （2）直线 l：y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点．当 时，求实 数 m 的值． 　 22．（16 分）（2012•上海）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足 ． （1）设 cn=3n+6，{an}是公差为 3 的等差数列．当 b1=1 时，求 b2、b3 的值； （2）设 ， ．求正整数 k，使得对一切 n∈N*，均有 bn≥bk； （3）设 ， ．当 b1=1 时，求数列{bn}的通项公式． 　 23．（18 分）（2012•上海）定义向量 =（a，b）的“相伴函数”为 f（x）=asinx+bcosx，函 数 f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为 =（a，b）（其中 O 为坐标原点）．记平面内所有 向量的“相伴函数”构成的集合为 S． （1）设 g（x）=3sin（x+ ）+4sinx，求证：g（x）∈S； （2）已知 h（x）=cos（x+α）+2cosx，且 h（x）∈S，求其“相伴向量”的模； （3）已知 M（a，b）（b≠0）为圆 C：（x﹣2）2+y2=1 上一点，向量 的“相伴函数”f（x） 在 x=x0 处取得最大值．当点 M 在圆 C 上运动时，求 tan2x0 的取值范围．