2015高考数学人教A版本（综合素质能力测试）一轮过关测试题

2015高考数学人教A版本（综合素质能力测试）一轮过关测试题

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y＝的定义域为M，集合N＝{y|y＝x2，x∈R}，则M∩N等于(　　)‎ A．∅　　　　　　　　　　 B．N C．[1，＋∞) D．M ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意知，M＝{x|x≥2}，N＝{y|y≥0}，∴M∩N＝M，故选D.‎ ‎(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|logx<0}，则M∩N等于(　　)‎ A．(－1,1) B．(1,3)‎ C．(0,1) D．(－1,0)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知M＝{x|－11}，∴M∩N＝{x|10 B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x∈R，lgx>1 D．∃x∈R，tanx＝2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　当x＝1时，(x－1)2＝0，∴B为假命题．‎ ‎3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a11＝12，则S11的值为(　　)‎ A．66 B．44‎ C．36 D．33‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a2＋a5＋a11＝‎3a1＋15d＝12，‎ ‎∴a6＝a1＋5d＝4，∴S11＝‎11a6＝44.‎ ‎(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝(　　)‎ A．53 B．54‎ C．55 D．109‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a1＝1，an＝an－1＋2n，∴a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.‎ ‎4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是(　　)‎ A．4＋4 B．12‎ C．4 D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为，∴表面积S＝22＋4×(×2×2)＝12，故选B.‎ ‎(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　　)‎ A．2 B. C．4 D．2‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为和2，∴其面积为S＝2.‎ ‎5．(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　在矩形内取一点Q，由点Q分别向AD、AB作垂线，垂足依次为E、F，由S△ABQ＝S△ADQ＝1知，QF＝1，QE＝，‎ 设直线EQ、FQ分别交BC、CD于M、N，则当点P落在矩形QMCN内时，满足要求，‎ ‎∴所求概率P＝＝＝.‎ ‎(理)(2014·山西省太原五中月考)若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)‎ A．180 B．120‎ C．90 D．45‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，‎ ‎∴展开式的通项Tr＋1＝C·()10－r·()r＝2r·C·x，‎ 令＝0得，r＝2，∴常数项为T3＝22·C＝180.‎ ‎6．(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k的值是(　　)‎ A．3　　　　B．‎4　‎　　　C．5　　　　D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：k＝1时，k2－5k＋4＝0，不满足条件；k＝2时，k2－5k ‎＋4＝－2不满足条件；k＝3时，k2－5k＋4＝－2不满足条件；k＝4时，k2－5k＋4＝0不满足条件；k＝5时，k2－5k＋4＝0>0满足条件，此时输出k的值为5.‎ 解法2：由k2－5k＋4>0得k<1或k>4，∵初值k＝1，由“k＝k＋‎1”‎知步长为1，∴k∈N，∴满足k2－5k＋4>0的最小k值为5，故当k＝5时，满足程序条件，输出k的值．‎ ‎7．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①f(x＋1)是偶函数；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1≤x2≤3时，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0，则f(2011)，f(2012)，f(2013)的大小关系为(　　)‎ A．f(2011)>f(2012)>f(2013)‎ B．f(2012)>f(2011)>f(2013)‎ C．f(2013)>f(2011)>f(2012)‎ D．f(2013)>f(2012)>f(2011)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(3)，f(2013)＝f(1)，∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2012)＝f(0)＝f(2)，∵1≤x1f(2)>f(3)，‎ ‎∴f(2013)>f(2012)>f(2011)，故选D.‎ ‎8．(2014·海南省文昌市检测)过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋‎2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．a<－3或11或a<－3 D．－3 ‎[答案]　A ‎[解析]　由条件知点A在圆外，‎ ‎∴ ‎∴∴a<－3或10)，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c ‎[答案]　B ‎[解析]　g′(x)＝cosx，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2，‎ 由sinx＝cosx,00得x>1,0<<1，‎ ‎∴10，排除B；由＝0得3x＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋，∴f(x)的零点等间隔出现，排除C，故选D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)‎ ‎13．(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α－)＝________.‎ ‎[答案]　－7‎ ‎[解析]　∵α∈(，π)，sinα＝，∴cosα＝－，‎ ‎∴tanα＝－，∴tan(α－)＝＝＝－7.‎ ‎(理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC中，＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　由正弦定理知，‎ ＝＝ ‎＝＝1.‎ ‎14．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x、y满足约束条件，则3x＋2y的最大值是________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　作出可行域如图，作直线l0：3x＋2y＝0，平移l0得直线l：3x＋2y＝u，当l经过点A(1,1)时，u取最大值，umax＝3×1＋2×1＝5.‎ ‎(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x，y满足，则2x－y的最大值为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0得直线l：2x－y＝t，当平移到l经过点A(1,0)时，t取最大值，tmax＝2.‎ ‎[点评]　当直线l：2x－y＝t的纵截距最小时，t取最大值，故t最大时，直线l应过A(1,0)点，而不是B(0,1)点．‎ ‎15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，且满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2014＝________.