北京高考数学理科试题及答案

北京高考数学理科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1） 集合，则=‎ ‎ (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}‎ ‎（2）在等比数列中，，公比.若，则m=‎ ‎（A）9 （B）10 （C）11 （D）12‎ ‎（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ‎ ‎ ‎ ‎（4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）极坐标方程表示的图形是 ‎（A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 ‎（6）、为非零向量。“”是“函数为一次函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 ‎ （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]‎ ‎(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 ‎　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 ‎　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 ‎　　　（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。‎ （10） 在△ABC中，若b = 1，c =，，则a = 。‎ ‎（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。‎ ‎（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。‎ ‎（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。‎ ‎（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。‎ 说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ ‎（16） （本小题共14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ ‎(17)(本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ。‎ ‎(18)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+ (≥0)。‎ ‎(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。‎ ‎（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎（20）（本小题共13分）已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ‎（Ⅰ）证明：，且;‎ ‎（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 ‎(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).‎ ‎ 证明：（P）≤.‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）B （2）C （3）C （4）A ‎ ‎（5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）（-1,1） （10）1‎ ‎（11）0.030 3 （12）5 ‎ ‎（13）（，0） （14）4 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（I）‎ ‎ （II）‎ ‎ =‎ ‎ =,‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 ‎（16）（共14分）‎ ‎ 证明：（I） 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG，‎ ‎ 因为平面BDE，AF平面BDE，‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直，且CEAC，‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.‎ ‎ 所以，，.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则，.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角，‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎（17）（共13分）‎ 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ‎ ，，‎ ‎（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ‎ ，‎ ‎（II）由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ 整理得 ，‎ 由，可得，.‎ ‎（III）由题意知 ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（I）当时，，‎ ‎ 由于，，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎（II），.‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 所以，在区间上，；在区间上，.‎ ‎ 故得单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎ 当时，由，得，‎ ‎ 所以，在区间和上，；在区间上，‎ ‎ 故得单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎ 当时，‎ ‎ 故得单调递增区间是.‎ 当时，，得，.‎ 所以没在区间和上，；在区间上，‎ 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎（19）（共14分）‎ ‎（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.‎ ‎ 设点的坐标为 ‎ 由题意得 ‎ 化简得 .‎ ‎ 故动点的轨迹方程为 ‎（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.‎ ‎ 则直线的方程为，直线的方程为 令得，.‎ 于是得面积 ‎ ‎ 又直线的方程为，，‎ 点到直线的距离.‎ 于是的面积 ‎ ‎ 当时，得 又，‎ 所以=，解得。‎ 因为，所以 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ 解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 ‎ 则.‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 即 ，解得 ‎ 因为，所以 ‎ 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ ‎（20）（共13分）‎ 证明：（I）设，，‎ ‎ 因为，，所以, ‎ ‎ 从而 ‎ 又 由题意知，，.‎ 当时，;‎ ‎ 当时，‎ 所以 ‎(II)设，，‎ ‎ ，，.‎ ‎ 记，由（I）可知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以中1的个数为，的1的 个数为。‎ ‎ 设是使成立的的个数，则 ‎ 由此可知，三个数不可能都是奇数，‎ ‎ 即,,三个数中至少有一个是偶数。‎ ‎（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，‎ 设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0‎ 则=‎ 由于 所以 从而