高考文理科数学平面向量练习题

高考文理科数学平面向量练习题

高二下学期数学文科复习专题一 平面向量 题型一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向 量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个 向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 有且只有一 对实数 λ1、λ2，使 =λ1 +λ2 . 注意：若 和 是同一平面内的两个不共线向量， 【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考 查的难度属中档类型。 例 1 直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量．在直角三角 形 中，若 ，则 的可能值个数是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 解：如图，将 A 放在坐标原点，则 B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以 C 点在直线 x=3 上，由图知，只可能 A、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可 能值个数是 2，选 B 点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面 向量中的数形结合思想。 变式：如图，平面内有三个向量 、 、 ,其中与 与 的夹角为 120°， 与 的夹角为 30°,且| |＝| |＝1， | | ＝ ，若 ＝λ +μ （λ，μ∈R）, 则λ+μ的值为 . 解：过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角 BOC=90° 角 AOC=30°， = 得平行四边形的边长为 2 和 4， 2+4=6 点评：本题考查平面向量的基本定理，向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出 来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。 变式 2.已知向量 和 的夹角为 ， ，则 　　　　． 1e 2e a a 1e 2e 1e 2e xOy i j ， x y， ABC jkiACjiAB  +=+= 3,2 k OA OB OC OA OB OA OC OA OB OC 32 OC OA OB OA OC OC 32 =+ µλ a b 0120 | | 1,| | 3a b= =  | 5 |a b− =  解： = ， 7 点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算 不要出现错误即可。 题型二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法 则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个 向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并 理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示 两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹 角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 例 2 设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（　 ） A.(－15,12)　　　B.0 C.－3 D.－11 解：(a+2b) ，(a+2b)·c ，选 C 　　点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果 也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。 变式 1。已知平面向量 ，且 ∥ ，则 =（　 ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由 ∥ ，得 m＝－4，所以， ＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。 点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的 倍，也是共线向量，注意运算 的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。 变式 2.已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 解：由于 ∴ ，即 ，选Ａ 点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为 这是一道基础题，要争取满分。 ( )22 2 2 5 5 25 10a b a b a a b b− = − = − • +        2 2125 1 10 1 3 3 492  × − × × × − + =   5a b− =  (1, 2) 2( 3,4) ( 5,6)− + − = − ( 5,6) (3,2) 3= − ⋅ = − ),2(),2,1( mba −== a b ba 32 + a b ba 32 + λ a b a bλ +  a λ ( ) ( )4, 3 2 , 1, 3 ,a b a a b aλ + = λ + − λ − = − λ + ⊥      ( ) ( )4 3 3 2 0λ + − − λ − = 10 10 0 1λ + = ∴λ = − O P Q B a b 题型三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所 成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向 量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中 档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 例 3.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 则 与 ( 　 ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分点的向量式得: 同理，有： 以上三式相加得 所以选 A. 点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点. 变式 1：已知两点 ， ， ，则 P 点坐标是 （ ） A． B． C． D． 正确答案：选 B 变式 2：如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点， 若 ＝a， ＝b，则 ＝　　 　， ＝　 　 (用 a、b 表示) 课后练习: 1、若 ， , 则 （ B ） A．（－2，－2）　 B．（－2，2） C．（4，12） D．（－4,－12） 2、已知平面向量 → a ＝(1，1)， → b ＝(1，－1)，则向量 1 2 → a － 3 2 → b ＝ ( D ) A、(－2，－1) B、(－2，1) C、(－1，0) D、(－1，2) 3、已知平面向量 =（1，－3）， =（4，－2）， 与 垂直，则 是（ A 　 ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 4、若平面向量 与向量 =（1，－2）的夹角是 180°，且| |= ，则 =（B ） A．（－1，2） B．（－3，6） 2 ,DC BD=  2 ,CE EA=  2 ,AF FB=  AD BE CF+ +   BC 2 1 2 ,1 2 3 3 AC ABAD AC AB += = ++     1 2 ,3 3B E B C B A= +   1 2 ,3 3C F C A C B= +   1 ,3A D B E C F B C+ + = −    ( )3,2M ( )5, 5N − − 1 2MP MN=  ( )8,1− 31, 2  − −   31, 2      ( )8, 1− OA OB OP 2 1 3 3 +a b OQ 1 2 3 3 +a b (3,5)AB = (1,7)AC = BC = a b a bλ +  a λ b a b 3 5 b C．（3，－6） D．（－3，6）或（3，－6） 5、在 是（B ） A．锐角三角形 B． 直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6、直角坐标平面内三点 ，若 为线段 的三等分点， 则 · ＝（　C　） （A）20　　（B）21　　（C）22　　（D）23 7.在四边形 ABCD 中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中 a、b 不共线，则四 边形 ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 【解析】 ∵ = =－8a－2b=2 ，∴ . ∴四边形 ABCD 为梯形. 正确答案：选 C 8.已知 那么 与 夹角为 A、 B、 C、 D、 正确答案：选 C 9.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，且 = ， = ， = , 则下列各式： ① = － ② = + ③ =－ + ④ + + = 其中正确的等式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案：选 B 10.已知向量 a＝（3，－4），b＝（2，x）， c＝（2，y）且 a∥b，a c．求|b－c|的值． 解：∵ a∥b，∴ 3x＋8＝0． ∴x＝ ． ∴ b＝（2， ） ． ∵ a c， ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝ ． ∴ c＝（2， ）． 而 b－c ＝（2， ）－（2， ）＝（0，－ ）， ∴ |b－c|＝ ． 11.设向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围. 解：∵ ，故 ， 解之 ． ABCABBCABABC ∆=+⋅∆ 则中，若 ,02 ( ) ( ) ( )1,2 3, 2 9,7A B C−、 、 E F、 BC AE AF AB BC CD AD CDBCAB ++ BC BCAD // ( ) ( )3, 4, 2 23,a b a b a b= = + + =       a b 60° 90° 120° 150° BC a CA b AB c EF 2 1 c 2 1 b BE a 2 1 b CF 2 1 a 2 1 b AD BE CF 0 ⊥ 3 8− 3 8− ⊥ 2 3 2 3 3 8− 2 3 25 6 25 6 21 72 eet + 21 ete + 0))(72( 2121 <++ eteeet 07152 2 <++ tt 2 17 −<<− t 另有 ，解之 ， ∴ ． 12.