（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.任意角的概念、弧度制 了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.‎ 无 ‎1.三角函数的定义； ‎ ‎2.扇形的面积、弧长及圆心角；‎ ‎3.在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 理解三角函数的定义；‎ ‎(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.‎ ‎2.三角函数的定义 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.‎ ‎2018年浙江卷18‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．象限角及终边相同的角 ‎1．任意角、角的分类：‎ ‎①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．‎ ‎②按终边位置不同分为象限角和轴线角．‎ ‎(2)终边相同的角：‎ 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．‎ ‎2.弧度制：‎ ‎①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．‎ ‎②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．‎ ‎③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．‎ ‎3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．‎ ‎2．三角函数的定义 ‎1.任意角的三角函数定义： ‎ 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ 9‎ ‎，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．‎ 2． 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 ‎3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.‎ 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 ‎3. 扇形的弧长及面积公式 弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 象限角及终边相同的角 ‎【1-1】已知角α＝45°，‎ ‎(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；‎ ‎(2)设集合，判断两集合的关系．‎ ‎【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).‎ ‎【1-2】终边在直线y＝x上的角的集合为________．‎ 9‎ ‎【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z}‎ ‎【解析】终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．‎ ‎【1-3】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．‎ ‎【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.‎ ‎【解析】∵角是第二象限角，∴ ，‎ ‎（1），‎ ‎∴ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．‎ ‎（2），当时，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴的终边在第一象限．‎ 当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴的终边在第三象限．‎ 综上所述，的终边在第一象限或第三象限．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k·360°(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.‎ ‎2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角 ‎3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【浙江省杭州第二中学三角函数】若是第三象限的角, 则是 （ ）‎ A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 9‎ ‎【答案】B ‎【变式二】【浙江省东阳中学3月月考】已知且，则角的终边所在的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.‎ 考点2 三角函数的定义 ‎【2-1】【浙江省台州中学期中】已知角的终边过点,且，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用角的终边过点，结合，判断所在象限，利用三角函数的定义，求出的值即可.‎ 详解：由题意可知，，‎ ‎，是第三象限角，‎ 可得，‎ 即，解得，故选B. ‎ ‎【2-2】【浙江省嘉兴市第一中学期中】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据三角函数的定义求解即可．‎ 详解：由三角函数的定义可得．‎ 故选B．‎ 9‎ ‎【2-3】【福建省福州市期末】如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可.‎ 详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：.‎ 故答案为：A.‎ ‎【2-4】已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．‎ ‎2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知角α的终边经过点(‎3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－2,3] B．(－2,3)‎ C．[－2,3) D．[－2,3]‎ ‎【答案】A ‎【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．‎ ‎∴∴－2

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