‎ ‎[答案]　4009‎ ‎[解析]　∵{xn}是公差为2的等差数列，‎ ‎∴x8x10>0，‎ ‎∴x10＝－x9，x11＝－x8，∴x9＝－1，x2014＝x9＋2·(2014－9)＝4009.‎ ‎(理)(2014·吉林市摸底)边长是2的正△ABC内接于体积是4π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　因为球O的体积为4π，即r3＝4π，所以r＝，设正△ABC的中心为D，连接OD，AD，OA，则OD⊥平面ABC，且OA＝，AD＝，‎ 所以OD＝＝，‎ 所以球面上的点到平面ABC的最大距离为＋r＝.‎ ‎16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题：‎ ‎①函数f(x)＝lnx－2＋x在区间(1，e)上存在零点；‎ ‎②若f ′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值；‎ ‎③若m≥－1，则函数y＝log (x2－2x－m)的值域为R；‎ ‎④“a＝1”是“函数f(x)＝在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．‎ 其中正确的是________．‎ ‎[答案]　①③④‎ ‎[解析]　①∵f(1)·f(e)＝－1·(e－1)<0，又f(x)在(1，e)上的图象连续不断，∴f(x)在(1，e)上存在零点，故①正确；‎ ‎②f ′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题；‎ ‎③要使函数y＝log (x2－2x－m)的值域为R，应使x2－2x＋m取遍所有正数，∴Δ＝4＋‎4m≥0，∴m≥－1，故③正确；‎ ‎④a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；f(x)＝为奇函数时，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴＝－，即＝，∴e2x－a2＝a2e2x－1，∴(a2－1)(e2x＋1)＝0，∴a2－1＝0，∴a＝±1，∴④正确，故填①③④.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且m＝(sinA＋sinB＋sinC，sinC)，n＝(sinB，sinB＋sinC－sinA)，若m∥n.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值及此时B的值．‎ ‎[解析]　(1)因为m∥n，所以(sinA＋sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，‎ 根据正弦定理得，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，‎ 即a2＝b2＋c2＋bc，‎ 由余弦定理得，cosA＝＝－，‎ 又A∈(0，π)，‎ 所以A＝π.‎ ‎(2)由正弦定理及a＝得，S＝bcsinA＝··asinC＝sinBsinC，‎ 所以S＋cosBcosC＝(cosBcosC＋sinBsinC)‎ ‎＝cos(B－C)，‎ 所以当B＝C时，即B＝C＝时，S＋cosBcosC取最大值.‎ ‎(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a＝(cosφ，sinφ)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinφ，－cosφ)，其中0<φ<π，且函数f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx的图象过点(，1)．‎ ‎(1)求φ的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)∵a·b＝cosφcosx＋sinφsinx＝cos(φ－x)，‎ b·c＝cosxsinφ－sinxcosφ＝sin(φ－x)，‎ ‎∴f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx ‎＝cos(φ－x)cosx＋sin(φ－x)sinx ‎＝cos(φ－x－x)＝cos(2x－φ)，‎ 即f(x)＝cos(2x－φ)，‎ ‎∴f()＝cos(－φ)＝1，‎ 而0<φ<π，∴φ＝.‎ ‎(2)由(1)得，f(x)＝cos(2x－)，‎ 于是g(x)＝cos[2(x)－]，‎ 即g(x)＝cos(x－)．‎ 当x∈[0，]时，－≤x－≤，‎ 所以≤cos(x－)≤1，‎ 即当x＝0时，g(x)取得最小值，‎ 当x＝时，g(x)取得最大值1.‎ ‎18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{an}中，a3＝3，前7项和S7＝28.‎ ‎(1)求数列{an}的公差d；‎ ‎(2)等比数列{bn}中，b1＝a2，b2＝a4，求数列{bn}的前n项和Tn(n∈N*)．‎ ‎[解析]　(1)S7＝＝‎7a4＝28，‎ ‎∴a4＝4，‎ 又∵a3＝3，∴d＝a4－a3＝1.‎ ‎(2)由(1)知数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝1＋(n－1)＝n，‎ ‎∴b1＝2，b2＝4，‎ ‎∴数列{bn}的公比q＝＝2，‎ ‎∴Tn＝＝＝2n＋1－2.‎ ‎(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn，(c是不为0的常数，n∈N*)，且a1，a2，a3成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)由已知a2＝2＋c，a3＝2＋‎3c，‎ 则(2＋c)2＝2(2＋‎3c)，∴c＝2，∴an＋1＝an＋2n，‎ n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n－1)＝n2－n＋2，‎ n＝1时，a1＝2也适合上式，因此an＝n2－n＋2.‎ ‎(2)bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＋，‎ Tn＝＋＋＋…＋＋，用错位相减法可求得Tn＝1－.‎ ‎19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝.‎ ‎(1)求证：平面AB‎1C⊥平面B1CB；‎ ‎(2)求三棱锥A1－AB‎1C的体积．‎ ‎[解析]　(1)直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，BB1⊥AC，‎ 又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，∴AB＝，‎ 则由AC2＋BC2＝AB2可知，AC⊥BC，‎ ‎∴AC⊥平面B1CB，‎ ‎∴平面AB‎1C⊥平面B1CB.‎ ‎(2)∵BC⊥AC，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC‎1A1，‎ ‎∴B到平面ACC‎1A1的距离d＝1，‎ ‎∵BB1∥平面ACC‎1A1，∴B1到平面A‎1AC的距离为1，‎ ‎∴三棱锥A1－AB‎1C的体积＝×(×1×1)×1＝.‎ ‎(理)(2014·海南省文昌市检测)如图，已知ABCD为平行四边形，∠A＝60°，AF＝2FB，AB＝6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于点N.现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．‎ ‎(1)求证：BD⊥平面BCEF；‎ ‎(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；‎ ‎(3)求三棱锥N－ABF的体积．‎ ‎[解析]　(1)由条件知EF⊥DN，EF⊥BN，‎ ‎∴EF⊥平面BDN，‎ ‎∴平面BDN⊥平面BCEF，‎ ‎∵BN＝平面BDN∩平面BCEF，‎ ‎∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，‎ 又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，‎ ‎∴D在平面BCEF上的射影即为点B，‎ 故BD⊥平面BCEF.