安徽高考数学解题应试笔记
2013年 安徽高考 数学解题《应试笔记》
---考点梳理
---难点突破
---培优提高
---高分策略
从这份应试笔记中，你能收获些什么——
一纸整理完备的应试笔记菁华？……NO
一贴应试无忧的灵丹妙药？……NO
一场能助你数学获得丰收游戏？……NO
喜欢并爱上数学，通过突破数学难点，获得开拓自我的勇气和力量？……YES！
《应试笔记》目录
考点梳理篇------考点串联知识点
一、填空题部分
从常考题中总结出一般的模型结论，进而上升为解题理论，用于指导常规解题。本部分只是对填空题常考的和易考的角度建立梳理架构。分abcd四个板块，由安徽地区高考试题出题先后，并结合考纲考点，梳理出主干和网络。并针对“我”的实际有所侧重的梳理整理。其实，并不完全按照考纲梳理知识点，很大程度上按照试题常考的。很多我的强项和仍未不需要整理的，但考纲要求的东东，统统跳过，请给位自己情况添加或删减。
A、1～4，送分题，做到不失一题
改编自课本上比较容易的试题，绝大多数学生能够答出；
B、5～9，中档题，易丢分，防漏/多解
改编自课本或资料上中等难度的试题，大部分学生能够答出；
C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
D、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽
属原创题，难度比较大，一般学生很难答出；
二、解答题部分（制作中……）
安徽的高考数学试题题型和难易度明显不同与其他省市，虽然每年都在变，可是变的仅仅都是些外表，模型和方法都还不变。因此，我提倡模型解题，但我认为并不像某些资料上传的神乎其神的，用了通用模型解题就能一统江湖。最最重要的还是牢固的基础和扎实的解题能力。于是就有了下面我整理的，关于基础和能力的解读！
15三角基础题 16立体几何 17实际应用题 18解析几何综合题
19数列综合题 20函数综合题
三、必考+选考部分（理科选修）（制作中……）
第二卷是不难的，难的只是最后一题，只要突破了设题的能力上的障碍，完全可以“一锅端”。只要书看透，题做多，练就速度和质量的黄金比，至少能拿下30分。因此，千万别大意！这一板块，我只列些易忘的知识点！
难点突破篇-------小专题突破薄弱环节
1、隐藏在三次函数中的秘密
2、不等式恒成立、能成立、恰成立
3、求递推数列的通项公式的九种方法
4、“单调性”弥补了“基本不等式”的漏洞
5、抽象函数的周期性、对称性、单调性
6、图形变换
7、中学阶段定义与模型解题的展想
8、
培优提高篇-------眼界决定境界！
穿插在其他三个板块内部，没有单独集中梳理。内容很多分布在各处，主要体现在解题思想方法深化、知识有机拓展上！都是在基础的地方生发，算不算是高深莫测内容！
高分策略篇-------考前优化辅导
1、知识网络图表；2、答题规范；3、考前回归课本辅导；4、名校资料包
数学，你是我羞涩的梦……
第九次修订感言：
又快一年高考时，同学们你们都准备好了吗？针对近年安徽高考数学考情，笔者尝试将答卷过程常用技巧定理，作适当拔高与拓容，对常见难点在原因上加以突破和整合，并对易误点在细节上加以提点和梳理.内容如下，供高三师生备考参考。
“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。解题过程是灵活运用双基（基础知识与基本方法），智慧地化解问题的过程.平日，我们强调基础固然没错，但想要考出出色成绩，仅停留在重视基础的层次上是远远不够的，还得有更为丰富的“内容”来填充.《难点突破与培优提高》（俗称“应试笔记”）虽为一次大胆拓容，但其生发之源仍然是“基础”！
相信同学们以这些高级的“基础”垫底，取得出色的分数将更为容易!所谓“眼界决定境界”就是这个道理！
数学这棵大树，不仅仅要有主干作为支撑，还要有那些枝枝叶叶才丰满，更为重要的是要有一个活的循环系统。知识是死的，而运用知识灵活处理问题才是真理。
关于修订的目的
起初仅仅是为了作自我的知识梳理，以便更好高考应试，更好的参加高考复读。
这份应试宝典，来源于三年的厚厚的数学笔记，以及N本复习参考书，更多的是九年的自己的数学真实解题体验。在这份资料的篇章编排上，采用了以高考试题设题先后，结合考点、知识点、易误点等为结构。从解题过程的常考、易误等细节对知识点、考点加以梳理。
一点一滴的漫长积累、一次又一次的反复修订，就得到了如今的第九搞。在总结过程中，自我的知识得到了重新扫描，能力也在不断突破、提升，顿觉受益匪浅！已经是第九次修订了，内心藏着无法言说的苦与乐。希望我的总结，能够引发方家的一些思考！
《应试笔记》欢迎大家的转载和挑错，转载时务必保留本文稿的完整性，尊重本人劳动！书稿虽历经无数次修订，但仍有错漏之处，如发现问题，还请不吝指正，谢谢！
一些认知：
重新阐释一些关于数学做题上的错误认识，并补充其成立的充要条件：
1、只有先提出问题，方能发现问题
指津：这里有一个度的问题：对待问题，要坚守一个信念---刨根问底，但不能过分偏执钻牛角尖。其实问问题一次也不一定就能把问题搞清楚；更不要逃避问题，回避了总有一天你会吃大亏的！
不能不说的是，平时，不少同学问问题，会有这样一种滑稽的场景。问了老师，老师会给的回复往往是：这道题解题方法很有新意，但这样的题不会考！自己提出的问题就怎样被老师枪毙了……
实在不敢苟同这样看法：到底是老师对待这个问题的一知半解，羞于出口，还是真正的在为学生减负着想，去掉多余，亦或是区别对待学生……
2、光说不练是假把式，光练不说是傻把式
不管哪种技能，都是在实战中练出来的。不能不说，基础和能力是打出来，更是练出来的。
