2013年浙江高考理科数学试题及解析

2013年浙江高考理科数学试题及解析

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ ‎ 数 学（理科）‎ 选择题部分（共50分）‎ 一、选择题：每小题5分，共50分．‎ ‎1．已知i是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=‎ A．−3+i B．−1+3i C．−3+3i D．−1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题 【答案解析】B ‎2．设集合S={x|x>−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(ðRS)∪T=‎ A．(−2，1] B．(−∞，−4] C．(−∞，1] D．[1，+∞)‎ ‎【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题 ‎【答案解析】C 因为(ðRS)={x|x≤−2}，T={x|−4≤x≤1}，所以(ðRS)∪T=(−∞，1].‎ ‎3．已知x，y为正实数，则 A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy ‎ C．2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy ‎【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 ‎【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确 ‎4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φÎR)，则“f(x)是奇函数”是“φ=”的 开始 S=1，k=1‎ k>a?‎ S=S+ k=k+1‎ 输出S ‎ 结束 是 否 ‎（第5题图）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题 ‎【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=+kπ，kÎZ，所以选项B正确 ‎5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 A．a=4 B．a=5 ‎ C．a=6 D．a=7‎ ‎【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题 ‎【答案解析】A ‎6．已知αÎR，sin α+2cos α=，则tan2α=‎ A． B． ‎ C．− D．− ‎【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题 ‎【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=可得=，进一步整理可得3tan2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−，于是tan2α==−.‎ ‎7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于AB上任一点P，恒有∙≥∙，则 A．ÐABC=90° B．ÐBAC=‎90° C．AB=AC D．AC=BC ‎【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题 C A B H P0‎ P ‎【答案解析】D 由题意，设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，∙=||||=( −(a+1))||，∙=−||||=−a，于是∙≥∙恒成立，相当于(−(a+1))||≥−a恒成立，整理得||2−(a+1)||+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−‎4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC ‎8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1，2)，则 ‎ A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值 ‎ B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值 ‎ C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值 ‎【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ k=1‎ k=2‎ ‎【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。‎ O x y A B F1‎ F2‎ ‎（第9题图）‎ ‎9．如图，F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为 A． B． C． D． ‎【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，属于中档题 ‎【答案解析】D 由题意，c=，|AF2|+|AF1|=4……①，|AF2|−|AF1|=‎2a……②，①+②得|AF2|=2+a，①−②得|AF1|=2−a，又|AF1|2+|AF2|2=| F‎1F2|2，所以a=，于是e==.‎ ‎10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有 PQ1= PQ2，则 A．平面α与平面β垂直 B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C．平面α与平面β平行 D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60° ‎【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题 ‎【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确 非选择题部分（共100分）‎ 二、填空题：每小题4分，共28分．‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第12题图）‎ ‎11．设二项式的展开式中常数项为A，则A= ．‎ ‎ 【命题意图】考查二项式定理，属于容易题 ‎ 【答案解析】−10‎ ‎12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的 ‎ 体积等于 cm3．‎ ‎ 【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题 ‎ 【答案解析】24 由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个 ‎ 三棱锥所得 ‎13．设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k= ．‎ ‎ 【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题 ‎ 【答案解析】2 作出平面区域即可 ‎14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有 种（用数字作答）．‎ ‎ 【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题 ‎ 【答案解析】480 第一类，字母C排在左边第一个位置，有A种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有AA种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有AA+ AA种，由对称性可知共有2´( A+ AA+ AA+ AA)=480种。‎ ‎15．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(−1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|=2，则直线l的斜率等于 ．‎ ‎【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题 ‎【答案解析】±1 设直线l的方程为y=k(x+1)，联立消去y得k ‎2x2+(2k2−4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =−，于是xQ==，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=，根据|FQ|=，解出k=±1．