2011年江苏高考数学试题及答案

2011年江苏高考数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： （1）样本数据 1 2, , , nx x x… 的方差  22 1 1 n i i s x x n    ，其中 1 1 n i i x x n    ． （2）直棱柱的侧面积 S ch ，其中 c为底面周长， h为高． （3）棱柱的体积V Sh ，其中 S为底面积， h为高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．． 置上．．． 1．已知集合 { 1,1,2,4}A   ， { 1,0,2}B   ，则 A B  ▲ ． 2．函数 )12(log)( 5  xxf 的单调增区间是 ▲ ． 3．设复数 z满足 izi 23)1(  （ i为虚数单位），则 z的实部是 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，当输入 ba, 分别为 2，3时，最后输出的m的值 为 ▲ ． 5．从 1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ ． 6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 2s  ▲ ． 7．已知 tan( ) 2 4 x    ，则 x x 2tan tan 的值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系 xOy中，过坐标原点的一条直线与 函数 x xf 2)(  的图象交于P、Q两点，则线段 PQ长 的最小值是 ▲ ． 9．函数 ( ) sin( )f x A x   （ A，， 是常数， 0A  ， 0  ）的部分图象如图所示，则 (0)f 的值是 ▲ ． 10．已知 1e  ， 2e  是夹角为  3 2 的两个单位向量， 1 22a e e     ， 1 2b ke e     ，若 0a b    ， Read a，b If a>b Then m←a Else m←b End If Print m x y O 3  7 12  2 则实数 k的值为 ▲ ． 11．已知实数 0a ，函数       1,2 1,2 )( xax xax xf ，若 )1()1( afaf  ，则 a的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 P是函数 )0()(  xexf x 的图象上的动点，该 图象在 P处的切线 l交 y轴于点M ，过点 P作 l的垂线交 y轴于点N ，设线段MN 的 中点的纵坐标为 t，则 t的最大值是 ▲ ． 13．设 1 2 71 a a a   … ，其中 7531 ,,, aaaa 成公比为 q的等比数列， 642 ,, aaa 成公差 为 1的等差数列，则 q的最小值是 ▲ ． 14．设集合 ( , ) |A x y 2 2 2( 2) 2 m x y m    ， ,x y R ， ( , ) |B x y 2m x y   2 1m  ， ,x y R ，若 A B   ， 则实数m的取值范 围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14分） 在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 cba ,, ． （1）若 sin( ) 2cos 6 A A   ，求 A的值； （2）若 1cos 3 A  ， 3b c ，求 Csin 的值． 16．（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中，平面 PAD 平面 ABCD， AB AD ， 60BAD   ， ,E F分别是 ,AP AD的中点． 求证：（1）直线 / /EF 平面 PCD； （2）平面 BEF 平面 PAD． P E F A B C D 17．（本小题满分 14分） 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D四个点重 合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在 AB上，是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x（cm）． （1）某广告商要求包装盒的侧面积 S（cm2）最大，试问 x应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积 V（cm3）最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值． A 60 E F Bx x CD P 18．（本小题满分 16分） 如图，在平面直角坐标系 xOy中， ,M N 分别是椭圆 1 24 22  yx 的顶点，过坐标原 点的直线交椭圆于 ,P A两点，其中点 P在第一象限，过P作 x轴的垂线，垂足为C， 连接 AC，并延长交椭圆于点 B．设直线 PA的斜率为 k． （1）当直线 PA平分线段MN ，求 k的值； （2）当 2k  时，求点 P到直线 AB的距离 d； （3）对任意 0k  ，求证： PA PB ． 19．（本小题满分 16分） 已知 ,a b是实数，函数 3( )f x x ax  ， 2( )g x x bx  ， )(xf  和 )(xg  是 ( )f x 和 ( )g x 的导函数．若 0)()(  xgxf 在区间 I 上恒成立，则称 )(xf 和 )(xg 在区间 I 上 单调性一致． （1）设 0a ，若 )(xf 和 )(xg 在区间 ),1[  上单调性一致，求实数b的取值范围； （2）设 0a  且 ba  ，若 )(xf 和 )(xg 在以 ,a b为端点的开区间上单调性一致，求 | |a b 的最大值． 20．（本小题满分 16分） 设M 为部分正整数组成的集合，数列 }{ na 的首项 11 a ，前 n项的和为 nS ，已知对 任意整数 k M ，当 n k 时， )(2 knknkn SSSS   都成立． （1）设 {1}M  ， 22 a ，求 5a 的值； （2）设 {3,4}M  ，求数列 }{ na 的通项公式． x y B P CO A M N 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅱ（附加题） 21．[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10分） 如图，圆 1O 与圆 2O 内切于点 A，其半径分别为 1r 与 2r （ 1 2r r ）．圆 1O 的弦 AB交圆 2O 于点C（ 1O 不在 AB上）． 求证： :AB AC为定值． B．选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10分） 已知矩阵 1 1 2 1        A ，向量 1 2         ．求向量 ，使得 2 A ． C．选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10分） 在平面直角坐标系 xOy中，求过椭圆 5cos 3sin x y      （ 为参数）的右焦点，且与直线 4 2 3 x t y t      （ t为参数）平行的直线的普通方程． D．选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10分） 解不等式： | 2 1| 3x x   ． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10分） 如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABCD 中， 1 2AA  ， 1AB  ，点 N 是 BC的中点，点M 在 1CC 上． 设二面角 1A DN M  的大小为 ． （1）当 90   时，求 AM 的长； （2）当 6cos 6   时，求CM 的长． 23．（本小题满分 10分） 设整数 4n  ， ( , )P a b 是平面直角坐标系 xOy中的点，其中 ,a b  1,2,3, , n… ， a b ． （1）记 nA 为满足 3a b  的点 P的个数，求 nA ； （2）记 nB 为满足 1 ( ) 3 a b 是整数的点 P的个数，求 nB ． A B CD 1A 1B 1C1D N M