指津：这是做题与看书哪个重要的问题。不是说搞题海战术不好，不好的是做题被题海牵着鼻子走；做题要选好题、做好题。在不断做题的历练中，总结方法与能力的得与失，更要关注的是“失”，只有在不足的地方着力，
知识和能力是解题支撑，只有熟练掌握，并能够灵活运用那些最常用的知识方法，解题才能上路子，遇到“难题”方能有灵光闪现的可能。
3、其实每一个孩子都可以把数学考得很好，只是缺少得力的指导和系统的辅导罢了。
起点的高低，有时是至关重要的！见过很多同学，资质很高，
高校不仅仅只录取的智商高的，也录取那些勤奋用功的学生！
4、高考成也数学，败也数学
成立条件：只是强调数学科目的重要性。不是让学生死死抱着数学这一科不放，毕竟，每一科的分数在总分中的地位是等价的。
5、高考就是高考
不要以为通过平时日常学习，就一定能轻松适应高考，跨过高考这道坎。其实，很多考生是适应不了高考的，但不能因此就畏惧高考。对那些对高考还怀揣着美好憧憬的，要想一个美满的结局，应付得了高考更是艰难。毕竟，精英和强者，只是点缀。要是成功那么轻松地取得，结果就不会那么珍贵，成功者受众人的推崇了。
不怕！你所可以做的，就是把心展开放平，把认真留给当下……
6、最佳高考复习方案
最佳的复习方案，就是学校和老师为你设计的方案，并适当提升自己的薄弱环节。
在高考的这条路上，不断有人在四处打听捷径。其实，高考之路没有捷径，有也是一条弯路。你所能做的，就是慢慢地品尝和聆听这个过程。跟随时光的脚步，在这条路上，留下一串自己的脚印……
考点梳理篇------考点串联重要知识点
一、填空题部分
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A、1～4题，基础送分题，做到不失一题！
A1.集合性质与运算
【主干知识】
1、元素性质：无序性、确定性、互异性
深化认识：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同时，那么A = B；如果．
2、若Ａ={}，则Ａ的子集有个，真子集有个，非空真子集有个。
3、
4、摩根公式：；.
点睛：结合维恩图去理解与识记公式，重思想在运用。
【应试提醒】
1、注意区分集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等。
2、是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集，所以当两个集合之间存在子集关系时，不要忘记对空集的讨论，即若，则应分和两种情况进行分析。
3、若集合是不等式的解集，则在两个集合的交集与并集以及集合的补集的求解过程中要注意端点值的取与舎，不能遗漏；在利用数轴表示集合时，注意端点值的标注，区分实点和虚点。
4、求解集合的补集时，要先求出集合，然后再写其补集，不要直接转化条件导致出错，如的补集是，而不是。
A2.命题与反证法
1、命题的否定与否命题的区别：
命题的否定是，否命题是。
命题“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”。
【应试指导】
全称命题p：；全称命题p的否定p：。
特称命题p：；特称命题p的否定p：。
2、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；
2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；
3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；
2、导出与假设相矛盾的命题；
3、导出一个恒假命题。
A3.复数运算
1.运算律：
⑴；⑵；⑶.
点睛：注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围。
2.模的性质：
⑴；⑵；⑶。
3.重要结论：
⑴；
⑵；⑶；⑷，；
⑸性质：T=4；。
【拓展】：或。
A4.幂函数、对数函数、指数函数
1、幂函数的图像与性质
(1)所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点；
(2)时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；
(3)时，幂函数的图像在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴。
【说明】：中学阶段只要求掌握这6类，它们的图像都经过一个定点(1，1)，只要把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了。
2、指数函数与对数函数图象与性质
3、三种函数模型的增长速度
A5.统计（公式记准）
1.抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、系统抽样。
2.总体估计：一“表”，两“图”。
⑴频率分布直方图
①频率=。
②小长方形面积=组距×=频率。
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1。
⑵茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3.样本平均数：
4.样本的估计：方差大波动大
(1)一组数据
①样本方差；
若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。
②样本标准差
=
(2)两组数据与，其中，.则，它们的方差为，标准差为
样本数据做如此变换：，则，.
