备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题10 求函数的单调区间

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题10 求函数的单调区间

专题10 求函数的单调区间 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.‎ ‎1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.‎ 在上为增函数．‎ 在上为减函数．‎ ‎2、导数与单调区间的联系 ‎（1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.‎ 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内.‎ ‎（2）函数在可导，则在上单调递减 ‎（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础）‎ ‎3、利用导数求函数单调区间的步骤 ‎（1）确定函数的定义域 ‎（2）求出的导函数 ‎（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间 16‎ ‎（4）列出表格 ‎4、求单调区间的一些技巧 ‎（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 ‎（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 ‎（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）‎ ‎（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数 ‎（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定.‎ ‎5、求单调区间的一些注意事项 ‎（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）.‎ ‎（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.函数的单调增区间为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题函数的定义域为 ，又，可解得 ‎ 例2. 【2017课标1】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ 16‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分，，分别讨论函数的单调性．‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增． ‎ 例3【2019届内蒙古包头市高三第一次模拟】已知函数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，求得函数及，求解和，进而得到函数的单调区间.‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，，.‎ 当时，；当时，.‎ 故在上单调递减，在上单调递增.‎ 例4【2019届四川省高三春季诊断】已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ 16‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增.‎ ‎【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意 ，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可.‎ 解析：（1） ，‎ 当时，，∴在上单调递增.‎ 当时，，故当或时，在上单调递增.‎ 例5【2019届四川省高三春季诊断】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1） ，分 ，和 时讨论 的单调区间.‎ 试题解析：（1） ‎ 当 时， ，∴ 在 上单调递减.‎ 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ‎ ‎∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，‎ 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ‎ ‎∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 16‎ 例6【2019届江西省高三六校联考】已知函数 ‎（1）令，试讨论的单调性；‎ ‎【答案】(1) 当时， 单调递减，无增区间；当时，， (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，对函数求导，研究导函数的正负得到单调性即可；（2）由条件可知对恒成立，变量分离，令，求这个函数的最值即可.‎ 解析：‎ 综上：当时， 单调递减，无增区间；‎ 当时，， ‎ ‎【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ 例7【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】已知函数．‎ 16‎ ‎（1）当=0时，求实数的m值及曲线在点（1， ）处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（1）m=﹣1,y=﹣1（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；‎ 求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围，分别求得单调区间.‎ 当m＜0时，由，得，或，‎ 当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；‎ 当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间．‎ 当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）‎ 综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；‎ 当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；‎ 当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间；‎ 当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）．‎ 16‎ 例8【2016北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以.‎ 依题设，即 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ 例9【2019届北京市西城区156中学高三上期中】已知函数．‎ ‎（）当时，求函数的极值点．‎ ‎（）求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 16‎ ‎（1）当时，，求导数后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后可得极值点．（2）由题意得，然后根据的符号进行分类讨论，结合导函数的符号得到单调区间．‎ 试题解析：‎ ‎∴的极大值点为，极小值点为．‎ ‎（）由题意得，‎ 令，则，．‎ ‎①当时，，在上的单调递增区间是．‎ ‎②当时，‎ 令，则或，‎ 令，则，‎ ‎∴的单调增区间是和，单调减区间是．‎ ‎③当时，‎ 令，则或，‎ 16‎ ‎【名师点睛】（1）求函数单调区间的步骤：‎ ‎①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数；③解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎（2）求函数单调区间的注意事项：涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．