‎ ‎(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵在原平面图形中AB＝6，∠DAB＝60°，‎ ‎∴BD＝3，∵EF∥AD，AF＝2FB，∴DN＝2BN，‎ ‎∴BN＝，DN＝2，∴折后立体图形中BD＝3，BC＝3，‎ ‎∴N(0，，0)，D(0,0,3)，C(3,0,0)，＝＝(－1,0,0)，‎ ‎∴＝＋＝(－1，，0)，＝(0，，－3)，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，‎ ‎∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.‎ 法二：在线段BC上取点M，使BM＝NF，则MN∥BF，‎ ‎∴∠DNM或其补角为DN与BF所成的角．‎ 又MN＝BF＝2，DM＝＝，DN＝2.‎ ‎∴cos∠DNM＝＝，‎ ‎∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为.‎ ‎(3)∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，‎ ‎∴VN－ABF＝VA－BNF＝VD－BNF＝S△BNF·BD＝，‎ 即所求三棱锥的体积为.‎ ‎20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝‎2a，f ′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)设g(x)＝f ′(x)e－x，求函数g(x)的极值．‎ ‎[解析]　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ ‎∵f ′(1)＝‎2a，∴3＋‎2a＋b＝‎2a，‎ ‎∵f ′(2)＝－b，∴12＋‎4a＋b＝－b，‎ ‎∴a＝－，b＝－3，‎ ‎∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，f ′(x)＝3x2－3x－3，‎ ‎∴f(1)＝－，f ′(1)＝－3，‎ ‎∴切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，‎ 即6x＋2y－1＝0.‎ ‎(2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，‎ ‎∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，‎ ‎∴当00，当x>3时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)<0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，‎ 所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.‎ ‎(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．‎ ‎[解析]　(1)由条件可得 解得a＝－，b＝1，‎ 则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．‎ ‎(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，‎ 则T′(x)＝＋－＝－，‎ 令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，‎ 当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；‎ 当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴当x＝50时，T(x)取最大值．‎ T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．‎ 即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．‎ ‎21．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按150进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：‎ 得到频率分布表如下：‎ 分数段 ‎(分)‎ ‎[50，‎ ‎70)‎ ‎[70，‎ ‎90)‎ ‎[90，‎ ‎110)‎ ‎[110，‎ ‎130)‎ ‎[130，‎ ‎150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎(1)求表中a，b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]范围内为及格)；‎ ‎(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．‎ ‎[解析]　(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，‎ ‎∴a＝＝0.1，b＝3‎ 从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人，‎ 所以估计全校数学成绩的及格率为＝65%.‎ ‎(2)设A表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于‎130”‎，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a，b，c，d，e，‎ 则选取学生的所有可能结果为：‎ ‎(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，‎ 事件“2名学生的平均得分大于等于‎130”‎，也就是“这两个学生的分数之和大于等于‎260”‎，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：‎ 分数段 ‎(分)‎ ‎[50，‎ ‎70)‎ ‎[70，‎ ‎90)‎ ‎[90，‎ ‎110)‎ ‎[110，‎ ‎130)‎ ‎[130，‎ ‎150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎(1)求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；‎ ‎(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，‎ ‎∴a＝＝0.1，b＝3；分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为×100%＝65%.‎ ‎(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝.‎ 随机变量X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎22．(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．‎ ‎(1)写出C的方程；‎ ‎(2)若⊥，求k的值．‎ ‎[解析]　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得，(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ ‎∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，‎ 化简得－4k2＋1＝0，∴k＝±.‎ ‎(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)设过椭圆顶点B(0，b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．‎ ‎[解析]　(1)由已知‎2c＝2，＝.‎ 解得a＝2，c＝，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝1，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)得过B点的直线方程为y＝kx＋1，‎ 由消去y得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，‎ ‎∴xD＝－，yD＝，‎ 依题意k≠0，k≠±.‎ ‎∵|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，∴|BE|2＝|BD||DE|，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∵b＝1，∴y－yD－1＝0，解得yD＝，‎ ‎∴＝，解得k2＝，‎ ‎∴当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，k2＝.‎