（3）变量间的相关关系：假设我们有如下一组数据：
回归方程必过定点，其中，.
回归直线方程
，其中
A6.算法初步
B、5～9，中档题，易丢分，防漏/多解
B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）右边、左边，上方、下方
（2）设曲线（），则或所表示的平面区域：
两直线和所成的对顶角区域（上下或左右两部分）。
2、点与曲线的位置关系：
若曲线为封闭曲线（圆、椭圆、曲线等），则，称点在曲线“外部”，反之“内部”；若为开放曲线（抛物线、双曲线等），则，称点亦在曲线“外部”，反之“内部”。
3、几个目标函数（方程）的几何意义：
（1），“截距函数”，若，直线在y轴上的截距越大，z越大，若，直线在y轴上的截距越大，z越小。
（2），表示过两点的直线的“斜率函数”，特别表示过原点和的直线的斜率。
（3），表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题。
（4），“点点距离函数”，表示到点的距离。
（5），表示单位圆上的点；
（6），“点线距离函数”，表示点线距离；
练习：在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |＋≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，
3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝＋，y＝＋，(，)∈A，(，)∈B}所表示的区域的面积为 ．
解析：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：＋＋＋＋＝×4×3＋(3＋4＋5)×1＋＝18＋。
4、由于线性规划的目标函数：可变形为，则为直线
的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：
（1）当时，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z取得最大值的点；反之，使纵截距取最小值的点，就是z取得最小值的点。
（2）当时，与时情形正好相反，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z取得最小值的点；使纵截距取最小值的点，便是z取得最大值的点。
B 2.三角恒等变换
说明：这一考点整理的比较细，主要是出于对这一块知识点细碎且较多的考虑，一览无余！再多我心中都有底！
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换。变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”。角的变换主要有，已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础。以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决。
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等。
三角恒等变换的方法：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：
，；
，；
；
；
，；
；
等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
利用二倍角公式和二倍角公式的等价变形，，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化。
（3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.
经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”。
（4）常值变换
常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：等。
（5）引入辅助角
一般的，
，其中。
特别的，，
，
等。
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简。
举例：
可以通过两式和，作进一步化简。
（7）整体代换
举例：
，，可求出整体值，作为代换之用。
三角恒等式证明：
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
(1)角的变换
因为在中，（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余。
锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即，；；。
；；。
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
面积公式：。
其中为三角形内切圆半径，为周长之半。
(3)对任意，；
在非直角中，。
(4)在中，熟记并会证明：
①成等差数列的充分必要条件是。
②是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列。
③三边成等差数列
=；。
④三边成等比数列，。
(5)锐角中，，；
；
。
【思考】：△ABC的判定：（证明略）
△ABC为直角△∠A + ∠B =（或）
△ABC为钝角△∠A + ∠B＜（或）
△ABC为锐角△∠A + ∠B＞（或）
(6)两内角与其正弦值：在中，
，…
(7)若，则.
(8).
B 4.三角恒等、不等式（只需了解，基本用不到）
组一 二级结论
组二 （非常少见的结论）
……
组三 常见三角不等式
(1)若，则；
(2) 若，则；
(3) ；
(4)在上是减函数；
B 4. 补齐三角函数常用公式
这里过于基础的东西，如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等，就不再重复了。但是由于现行的教材对常用公式删得太多，下面对这些常用公式做出梳理：
（1）半角公式
（2）积化和差
（3）和差化积
（4）万能公式
（5）三倍角公式
B5.概率（考的很少，不必纠结）
1.计算公式：
⑴古典概型：；
①等可能事件的概率计算公式：；
②互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；
③对立事件的概率计算公式是：P()=1－P(A)；
④独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)；
⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
(是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项)。
⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域}，则A的概率定义为。
点拨：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件。
（3）条件概率（不需掌握）：称为在事件发生的条件下，事件发生的概率。注意：①；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法：
①直接法：
②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手.
（2）解排列组合问题的方法有：
①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置。
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）。
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制无条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。
⑥多元问题分类法。
⑦有序问题组合法。
⑧选取问题先选后排法。
⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
⑪涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成组问题，别忘了除以.
B6. 利用极值定理求最值
最值定理必要条件：“一正、二定、三相等”
①，若积，则当时和有最小值；
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.
③已知，若，则有：
④，若则有：
B7.用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）：例1.当 时，求函的数最大值；
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知，求函数的最大值；
⑶调整分子：例3.求函数的值域；
⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形： ， ，，.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数的最大值；
⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；
⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；
⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.
B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；
点拨：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围，常用来解，型如的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如，解析式是积时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；
⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如（，不同时为）的函数常采用此法．
【拓展】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.型，可直接用不等式性质；
2.型，先化简，再用均值不等式；
3.型，通常用判别式法；
4.型，可用判别式法或均值不等式法；
⑾导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.