四边形 中， （1）若 ，试求 与 满足的关系式； （2）满足（1）的同时又有 ，求 的值及四边形 的面积。 解： （1） 则有 化简得： （2） 又 则 化简有： 联立 解得 或 则四边形 为对角线互相垂直的梯形 当 此时 当 此时 λλ tt == 7,2 14,2 14 −=−= λt )2 1,2 14()2 14,7( −−∪−−∈t ABCD )3,2(),,(),1,6( −−=== CDyxBCAB DABC // x y BDAC ⊥ yx, ABCD ),( yxBC = )2,4()2,4()( +−−−=−+−=++−=−= yxyxCDBCABADDA DABC // 0)4()2( =−−⋅−+−⋅ xyyx 02 =+ yx )1,6( ++=+= yxBCABAC )3,2( −−=+= yxCDBCBD BDAC ⊥ 0)3()1()2()6( =−⋅++−⋅+ yyxx 0152422 =−−++ yxyx    =−−++ =+ 01524 02 22 yxyx yx    = −= 3 6 y x    −= = 1 2 y x DABC // BDAC ⊥ ABCD    = −= 3 6 y x )0,8()4,0( −== BDAC 162 1 =⋅⋅= BDACS ABCD    −= = 1 2 y x )4,0()0,8( −== BDAC 162 1 =⋅⋅= BDACS ABCD 高二下学期数学文科复习专题二 三角函数 题型一、三角函数的定义,诱导公式 例 1．已知角 终边上一点 P（－4，3），求 的值 【解】∵ ∴ 变式 1．设角 的值等于（ C ） A． B．－ C． D．－ 变式 2．已知 那么 （ B ） A． B． C． D． 题型二、三角函数的求值、化简问题 例 2．已知 ， ，且 ． （1）求 的值；（2）求 ． 解：（1）由 ， ，得 ． ∴ ． 于 是 ． （2）由 ，得 ．又∵ ， ∴ ． 由 ，得 1cos 7 α = 13cos( ) 14 α β− = π0 2 β α< < < tan 2α β 1cos 7 α = π0 2 α< < 2 21 4 3sin 1 cos 1 ( )7 7 α α= − = − = sin 4 3 7tan 4 3cos 7 1 αα α= = × = 2 2 2tan 2 4 3 8 3tan 2 1 tan 471 (4 3) αα α ×= = = −− − π0 2 β α< < < 0 2 πα β< − < 13cos( ) 14 α β− = 2 213 3 3sin( ) 1 cos ( ) 1 ( )14 14 α β α β− = − − = − = ( )β α α β= − − cos cos[ ( )]β α α β= − − α )2 9sin()2 11cos( )sin()2cos( απαπ απαπ +− −−+ 4 3tan −== x yα 4 3tancossin sinsin )2 9sin()2 11cos( )sin()2cos( −==⋅− ⋅−= +− −−+ ααα αα απαπ απαπ 则,6 35πα −= )(cos)sin(sin1 )cos()cos()sin(2 22 απαπα απαπαπ +−−++ +−−+ 3 3 3 3 3 3 ,)15 14tan( a=− π =°1992sin 21 || a a + 21 a a + 21 a a + − 21 1 a+ − 　∴ ． 变式 1．若 < θ < π，且 cosθ= −3/5 ,则 sin(θ+ )等于（ B ） A . B . C . D . 变式 2：已知向量 ,且 (1)求 tanA 的值；(2)求函数 R)的值域 解：（1）由题意得 m·n=sinA-2cosA=0，因为 cosA≠0，所以 tanA=2。 （2）由 tanA=2 得 因为 x R,所以 ，当 时，f(x)有最大值 ； 当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是 题型三、三角函数的图像与性质问题 例 3．函数 的图象为 C, 如下结论中正确的是__①②③_. (写出所有正 确结论的编号) ①图象 C 关于直线 对称；②图象 C 关于点 对称； ③函数 )内是增函数；④由 的图象向右平移 个单位可 以得到图象 C。 变式 1. 已知函数 （1）求函数 的最小正周期和最值； （2）指出 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 解 ： （ 1 ） 最 小 正 周 期 ， 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 （2） 变式 2： 已知函数 （ ）的最小正周期为 ． cos cos( ) sin sin( )α α β α α β= − + − 1 13 4 3 3 3 1 7 14 7 14 2 = × + × = π 3 β = (sin ,cos ), (1, 2)m A A n= = −  0.m n⋅ =  ( ) cos2 tan sin (f x x A x x= + ∈ 2 21 3( ) cos2 2sin 1 2sin 2sin 2(sin ) .2 2f x x x x x x= + = − + = − − + ∈ [ ]sin 1,1x∈ − 1sin 2x = 3 2 33, .2  −   ( ) 3sin(2 )3f x x π= − 11 12x π= 2( ,0)3 π 5( ) ( ,12 12f x π π−在区间 3sin 2y x= 3 π ( ) 2sin cos( ) 3sin( )cos sin( )cos2 2f x x x x x x x π ππ= − − + + + ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= T π= ( )y f x= 3 512 2 + = 3 112 2 − = 3 3sin(2 ) sin 22 6 12 2y x y x π π= + − =  左移 单位，下移 单位 1( ) ( 3sin cos )cos 2f x x x xω ω ω= + + 0ω > π 2 π 3 π ( ) 10 334 −− ( ) 10 334 − ( ) 10 334 +− ( ) 10 334 + （1）求函数 的单调递增区间； （2）画函数 f（x）在区间［0， ］上的图象； （3）将函数 图象按向量 平移后所得的图象关于原点对称，求向量 的坐标 （一个即可）． 