‎ 例10．已知函数.‎ ‎(1)若函数过点，求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎(2)判断函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【解析】试题分析：（1）代入点，求得，求出的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（2）求出的导数，对讨论，当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间.‎ 试题解析：（1）函数过点，则有，即，，‎ 16‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，导数与函数单调性的关系以及分类讨论的思想，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减，在该题中，含有参数的函数，主要是根据导函数的零点与定义域的关系进行分类讨论.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1【2019届高考二轮训练】已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A. 和(1，＋∞) B. (0,1)和(2，＋∞)‎ C. 和(2，＋∞) D. (1,2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数解析式，易求得函数的定义域是，则，令，解得，所以函数的单调增区间是和，故选C.‎ ‎2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)‎ A. (－∞，－1]和[0,1] B. [－1,0]和[1，＋∞)‎ C. [－1,1] D. (－∞，－1]和[1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 由 可得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为和，故选A.‎ 16‎ ‎3．【2019届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】已知函数，则其单调增区间是（ ）‎ A. （0，1] B. [0，1] C. （0，+∞） D. （1，+∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，定义域为 令 解得 故函数单调增区间是 故选.‎ ‎5．【2019届高考二轮训练】已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是 (　　)‎ A. B. C. ，(0，＋∞) D. ∪(0，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎6.【2019届北京市京源学校高三十月月考】已知函数,其导函数为的部分值如下表所示:‎ 根据表中数据,回答下列问题:‎ ‎（Ⅰ）实数的值为 ; 取得极大值点是 ;‎ ‎（Ⅱ）求实数的值;‎ 16‎ ‎（Ⅲ）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;；（Ⅱ） ；（Ⅲ）单调增区间为，单调减区间为和(.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由极值的定义，通过表格可求解；（Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可；（Ⅲ）利用导数求出的单调区间.‎ 试题解析：（Ⅰ） ;‎ ‎7.已知函数f(x)=x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数f(x)的递增区间．‎ ‎【答案】(－∞，－5)和(5，＋∞)‎ ‎【解析】试题分析：求出函数的导数，利用函数的单调减区间是 ，可得是方程 的根，从而求出的值，然后令求得的范围，可得函数增区间.‎ 试题解析：f′(x)＝3x2＋a.∵(－5，5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5，5是方程3x2＋a＝0的根，‎ ‎∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75， 令f′(x)>0，则3x2－75>0，解得x>5或x<－5，‎ ‎∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．‎ ‎8．【2019届浙江省嘉兴市高三上学期期末】已知函数， （为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）若是的极值点，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调递增区间．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 16‎ ‎②当时， ， 的单调递增区间是；‎ ‎③当时， ， 的单调递增区间是.‎ ‎9．【2019届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】已知函数， 为自然对数的底数.‎ ‎（1）若函数在处的切线方程为，求实数的值；‎ ‎（2）讨论的单调性.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出，根据导数的几何意义以及函数在处的切线方程为，列方程可求实数的值；（2）分四种情况： ，分别令求得 的范围，可得函数增区间，令求得 的范围，可得函数的减区间.‎ 试题解析：（1）∵， ‎ ‎∴，‎ ‎（2）），‎ ‎①当时， ，‎ ‎， ，函数递减；‎ 时， ，函数递增；‎ ‎②当时， ， ，‎ 16‎ ‎， ， ，函数递增；‎ ‎， ， ，函数递减；‎ ‎10．已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）和.‎ ‎【解析】试题分析: (1)第(1)问, 先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程 . (2)第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间.‎ 试题解析:‎ ‎， ， ，所以切点为（0，-2），‎ ‎∴切线方程为，一般方程为；‎ ‎（2），‎ 令，解得或，‎ ‎∴的单调递减区间为和.‎ ‎11．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．‎ 16‎ ‎(Ⅰ)求a，b的值；‎ ‎(Ⅱ)讨论f(x)的单调性．‎ ‎【答案】(1)a＝4，b＝4;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性．‎ ‎ ‎ 当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0． ‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．‎ ‎【名师点睛】确定单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 ‎12.设函数，．‎ ‎（）当时，求曲线在点处的切线方程．‎ ‎（）求函数单调区间和极值点．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为 16‎ ‎．‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合函数的单调性，可得函数的极值点.‎ 试题解析：（）当时，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（）由得，‎ 当时，，在上是单调递增，无极值，‎ ‎，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ 16‎