如求函数，的最小值。（答：－48）
B9. 三角函数的最值
（1）(或)型：用(或)求解.但要注意的正负；
（2）型，运用重要等式求解；
（3）(或)型：设(或)，则，化为二次函数的最问题；
（4）(或)型：解出(或)，用(或)求解，或用分离常数法；
（5）(或)型：整理后运用重要等式求解；
（6）含有型：设，将转化为的关系式，化为二次函数的最值问题。
C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.掌握线段的定比分点公式（考纲要求不高，但很重要）
设，，是线段的分点，是实数，且（或
），则（）
推广1：当时，得线段的中点公式：
推广2：，则（对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：
△ABC的顶点，重心坐标：
点拨：（1）在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件．
（2）λ是关键（）
（内分） λ>0 （外分） λ<0 （λ<-1） （外分） λ<0 （-1<λ<0）
若P与P1重合，λ=0 P与P2重合，λ不存在 P离P2 P1无穷远，λ=
（3）利用有界性可求一些分式函数的值域；
C 2. 借助具体函数“模拟”抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：.
②指数函数型：.
③对数函数型：，
.
④幂函数型：，.
⑤三角函数型：，，，
.，.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。
C 3. 几何体中数量运算结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.
1.在长方体中：
①体对角线长为，外接球直径；
②棱长总和为；
③全（表）面积为，体积；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则有
cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有
cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.
C
B
A
A
2.在正三棱锥中：
①侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）顶点在底上射影为底面外心；
②侧棱两两垂直（两对对棱垂直）顶点在底上射影为底面垂心；
③斜高长相等（侧面与底面所成角相等）且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积；②体积；③对棱间的距离；
④相邻面所成二面角；⑤外接球半径；⑥内切球半径；
C
B
A
A
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值.
4.在立方体中：
设正方体的棱长为，则
①体对角线长为，②全面积为，③体积，④内切球半径为，外接球半径为，与十二条棱均相切的球半径为，则
，，，且
点拨：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长（半径） 的点的集合．
球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．
球心和截面圆的距离与球的半径及截面圆半径之间的关系是.
C4. 圆锥曲线几何性质
第一定义：
椭圆方程的第一定义：
双曲线的第一定义：
0
1 e=1
第二定义（*统一定义）：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹．简言之就是 “（数的统一）”，当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）．椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.
圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中，椭圆中、双曲线中.
这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。
两定义的选用：如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.
圆锥曲线的焦半径公式，如下图：
特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.
C5、常见的隐函数问题
在做函数练习题时，经常碰到一些只给出函数关系式没有解析式的问题，我们就把这类问题称为隐函数问题．隐函数问题具有一定的抽象性和综合性，对能力要求较高。
下面列出一些常见条件的转化，供大家参考：
设定义在上的函数，则有；对任意的实数
（1） 是以为周期的周期函数
（2） 的图象关于对称
（3）为奇函数
（4）为偶函数
（5） 的反函数为
D、13～14题
把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽
D1.三个极其重要的函数
1.复合函数
(1) 时，俗称“双钩函数”：
① 定义域：；值域为；
② 奇偶性：奇函数（有对称中心）；
③ 单调性：在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
④ 极值：时取到极大值，时取到极小值.
⑤ 记住的图像的草图.
⑥ 不等式性质：时，；
时， .
(2) 时，在区间上为增函数.
【思考】：图像大致分布如何？略
(3)常用地，当时， ，特殊性质略.
【探究】：①函数的图像变化趋势怎样？
②的有关性质.
2.分式函数
化简后，
① 定义域：；值域为的一切实数；
② 奇偶性：不作讨论；
③ 单调性：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减.
④ 对称中心是点；
⑤ 两渐近线：直线和直线；
【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中的系数确定.
⑥ 平移变换：可由反比例函数图像经过平移得到；
⑦ 反函数：；
【说明】：分式函数与反比例函数，离心率均为，同源于双曲线.
D2.几个重要图像（能根据具体问题，从这些基本图像出发，快速绘制出目标图像）
1.（） 2.（）
3.（） 4.（）
5. 6.
D3.函数的零点处理：
（1）的零点（不是点而是数）的根
与轴的交点的横坐标
的交点问题.
（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.
（3）零点存在定理：单调且端点值异号使.
【说明】：
1.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.
特别地，方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且.
2.在上连续，且，则在上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.，在上可能无零点也可能有无数个零点.
3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对.
D4. 重要不等式
说明：这是按照我的掌握的知识板块整理的，严密的知识结构、层次！其实真正能用到的只是一小部分。可是知识的网络性和完整性，对解题知识准确提取非常有帮助！
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．
【变形】：①（当a = b时，）
【注意】： ，
②(当且仅当时取“=”号)．
2、均值不等式：
两个正数
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、方均根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”
【拓展】：①幂平均不等式：
②若 a1、a2…an为正数，则有
（a1=a2=…=an时取等）
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①
推证：
②
变式：
4、柯西不等式：
①（代数形式）设均为实数，则
，其中等号当且仅当时成立.
②（向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.