解：（1） 由周期为 得 ，故 由 得 ，所以函数 的增区间为 Z （2）如下表： 图象如下： （3） 题型四、三角形中的三角函数问题 例 4. 在△ABC 中， ， ， 分别是角 A，B，C 的对边，且 (1)求角 A 的大小；(2) 若 = ， + =3，求 和 的值。 解：（1）在△ABC 中有 B+C=π－A，由条件可得 4[1－cos(B+C)] －4cos2A+2=7 ∵cos(B+C)= －cosA ∴4cos2A－4cosA+1=0 解得 （2）由 变 式 1. 已 知 在 中 ， 三 条 边 所 对 的 角 分 别 为 ， 向 量 ， 且满足 。 ( )f x π ( )f x a a ( )f x sin(2 ) 16x πω= + + π 1π = ( ) sin(2 ) 16f x x π= + + 22 6 2x π π π− ≤ + ≤ 3 6x π π− ≤ ≤ ( )f x [ , ],3 6k k k π ππ π− + ∈ ( , 1)12a π= − a b c 28sin 2cos2 7.2 B C A + − = a 3 b c b c .3),,0(,2 1cos ππ =∴∈= AAA 又 bcacbbc acbA 3)(,2 1 22 1cos 22 222 =−+=−+= 即知 3 1 23, 3, 2. .2 2 1 b c b ba b c bc bc c c + = = =  = + = = ⇒  = = =   又 代入得 由 或 ABC∆ cba ,, CBA ,, )cos,(sin AAm = → )sin,(cos BBn = → Cnm 2sin=⋅ →→ x 0 y 2 1 0 1 6 π 5 12 π 2 3 π 11 12 π π 2 6x π+ 6 π 2 π π 3 2 π 2π 13 6 π 3 2 3 2 （1）求角 的大小；（2）若 成等比数列，且 ，求 的值。 解：（1）∵ ， ， ； ∴ ；∴ ∴ ；∴ ；又 为 的内角；∴ ； （2）∵ 成等比数列，∴ ， 由正弦定理知： ；又且 ，即 ， ∴ ；∴ ；∴ ；∴ 变式 2：已知 A、B、C 是 的三个内角，a，b，c 为其对应边， 向量 （1）求角 A；（2）若 解：（1） 　 （2） 由正弦定理，得 故 . 、 C 为 的 内 角 ， 又 为正三角形。 课后练习 1．已知 ，则 的值是（ C ） A． B． C． D． 2．函数 的最小值和最大值分别为（ C ） A． ， B． ， C． ， D． ， C BCA sin,sin,sin 18)( =−⋅ →→→ ACABCA c )cos,(sin AAm = → )sin,(cos BBn = → Cnm 2sin=⋅ →→ CBABA 2sinsincoscossin =+ CBA 2sin)sin( =+ CCC cossin2sin = 2 1cos =C C ABC∆ 3 π=C BCA sin,sin,sin BAC sinsinsin 2 = abc =2 18)( =−⋅ →→→ ACABCA 18=⋅ →→ CBCA 18cos =Cab 36=ab 362 == abc 6=c ABC∆ .1),sin,(cos),3,1( =⋅=−= nmAAnm 且 .,cos cos),1,2( SABCc b C BAB 的面积求∆== 1=⋅ nm 1cossin3 =−∴ AA 2 1)6sin( =−∴ π A π<< A0 πππ 6 5 66 <−<−∴ A .66 ππ =−∴ A .3 π=∴ A ,cos cos c b C B = ∴ ,sin sin cos cos C B C B = ,0cossinsincos =−∴ CBCB 0)sin( =− CB B ABC∆ .CB =∴ ,3 π=A .3 π==∴ CB ABC∆∴ ,514 =+=AB .34 5 4 3 2 ==∴ ABS π 4cos sin 36 5 α α − + =   7πsin 6 α +   2 3 5 − 2 3 5 4 5 − 4 5 ( ) cos2 2sinf x x x= + 1− 1 2− 2 3− 3 2 2− 3 2 3．下列函数中，最小正周期是 ，且图象关于直线 对称的是（ B ） A． B． C． D． 4．函数 的一个减区间为 ( C ) A. B. C. D. 5．为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像( D ) A 向右平移 个单位 B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 6．已知函数 ，则函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称轴 方程是（ D ） A．T=2π，一条对称轴方程为 B．T=2π，一条对称轴方程为 C．T=π，一条对称轴方程为 D．T=π，一条对称轴方程为 7．若 ，则 的值为 8．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 、b、c ，若 ， 则 9．