备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题20 三角恒等变换与求值

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题20 三角恒等变换与求值

专题20 三角恒等变换与求值 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 高考对于三角恒等变换的考查，主要以公式的基本运用、计算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查,主要是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. ‎ ‎1、与三角函数计算相关的公式：‎ ‎（1）同角三角函数的基本关系式 ‎①平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．‎ ‎②商数关系：tan α＝.‎ ‎（2）六组诱导公式 ‎　角 函数　‎ ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin_α ‎－sin_α ‎－sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α ‎－cos_α cos_α ‎－cos_α sin_α ‎－sin_α 正切 tan_α tan_α ‎－tan_α ‎－tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”‎ ‎（3）两角和差的正余弦，正切公式：‎ ‎① ② ‎ ‎③ ④ ‎ 15‎ ‎⑤ ⑥ ‎ ‎（4）倍半角公式：‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ ‎（3）辅助角公式：，其中 ‎2、求未知角的三角函数值问题的解法步骤：‎ ‎（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 ‎（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 ‎（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 ‎（4）将结果整体代入到运算式即可 ‎3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次：‎ ‎（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则）‎ ‎（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.‎ ‎（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）‎ ‎（4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：，可判断出在第一象限 ‎【经典例题】‎ 例1．【2017课标3，文4】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 .‎ 所以选A.‎ 15‎ ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.例2.【2019届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】若，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵tan（α+）= =﹣3，‎ ‎∴tanα=2，‎ ‎∴cos2α+2sin2α= =1．‎ 故选：B．‎ 例3.【2019届湖南省株洲市高三统一检测（二）】设向量，若,则( )‎ A. B. C. -1 D. -3‎ ‎【答案】D ‎ 点睛：、两角和的正切公式是解题的关键．‎ 例4.【2019届云南省曲靖市第一中学高三4月高考监测（七）】已知，若，且是锐角，则的值等于（ ）‎ 15‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据求导公式、法则，‎ 得，由，‎ 得，结合，解得，故正确答案为D.‎ 例5.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 .‎ 例6．【2017江苏，5】 若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】．故答案为．‎ 例7．【2019届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知， .‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ 15‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可。（2）根据两角和差公式得到，再由二倍角公式得到， ，代入公式即可。‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般， ，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.‎ 例8．【2019届湖北省咸宁市高三11月联考】已知.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若， ，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 15‎ 所以， 所以， 解得.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ ‎∴ .‎ 例9．【2019届全国名校大联考高三第二次联考】已知向量， ，其中，且.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，且，求角.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解；‎ ‎（2）由利用两角差的正弦展开即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 即.‎ 15‎ 代入，得，且，‎ 又，∴.‎ ‎∴ .‎ 因，得.‎ 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ 例10.在中， ， ．　‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设（， ），求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 15‎ ‎(1)由题意求得 的值，然后结合特殊角的三角函数值求得 的值即可；》‎ ‎(2)利用题意将三角函数式化简问只含有一个角的三角函数式，然后利用三角函数的性质即可求得取值范围.‎ 又（， ），则， ，‎ ‎∴，即的范围是．　‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届河南省南阳市第一中学高三第十四次考试】已知，则（ ）‎ A. 2 B. C. -2 D. -‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先将条件化简，然后把所求式子再化简，可得结果．‎ 详解：由题意得，‎ ‎∴．‎ 故选D． ‎ 点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用．‎ ‎2．【2019届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断】若，则的值为（ ）‎ 15‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据二倍角公式，两角差的余弦公式，得，即，两边平方得，所以.故选D.‎ ‎3．【2019届广东省佛山市普通高中高三检测（二）】若，则__________．‎ ‎【答案】或 所以或.‎ ‎4．【2019届重庆市江津中学校高三4月月考】已知向量，且，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ 即 ； ‎ 15‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，其中解题的关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．‎ ‎5．【2019年【衡水金卷】】已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】=,故=，因为 ‎，故=，故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎6．【2019年4月浙江省金华十校高考模拟】在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________，__________．‎ ‎【答案】 0‎ ‎【解析】∵角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边过点，‎ ‎ ‎ ‎7．【2019届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中联考】已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ 15‎ ‎8．【2019届北京西城161高三上期中】已知为锐角，且．‎ ‎（I）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式及条件得到关于的方程，解方程即可；（2）化简得，由可得，结合可求得。‎ 试题解析：（Ⅰ）∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ 15‎ ‎∴，‎ 又为锐角，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎9．【2019届河南省南阳一中高三上学期第三次考试】已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）-3（2）1‎ ‎（2）原式 ‎10．【2019届重庆市铜梁县第一中学高三上学期第一次月考】已知， .‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ 15‎ ‎【解析】解答：‎ 试题分析：(1) 由 ，得到2sinxcosx= ，进而得到(sinx−cosx)2=1−2sinxcosx= ，所以sinx−cosx=；(2)由(1)得：sinx=,cosx=,tanx=，‎ 利用商数关系化弦为切，带入即可.‎ 所以sinx−cosx<0,(sinx−cosx)2=1−2sinxcosx=，‎ 所以sinx−cosx=‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,sinx+cosx=，sinx−cosx=,解得sinx=,cosx=,tanx=‎ ‎4sinxcosx−cos2x= ==‎ 点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．‎ ‎2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．‎ ‎3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.‎ ‎11．已知， ， ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 15‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）因为，所以，所以， ，‎ 因为， ，所以， ，‎ 所以 ．‎ 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.‎ ‎12．在中，角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或.‎ ‎【解析】【试题分析】（１）先用二倍角的余弦公式对等式的右边进行化简，再用两角和的正弦公式分析求 15‎ 15‎