③（三角形式）设为任意实数，则：
【思考】：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
④（推广形式）设则
等号成立当且仅当时成立．（约定时，）
变式1：若ai∈R， bi∈R， i=1， 2， …， n，则
等号成立条件为ai=λbi，(i=1， 2， …， n)。
变式2：设ai， bi同号且不为0(i=1， 2， …， n)，则
等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.
5、绝对值不等式：
【拓展】：双向不等式：
（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）
6、放缩不等式：
①，则.
【说明】：（，糖水的浓度问题）.
【拓展】：.
②，，则；
③，；
④，.
⑤，.
7、若函数的是[a，b]上的凸函数，则对[a，b]内的任意数，都有
当且仅当时等号成立.一般称上式为琴生不等式.
*琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数，对于定义域中任意两点有或，则称f(x)为凸（或凹）函数.
8、排序不定式（不常用，略）
一般地，设有两组实数：，，，…，与，，，…，，且它们满足：≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，若，，，…，是，，，…，的任意一个排列，则和数在，，，…，与，，，…，同序时最大，反序时最小，即：
，等号当且仅当或时成立.
D5、三个“二次”问题（说来简单实际不易）
1二次函数的基本性质
（1）二次函数的表示法：
y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n
（2）当a>0，f（x）在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=（p+q）
若－0时，f（α）|β+|；
（3）当a>0时，二次不等式f（x）>0在［p，q］恒成立或
（4）f（x）>0恒成立
D6、恒成立问题的基本类型及处理思路
1、利用一次函数的性质
类型1：对于一次函数有：
（ⅰ），或（ⅱ）；亦可合并定成；
2、利用一元二次函数的判别式
类型2：设
（1）上恒成立；
（2）上恒成立.
类型3：设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
3、利用函数的最值（或值域）
类型4：
类型5：对于任意的恒成立，或在上的图像始终在的上方.
通常移项，使即可；若的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在上的图像始终在的上方即可.
D7. 数论中的一些浅显结论（有待于进一步拓展，略）
【培优提高】：
Top1.含绝对值不等式（知识间的联系，要能了解“可以由一点引发相关”）
(1)复数集内的三角形不等式：
其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.
(2)向量不等式：
【注意】：同向或有；
反向或有；
不共线.(这些和实数集中类似)
(3)代数不等式：
同号或有；
异号或有
Top2.比例的性质
①比例基本性质：；
②反比定理：； ③更比定理：；
④合比定理；；⑤分比定理：；
⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；
⑧等比定理：若，，则.
Top3. 三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点)：
①为的重心
②为的垂心
；
③为的内心
④为的外心
；
⑤为中的旁心；
Top4. 原函数与反函数（不考，不做要求）
原函数，对应的反函数为
（1） 原函数与反函数互为反函数，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.
【理解】：
①设的定义域为，值域为，那么，对应的反函数定义域为，值域为.
②一般地，如果函数有反函数，且，那么．这就是说点（）在函数图像上，那么点（）在函数的图像上．
③与互为反函数.即，函数的反函数是，函数的反函数是.
④函数的图像与其反函数的图像相同.
（2）性质：
①原函数的图像与其反函数的图像关于直线对称.
②在定义域上，只有单调函数才有反函数，并且单调函数必有反函数.
【注意】：*1.对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的．且非连续的非单调函数也可能有反函数；
*2.周期函数不存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数也不存在反函数；
③互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；
设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y．如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同．
【注意】函数的图像与其反函数的图像的交点位置.
当它们是递增时，交点在直线上；当它们递减时，交点可以不在直线上，并且交点个数不定.
④如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数；
⑤设的定义域为，值域为，则有，；
【注意】：，如的反函数；
⑥若函数存在反函数，则其反函数为，并不是，而函数是的反函数；
Top5.理解几组概念（稍作了解，仅作前期知识储备）
*1. 广义判别式
设是关于实数的一个解析式， 都是与有关或无关的实数且，则是方程有实根的必要条件，称“”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法
一是从具体条件入手，运用有关性质，数据，进行计算推导，从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构，找出某些本质属性，进行恰当的核算，从而使问题容易解决，这一方法称为定性核算法.
*3. 二元函数
设有两个独立的变量与在其给定的变域中中，任取一组数值时，第三个变量就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量称为变量与的二元函数.记作：. 其中与称为自变量，函数也叫做因变量，自变量与的变域称为函数的定义域.
把自变量、及因变量当作空间点的直角坐标，先在平面内作出函数的定义域；再过域中得任一点作垂直于平面的有向线段，使其值为与对应的函数值；
当点在中变动时，对应的点的轨迹就是函数的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域就是此曲面在平面上的投影.
*4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.
*5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，且其左、右极限都存在，我们把称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
*6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果在区间内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点.
(1)求；
(2)令，解出此方程在区间内实根；
(3)对于(2)中解出的每一个实根，检查在左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.
*7.驻点
曲线在它的极值点处的切线都平行于轴，即.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.
*8. 凹凸性
定义在上的函数，如果满足：对任意的都有，则称是上的凸函数.定义在上的函数如果满足：对任意的都有，则称上的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）.
若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.
