高考数学理不等式选讲二轮提高练习题目

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高考数学理不等式选讲二轮提高练习题目

‎ 不等式选讲 A组 ‎1.不等式x+|2x-1|<3的解集为________.‎ ‎2.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集为________.‎ ‎3.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则++的最小值为________.‎ ‎4.不等式|x+1|+|x-2|≥‎4a对任意实数x恒成立,则a的取值范围是________.‎ ‎5.使关于x的不等式|x+1|+ka的解集是全体实数,则a的取值范围是______.‎ ‎7.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.‎ ‎8.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为________.‎ ‎9.若不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立,则m的取值范围为________.‎ ‎10.对任意x∈R,|2-x|+|3+x|≥a2-‎4a恒成立,则a满足________.‎ ‎11.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为________.‎ ‎12.已知关于x的不等式|x-1|+|x-a|≤8的解集不是空集,则a的最小值是________.‎ ‎13.已知a∈R,若关于x的方程x2+x++|a|=0有实根,则a的取值范围是________.‎ ‎14.不等式>|a-5|+1对于任一非零实数x均成立,则实数a的取值范围是________.‎ B组 ‎1.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>2;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的最小值.‎ ‎2.设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.‎ ‎3.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.‎ ‎4.若对任意x>0, ≤a恒成立,求a的取值范围.‎ ‎5.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.‎ ‎(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;‎ ‎(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.‎ ‎6.已知关于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0).‎ ‎(1)当a=1时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.‎ 参考答案 A组 ‎1.解析 原不等式可化为 或 解得≤x<或-21.当x<-2时原不等式即1-x-2-x<5,‎ 解得-31时,原不等式即x-1+2+x<5,解得12得x<-7,∴x<-7;‎ 当-≤x<4时,由f(x)=3x-3>2得x>,∴2,得x>-3,∴x≥4.‎ 故原不等式的解集为 .‎ ‎(2)画出f(x)的图象如图:‎ ‎∴f(x)min=-.‎ ‎2.证明 因为a,b,c为正实数,由均值不等式可得++≥3,‎ 即++≥.‎ 所以+++abc≥+abc.‎ 而+abc≥2=2,‎ 所以+++abc≥2.‎ ‎3.证明 法一 因为a、b、c均为正数,由平均值不等式得 a2+b2+c2≥3(abc),①‎ ++≥3(abc)-,②‎ 所以2≥9(abc)-.‎ 故a2+b2+c2+2≥3(abc)+9(abc)-.‎ 又3(abc)+9(abc)-≥2=6,③‎ 所以原不等式成立.‎ 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.‎ 当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立.‎ 即当且仅当a=b=c=3时,原式等号成立.‎ 法二 因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥‎2ac,‎ 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①‎ 同理++≥++,②‎ 故a2+b2+c2+2≥ab+bc+ac+3+3+3≥6.③‎ 所以原不等式成立,‎ 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.‎ 即当且仅当a=b=c=3时,原式等号成立.‎ ‎4.解 ∵a≥=对任意x>0恒成立,设u=x++3,∴只需a≥恒成立即可.‎ ‎∵x>0,∴u≥5(当且仅当x=1时取等号).‎ 由u≥5,知0<≤,∴a≥.‎ ‎5.解 (1)当a=-1时, f(x)=|x-1|+|x+1|,‎ f(x)= 作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.‎ 由图象可知,不等式的解集为.‎ ‎(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;‎ 若a<1,f(x)= f(x)的最小值为1-a.‎ 若a>1,f(x)= f(x)的最小值为a-1.‎ ‎∴对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,‎ ‎∴a的取值范围是 (-∞,-1]∪[3,+∞).‎ ‎6.解 (1)当a=1时,不等式为|x-2|+|x-1|≥2,‎ 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.‎ ‎∴x≥或x≤.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ 注:也可用零点分段法求解.‎ ‎(2)∵|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|,‎ ‎∴原不等式的解集为R等价于|a-2|≥2,‎ ‎∴a≥4或a≤0.‎ 又a>0,∴a≥4.‎
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