‎ ‎16．在△ABC，ÐC=90°，M是BC的中点．若sinÐBAM=，则sinÐBAC= ．‎ ‎【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题 ‎【答案解析】 设BC=‎2a，AC=b，则AM=，AB=，sinÐABM= sinÐABC==，在△ABM中，由正弦定理=，即=，解得‎2a2=b2，于是sinÐBAC===．‎ ‎17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yÎR．若e1，e2的夹角为，则的最大值等于 ．‎ ‎ 【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题 ‎ 【答案解析】2 =====，所以的最大值为2‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．‎ ‎18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，‎2a2+2，‎5a3成等比数列 ‎ （Ⅰ）求d，an；‎ ‎（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．‎ ‎ 【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。‎ ‎ 【答案解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意 ‎5a3× ‎a1=(‎2a2+2)2，‎ 即 d2−3d−4=0．‎ ‎ 故 d=−1或d=4．‎ 所以 an=−n+11，nÎN*或an=4n+6，nÎN*‎ ‎（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．因为d<0，由（Ⅰ）得d=−1，an=−n+11．则 当n£11时，‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=−n2+n 当n³12时，‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=−Sn+2S11=n2−n+110‎ ‎ 综上所述，‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= ‎19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．‎ ‎ （Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；‎ ‎（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若 Eη=，Dη=，求a∶b∶c．‎ ‎ 【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。‎ ‎ 【答案解析】‎ ‎ （Ⅰ）由题意得 ξ=2，3，4，5，6‎ ‎ 故 P(ξ=2)==，‎ P(ξ=3)==，‎ P(ξ=4)==，‎ P(ξ=5)==，‎ P(ξ=6)==，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（Ⅱ）由题意知η的分布列为 η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所以 Eη=++= Dη=×+×+×= 化简得 解得a=‎3c，b=‎2c，故 a∶b∶c=3∶2∶1‎ A B C D P Q M ‎（第20题图）‎ ‎20．（本题满分15分）如图，在四面体A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．‎ ‎（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；‎ ‎（Ⅱ）若二面角C−BM−D的大小为60°，求ÐBDC的大小．‎ ‎ 【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。‎ ‎ 【答案解析】‎ ‎（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．‎ 因为AQ=3QC，所以 QF∥AD，且QF=AD 因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以 OP∥DM，且OP=DM 又点M是AD的中点，所以 OP∥AD，且OP=AD 从而 OP∥FQ，且OP=FQ 所以四边形OPQF是平行四边形，故 PQ∥OF 又PQË平面BCD，OFÌ平面BCD，所以 PQ∥平面BCD．‎ ‎ （Ⅱ）作CG^BD于点G，作GH^BM于点HG，连接CH，则CH^BM，所以ÐCHG为二面角的平面角。设ÐBDC=θ．‎ ‎ 在Rt△BCD中，‎ CD=BDcos θ=2cos θ，‎ CG=CDsin θ=2cos θsin θ，‎ BG=BCsin θ=2sin2θ ‎ 在Rt△BDM中，‎ HG== ‎ 在Rt△CHG中，‎ tanÐCHG= ‎ 所以 tan q= ‎ 从而 q=60° x O y B l1‎ l2‎ P D A ‎（第21题图）‎ 即ÐBDC=60°．‎ ‎21．（本题满分15分）如图，点P(0，−1)是椭圆C1：(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．‎ ‎ 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 ‎ 【答案解析】‎ ‎ （Ⅰ）由题意得 ‎ 所以椭圆C的方程为 ．‎ ‎ （Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为 y=kx−1．‎ ‎ 又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离 d=，‎ ‎ 所以 ‎|AB|=2=2．‎ ‎ 又l‎1^l2，故直线l2的方程为 x+ky+k=0．‎ ‎ 由 ‎　 消去y，整理得 ‎(4+k2)x2+8kx=0‎ ‎ 故 x0=−．‎ ‎ 所以 ‎|PD|=．‎ ‎ 设△ABD的面积为S，则 S=|AB|×|PD|=，‎ 所以 S=£=，‎ 当且仅当k=±时取等号 所以所求直线l1的方程为 y=±x−1‎ ‎22．（本题满分14分）已知aÎR，函数f(x)=x3−3x2+3ax−‎3a+3‎ ‎（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当xÎ[0，2]时，求|f(x)|的最大值．‎ ‎ 【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力 ‎ 【答案解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意f ¢(x)=3x2−6x+‎3a，故f ¢(1)=‎3a−3．又f(1)=1，所以所求的切线方程为 y=(‎3a−3)x−‎3a+4‎ ‎（Ⅱ）由于f ¢(x)=3(x−1)2+3(a−1)，0x£2．故 ‎（ⅰ）当a£0时，有f ¢(x) £0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故 ‎|f(x)|max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3−‎‎3a ‎（ⅱ）当a³1时，有f ¢(x) ³0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故 ‎|f(x)|max=max{|f(0)|，|f(2)|}= ‎3a−1‎ ‎（ⅲ）当00，f(x1)×f(x2)=4(1−a)>0‎ 从而 f(x1)>| f(x2)|．‎ 所以 ‎|f(x)|max=max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}‎ ‎（1）当0|f(2)|．‎ 又 f(x1)− f(0)=2(1−a)−(2−‎3a)=>0‎ 故 ‎|f(x)|max= f(x1)=1+2(1−a)．‎ ‎（2）当£a<1时，|f(2)|=f(2)，且f(2)³f(0)．‎ 又 f(x1)− |f(2)|=2(1−a)−( ‎3a −2)= 所以 ‎①当£a<时，f(x1)> |f(2)|．故 ‎|f(x)|max= f(x1)=1+2(1−a)．‎ ‎②当£a<1时，f(x1) £ |f(2)|．故 ‎|f(x)|max=| f(2)|= ‎3a−1．‎ ‎ 综上所述，‎ ‎|f(x)|max=