Top6. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理
如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那末在内至少有一点，使成立.这个定理的特殊情形，即：的情形.描述如下：
若在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么在内至少有一点，使成立.
*2. 零点定理
设函数在闭区间上连续，且．那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使．
*3. 介值定理
设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）．
*4. 夹逼定理
设当时，有，且，则必有
【注】：：表示以为的极限，则就无限趋近于零．（为最小整数）
*5.平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.即
Top7.常见曲线的参数方程的一般形式（只要能在特定情况下，想起能用就行！）
1、经过点，倾斜角为a的直线的参数方程为称为直线的标准参数方程.
经过点，以为方向向量的直线的参数方程为称为直线的一般参数方程.
此式中的.
利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便.方法是：把代入圆锥曲线即可消去；
而得到关于的一元二次方程.
则（1）当△<0时，l与C无交点；
（2）当△=0时，与有一公共点；
（3）当△>0时，与有两个公共点；此时方程有两个不同的实根，把参数代入的参数方程，即可求得与的两个交点
的坐标；另外，由参数的几何意义，可知弦长.
2、圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程
【友情提醒】：
Test1.常用的近似计算公式（当充分小时）
（1）；.
（2）；.
（3）；.
（4）（为弧度）；（为弧度）；（为弧度）.
Test2.巧借草图比较值的大小
Test3、记住几组常用数据：
； 1弧度；
;;
【知识疏漏】：
补充第一部分知识块状梳理，从小处拾遗，不必全部掌握！
1．；．
2．集合,则,；若为非空集合,则．
3．容斥原理：
．
容斥原理：对任意集合有．
．
4．从集合到集合的映射有个．
5．原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价；原命题、逆命题、否命题与逆否命题中,真命题个数是偶数个(即0、2、4)．
6．函数的的单调性：
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数．
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；
如果，则为减函数．
7．多项式函数的奇偶性：
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零．
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零．
8．三角函数变换:
①相位变换:的图像的图像；
②周期变换:的图像的图像；
③振幅变换:的图像的图像．
9．若将函数的图像右移、上移个单位，得到函数的图像；
若将曲线的图像右移、上移个单位，得到曲线的图像．
10．①点的平移公式 (图形F上的任意一点
在平移后的图形上的对应点为，且的坐标为)；
②函数按向量平移后的解析式为．
11．指数式与对数式的互化式
．
12．对数的换底公式
(,且,,且, )．
对数恒等式：(,且, )．
推论 (,且,,且,, )．
13．对数的四则运算法则:若则
同底公式：① ②
③ ④
⑤．
（运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形．）
不同底公式：① ②
③
14．设函数,记．
若的定义域为,则且；
若的值域为,则，且．
15．对数换底不等式及其推广：
若,,,,则函数
(1)当时,在和上为增函数．
(2)当时,在和上,为减函数．
推论:设，，，且，则
①；②．
16．函数的奇、偶性类型：
（1）奇函数：如
（2）偶函数：如
（3）非奇非偶函数：如
（4）既是奇函数又是偶函数：仅有一类：在定义域关于原点的对称区间上恒有．
17．复合函数
（1）定义：如果是的函数，而又是的函数，即，，那么关于的函数叫函数和的复合函数．为中间变量．
【提醒】：复合函数的内函数值域是外函数的定义域，要注意复合有意义；
（2）复合函数的奇偶性：
设、，只有在、同奇函数时，函数为奇函数；在、中，只要有1个是偶函数（包括两个都是偶函数）时，是偶函数．
【小结】：复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”
（3）复合函数的单调性：
①若在区间上是单调函数，在上（或在区间上也是单调函数），那么复合函数在上也是单调函数；
②当、同为单调增函数（或同为单调减函数）时，为增函数；
③当、中一个为单调增函数，而另一个为单调减函数时，为减函数．
【小结】复合函数的单调性特点：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”
具体地:如果函数在区间上定义,
若为增函数, 为增函数,则为增函数;
若为增函数, 为减函数,则为减函数;
若为减函数, 为减函数,则为增函数;
若为减函数, 为增函数,则为减函数;
（4）求导法则：
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作．
【点拨】：分清层次，逐层求导相积．
（5）复合函数定义域求法：
① 若的定义域为,则复合函数的定义域由不等式解出；
② 若的定义域为,求的定义域，相当于时，求的值域．
18．分段函数
概念:分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数．
单调性:若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:
在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
19．二次函数的解析式的三种形式：
①一般式;
② 顶点式 ;
③零点式．
20．二次函数的图像是抛物线：
（1）称轴方程是,顶点坐标为；
（2）焦点的坐标为；
（3）准线方程是．
21．二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号．
22．关于奇偶性．
20080515
①判断函数的奇偶性,要注意定义域是否关于原点对称．
②若奇函数在处有定义,则;对于偶函数的定义常可用到下面的形式：．
③任何一个定义域关于原点对称的函数,总可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和,其中．
23．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： ；
⑵指数函数：；
⑶对数函数:； ;
;
的符号由口诀“同正异负”记忆; ;
⑷正弦函数:；
⑸余弦函数：；
⑹正切函数：；
⑺一元二次函数：；
⑻其它常用函数：
①正比例函数：；
②反比例函数：；
③函数；
24．实系数一元二次方程的两根的分布问题：
根的情况
等价命题
在上有两根
在上有两根
在和上各有一根
充要条件
注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。
25．三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；
的递增区间是，递减区间是；
的递增区间是；
的递减区间是。
26. 由函数的图象经过变换得到函数
（1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
（3）函数y＝sin(x＋)，(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把前面的系数提取出来。
27．为等差数列
；
28．等比数列
29．配对原则
数列为,为
(1)；
(2),
30．派生数列（子数列）数列为,为
(1)若组成,则
成；成（特例成；成）．
(2)是；是（但未必是；是；是）．
(3)数列是；（）是（其中且）．
(4)数列,则数列是,公差为．
31．分段和对应数列
,,…
,
若数列为,若数列为,数列也成．
32．递推数列
(1)满足,
构造数列,,则数列成．
(2)满足,则数列是等差数列．
(3)数列前n项和为,若,则．
33．（1）等差数列的通项公式：；
【点拨】：可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件．
广义通项：．
前n项和公式为：
．
【点拨】：可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件．
公差：；
（2）等比数列的通项公式：；
广义通项：．
前n项的和公式：，
或．
公比：
34．等比差数列：的通项公式：
；
其前项和公式：．
35．（1）利率问题：
①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为(等差数列问题）；