设 ，则函数 的最小值为 10．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知 则 A ＝ 11．已知 的面积为 . （1）求 的值；（2）求 的值。 解：（1）∵ ， ① π 3x π= sin(2 )3y x π= − sin(2 )6y x π= − sin(2 )6y x π= + sin( )2 6 xy π= + ( ) 2cos( )6f x x π= + 2[ , ]3 3 π π− 4[ , ]3 3 π π 5[ , ]6 6 π π− 7[ , ]6 6 π π sin(2 )6y x π= − cos2y x= 6 π 2 3 π 3 π 3 π xxy 2cos)4(sin2 2 −+= π 8 π=x 8 3π=x 8 π=x 8 3π=x cos2 2 π 2sin 4 α α = − −   cos sinα α+ 1 2 a ( ) CaAcb coscos3 =− =Acos 3 3 0 2x π ∈  ， 22sin 1 sin 2 xy x += 3 3, 3, 30 ,a b c= = = ° 6 π ABC∆ 2,32 =•− ACAB Atan )4 πcos( 12cos2sin22sin2 2 A AAA − −+ 32sin||||2 1 −=••=∆ AACABS ABC 又∵ ，∴ . ② 由①、②得 . （2） 12．求值： 解：原式＝ ＝ ＝ 13. 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.已知 ，求： （1）A 的大小；（2） 的值. 解：(1) (2) 14．已知函数 （ ）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求函数 在区间 上的取值范围 解：（1） ． 因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，解得 ． 2=• ACAB 2cos|||| =•• AACAB 32tan −=A AA AA Aπ AAA sincos )cos(sin2 )4cos( 12cos2sin22sin2 2 + −= − −+ 2(tan 1) 2(2 3 1) 6 .1 tan 31 2 3 A A − − −= = = −+ + − 0 0 0 0 cos40 sin50 (1 3 tan10 ) sin 70 1 cos40 + + ° + cos10 3sin10cos40 sin50 cos10 sin 70 2 cos20 °+ °°+ °⋅ ° °⋅ ° 2cos(60 10 )cos40 sin50 cos10 sin 70 2 cos20 °− °°+ °⋅ ° °⋅ ° 2 2 2 2 3b c a bc+ = + 2sin cos sin( )B C B C− − 2 2 2 2 cos ,a b c bc A= + − 2 2 2 3 3cos , .2 2 2 6 b c a bcA Abc bc π+ −= = = =故 所以 2sin cos sin( )B C B C− − 2sin cos (sin cos cos sin )B C B C B C= − − sin cos cos sinB C B C= + 1sin( ) sin( ) sin .2B C A Aπ= + = − = = 2 π( ) sin 3sin sin 2f x x x xω ω ω = + +   0ω > π ω ( )f x 2π0 3     ， 1 cos2 3( ) sin 22 2 xf x x ω ω−= + 3 1 1sin 2 cos22 2 2x xω ω= − + π 1sin 2 6 2xω = − +   ( )f x π 0ω > 2π π2ω = 1ω = （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ． 因 为 ， 所 以 ，所以 ．因此 ， 即 的取值范围为 ． 15．已知函数 （1）将函数 化简成 的形式， 并指出 的周期； （2）求函数 上的最大值和最小值。 解：(1)f(x)= sinx+ . 故 f(x)的周期为 2kπ｛k∈Z 且 k≠0｝. (2)由π≤x≤ π，得 .因为 f(x)＝ 在[ ]上 是减函数，在[ ]上是增函数.故当 x= 时，f(x)有最小值－ ；而 f(π)=－ 2，f( π)＝－ ＜－2，所以当 x=π时，f(x)有最大值－2。 2007 年高考“平面向量”题 1．(全国Ⅰ) 已知向量 ， ，则 与 A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解：已知向量 ， ， ，则 与 垂直，选 A。 2．(全国 II) 在 中，已知 是 边上一点，若 ， 则 （ ） π 1( ) sin 2 6 2f x x = − +   2π0 3x≤ ≤ π π 7π26 6 6x− −≤ ≤ 1 πsin 2 12 6x − −  ≤ ≤ π 1 30 sin 2 6 2 2x − +  ≤ ≤ ( )f x 30 2     ， 2( ) sin cos cos 2.2 2 2 x x xf x = + − ( )f x sin( ) ( 0, 0, [0,2 ))A x B Aω ϕ ϕ ϕ π+ + > > ∈ ( )f x 17( ) [ , ]12f x ππ在 2 1 2 3)4sin(2 2 2 3)cos(sin2 122 cos1 −+=−+=−+ π xxxx 12 17 πππ 3 5 44 5 ≤+≤ x 2 3)4sin(2 2 −+ π x 4 5, ππ 12 17,4 5 ππ 4 5π 2 23 + 12 17 4 66 + ( 5,6)a = − (6,5)b = a b ( 5,6)a = − (6,5)b = 30 30 0a b⋅ = − + =  a b ABC△ D AB 12 3AD DB CD CA CBλ= = +    ， λ = A． B． C． D． 