全国高考文科数学试题及答案新课标兰州成功学校高中数学教学研究中心

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绝密★启用前 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试详解(新课标Ⅱ卷)‎ 数 学 (文科)‎ ‎（兰州成功学校高二年级组 数学教师王万平）‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。‎ ‎2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，,所以，选C.‎ ‎2、（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以，选C.‎ ‎3、设满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如图,平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线z=2x-3y得，选B.‎ ‎4、的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面积为.因为，所以，选B.‎ ‎5、设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.‎ ‎6、已知，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，选A.‎ ‎7、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，第四次循环，，此时满足条件输出，选B.‎ ‎8、设，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，又，所以最大。又，所以，即，所以，选D.‎ ‎9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. ‎ ‎10、设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）‎ ‎（A）或 （B）或 ‎（C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2 因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选C.‎ ‎11、已知函数，下列结论中错误的是（ ）‎ ‎（A），‎ ‎（B）函数的图象是中心对称图形 ‎（C）若是的极小值点，则在区间单调递减 ‎（D）若是的极值点，则 ‎【答案】C ‎【解析】若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D正确。选C.‎ ‎12、若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D. ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。‎ ‎（14）已知正方形的边长为，为的中点，则_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在正方形中，,,所以。‎ ‎（15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.‎ ‎（16）函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，向右平移个单位，得到，即向左平移个单位得到函数，向左平移个单位，得 ‎，即。‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求； ‎ ‎（18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）设，，求三棱锥的体积。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。‎ ‎（Ⅰ）将表示为的函数；‎ ‎（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。‎ ‎（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的极小值和极大值； ‎ ‎（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。‎ 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 ‎ 如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆。‎ ‎（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若，求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。 ‎ ‎ ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）；（Ⅱ）‎