②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清．
如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：
(等比数列问题) ,
分析：.
解得：每次还款元．
（2）产值平均增长率问题（负增长时）
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间时的总产值，有
．且过时间后总产值为：
36．等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
37．数列公共项问题
(1)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
(2)如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列．
【注意】：①公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究．但也有少数问题中研究，这时既要求项相同，也要求项数相同．
②三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法．
38．① “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；
② “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和；
③ “首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；
④“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
39．有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．
①若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；
②若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项．
③有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定．
④若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；
⑤若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．
40．、、成等比数列；
等比数列组成的新数列成等比数列．
两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列．
成等比数列．
41．等差数列前n项和最值的求法：
⑴最大值；
⑵利用二次函数的图象与性质．
42．三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；
三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(思考：为什么？)
43．①两数的等差中项惟一存在
②(，)
【点拨】：i．，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列．
ii．（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要．
iii．→为a、b、c等比数列的必要不充分．
iv．且→为a、b、c等比数列的充要．
【注意】：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个．
③在遇到三数或四数成等差数列时，常考优先虑选用“中项关系”转化求解．
44. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列．（不是非零，即不可能有等比数列）
45．对称中心、对称轴:函数．
(1)对称轴方程:由,解出．
(2)对称中心,其中,即．
46．奇偶性:函数．
(1)为奇函数．
(2)为偶函数．
47．三角函数的周期公式
①函数，，(为常数，且)的周期；
②函数，(为常数，且)的周期
．
48．①弧长公式：；
②扇形面积公式：；
③圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：;
④经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为，轴截面顶角是）：
⑤圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：．
49．函数的最值:
(辅助角所在象限由点的象限决定,),
．
50．记忆：，
，．
弧度，弧度，弧度（角度制与弧度制的互化）
x
B S
O M
P
T
y
A
51．三角函数线的特征：
正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)”．
重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除以横坐标之商’”．
记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系．为锐角．
52．单位圆的数学特征：
53．同角三角函数的基本关系式的记忆法则:
（1）对角线上对应的函数互为倒数；
（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积；
（3）阴影三角形中,上面二个顶点对应的函数的平方和等于下面一个顶点的平方．
同角三角函数的基本关系式：
54．夹角公式
(1)．(，,)
(2)．(,,)．
直线时，直线l1与l2的夹角是．
55．到的角公式
(1)．(，,)
(2)．(,,)．
线时，直线l1到l2的角是．
56．两条直线的平行、垂直和重合
（1）若，,则：
① ∥,；
②；
③、重合．
（2）若,,则：
① 且，即；
②；
③．
57．直线系
直线方程
平行直线系
垂直直线系
相交直线系
58．直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；
直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；
直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点．
59．过圆上一点的切线方程为:；
若在圆外,则直线是切点弦所在直线方程．
60．切线长公式:过圆外一点引切线,切线长
．
61．直线方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距)．
（3）截距式 (其中、分别为直线在轴、轴上的截距，且)．
（4）两点式 ()(、())．
（5）一般式 (其中A、B不同时为0)．
【思考】：直线方程公式的“适用范围局限性”
62．三角形的重心坐标公式:若点，点分有向线段成定比，则：
；．
若，则的重心坐标是．
63．⑴点到直线的距离： (点,直线：)．
⑵两条平行线的距离：（与）
64．圆的四个方程：
（1）圆的方程：最简方程；
（2）标准方程；
（3）一般式方程；
圆心坐标和半径分别是．
（4）参数方程为参数)；
（5）圆的直径式方程 ．
(圆的直径的端点是、)
65．斜率公式：，其中、．
直线的方向向量，则直线的斜率为=．
66．四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：
(1)定点直线系方程：
经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：
经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：
直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：
与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
(5)直线系与线段相交．
(6)到定点距离为的直线系方程：
（其中是待定的系数）．
67．“四线”一方程：
对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到．
68．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
69．棱柱
（1）已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则①；②（其中是一个侧面面积,是该侧面与说对棱距离）．
（2）斜三棱柱的体积其中S表示一个侧面的面积，表示侧棱到相对的侧面的距离．
该公式对于解决以知侧棱到相对侧面距离和该侧面面积求棱柱体积的问题非常有效．
（3）直棱柱剪截体体积巧用．
70．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行．
71．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；
相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；
相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
72．从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
73．长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有．
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）．
74．若所在平面与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则．
特别地,当时,有．
75．若所在平面与过的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则．
特别地,当时,有．
76．复数模的等式与不等式:
(1)；
(2)
77．复数的几何意义及应用:复平面上:
(1)表示圆心为半径为的圆；
(2)表示圆心为半径为的圆面；
(3),表示以为焦点的椭圆．
78．长度相等且方向相同的两个向量是相等的量．
【注意】：①若为单位向量，则．（）
单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向．
②若，则∥．（√）
79．①=
②
③
④设
（向量的模，针对向量坐标求模）
⑤平面向量的数量积：
⑥
⑦
⑧
【注意】：
①不一定成立；．
②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小．
③长度为0的向量叫零向量，记，与任意向量平行，的方向是任意的，零向量与零向量相等，且．
④若有一个三角形ABC，则；此结论可推广到边形．
⑤若（），则有．（×） 当等于时，，而
不一定相等．
⑥·=，（针对向量非坐标求模），≤．
⑦当时，由不能推出，这是因为任一与垂直的非零向量，都有·=0．
⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立．
80．解连不等式常有以下转化形式：
．
81．①如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;
②如果函数和在其各自的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数．
82．一元二次不等式(或)．
如果与同号，则其解集在两根之外；
如果与异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
；
．
83．有理不等式解集的端点，恰好就是其对应的“零点”（就是对应方程的解和使分母为零的值）．
84．①线线（异面）、线面、面面角的取值范围依次是，，；
②直线的倾斜角、到的角、与的夹角，，．或
③向量的夹角；
④反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是．
【术语】：坡度、仰角、俯角、方位角等．
85．正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；
86．向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：
一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；
对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；
向量的“乘法”不满足结合律，即，切记两向量不能相除(相约)．
87．解分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；
88．圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：
，
，
，
．
89．曲线与的交点坐标方程组的解；
90．过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程．
91.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.
（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是
.
特别地，曲线关于原点成中心对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是.
92．三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？
⑴ 内角和定理：三角形三内角和为；,,
⑵ 正弦定理：（R为三角形外接圆的半径）,
【注意】：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
⑶ 余弦定理：，等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型。
⑷ 面积公式：
93．要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等)，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点．
【点拨】：
①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化．
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等．
94．应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁，注意题目中是“处”还是
“过”．
对“二次抛物线”过抛物线上一点的切线抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点．
95．复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：
①当时，若，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若，它在实数集内没有实数根。在复数集内有且仅有两个共轭复数根.
②当不全为实数时，不能用方程根的情况.
③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
96．不等式的恒成立,能成立,恰成立问题：
不等式恒成立问题的常规处理方式：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法．
(1)．恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
(2)．能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的．
(3)．恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式
97．无理不等式
（1）．
（2）．
（3）．
98．指数不等式与对数不等式
(1)当时,;
．
(2)当时,;
99．不定方程的解的个数
(1)方程（）的正整数解有个．
(2) 方程（）的非负整数解有 个．
(3) 方程（）满足条件(,)的非负整数解有个．
(4) 方程（）满足条件(,)的正整数解有个．
100．三角形内切圆的半径：，特别地，．
三角形外接圆的半径：，特别地，．
101．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= ．
102．三角形的内角平分线性质：在中，的平分线交边于，则．
（三角形的外角平分线也有同样的性质）
103．正弦、余弦的诱导公式：
104．平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．
105．利用斜二测画法画出直观图与实际图形面积比成关系
106．棣莫佛定理是：
若非零复数，则z的n次方根有n个，即：
107．欧拉定理(欧拉公式):(简单多面体的顶点数、棱数和面数)
（1）=各面多边形边数和的一半．特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数与棱数的关系：
；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数与棱数的关系：．
108．复合二次根式的化简
当是一个完全平方数时，对形如的根式使用上述公式化简比较方便．
109．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
110．简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
111．最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
如果……
你认为自己会被击倒
你就会被击倒
如果你认为自己没用勇气
你就不会有勇气
如果你想赢
可是你认为自己不会赢
那么，
你几乎不可能会赢了！
如果你认为自己与众不同，你就是了！
人生的收获并不总是青睐那些
比较强壮或比较快的人
可迟早赢得胜利的
将是那个认为自己能够的人……
如果……