解：在∆ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 =2 ， = ，则 = ，∴ λ= ，选 A。 把函数 的图像按向量 平移，得到 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 解：把函数 y=ex 的图象按向量 =(2,0)平移，即向右平移 2 个单位， 平移后得到 y=f(x)的图象，f(x)= ，选 C。 在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ． （1）求函数 的解析式和定义域； （2）求 的最大值． 解：（1） 的内角和 ，由 得 ．应用正弦定理，知 ， ． 因为 ， 所以 ， （2）因为 ， 2 3 1 3 1 3 − 2 3 − AD DB CD CBCA λ+ 3 1 2 2 ( )3 3CD CA AD CA AB CA CB CA= + = + = + −        1 2 3 3CA CB+  3 2 exy = (2 0)= ，a ( )y f x= ( )f x = e 2x + e 2x − 2ex− 2ex+ a 2xe − ABC△ A π= 3 2 3BC = B x= y ( )y f x= y ABC△ A B C+ + = π 0 0A B C π= > >3， ， 20 B π< < 3 2 3sin sin 4sinsin sin BCAC B x xA = = =π 3 2sin 4sinsin BCAB C xA π = = − 3  y AB BC AC= + + 2 24sin 4sin 2 3 0 3y x x x π π   = + − + < <   3    14 sin cos sin 2 32y x x x  3= + + +  2  54 3sin 2 3x x π π π π   = + + < + <   6 6 6 6    所以，当 ，即 时， 取得最大值 ． 3．（北京卷）已知向量 ．若向量 ， 则实数 的值是 ． 解：已知向量 ．向量 ， ， 则 2+λ+4+λ=0，实数 =－3． 在 中，若 ， ， ，则 ． 解：在 中，若 ， ，∴ A 为锐角， ， ，则根据正弦定理 = 。 4 ．（ 天 津 卷 ） 在 中 ， ， ， 是 边 的 中 点 ， 则 ． 解： 所以 5．(上海卷) 若向量 的夹角为 ， ，则 ． 解： 。 6．（重庆卷）已知向量 且 则向量 等于 （A） （B） （C） （D） 解：设 联立解得 选 D 在△ABC 中，AB=1,BC=2,B=60°，则 AC＝ 。 x π π+ =6 2 x π= 3 y 6 3 2 4 11( ) ( )，， ，a = b = ( )λ⊥b a + b λ 2 4 11a b( ) ( ) ，， ，= = (2 ,4 )a bλ λ λ+ = + +  ( )b a bλ⊥  + λ ABC△ 1tan 3A = 150C =  1BC = AB = ABC△ 1tan 3A = 150C =  10sin 10A = 1BC = AB = sin sin BC C A ⋅ 10 2 ABC△ 2AB = 3AC = D BC AD BC =   1 ( ), ,2AD AC AB BC AC AB= + = −      2 21 1 5( ) ( ) (| | | | ) .2 2 2AD BC AC AB AC AB AC AB= + ⋅ − = − =         a b ， 60 1a b= =  ( )a a b− =    ( ) 22 1 1cos60 1 2 2a a b a a b a a b− = − ⋅ = − ⋅ ° = − =          (4,6), (3,5),OA OB= =  , // ,OC OA AC OB⊥    OC     − 7 2,7 3     − 21 4,7 2      − 7 2,7 3      − 21 4,7 2 ( , ) , 4 6 0,C x y OC OA x y⊥ ⇒ + =   // 5( 4) 3( 6) 0,AC OB x y⇒ − − − =  3 2( , ).7 7C − A B D C 解：由余弦定理得： 7．（辽宁卷）若向量 与 不共线， ，且 ， 则向量 与 的夹角为（ ） A．0 B． C． D． 解：因为 ，所以向量 与 垂直，选 D. 若函数 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象， 则向量 （ ） A． B． C． D． 解：函数 为 ，令 得平移公式， 所以向量 ，选 C. 8．（江苏卷）在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 和 ， 顶点 在椭圆 上，则 　　　. 解： 设三角形三边为 a，b，c，因为 B 在椭圆上，长半轴为 5，所以 ， 设 ，则 ＝ 9．(广东卷)若向量 、 满足| |=| |=1， 与 的夹角为 ，则 + A． B． C. D．2 解：a﹒a+ a﹒b=12+1×1× = ,故选 B。 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、 ( ，0)． (1)若 ，求 的值； 2 2 21 2 2 1 2 cos60 3. 3.AC AC= + − × × × = ∴ = a b 0≠a b  −     a ac = a ba b a c π 6 π 3 π 2 0)( 2 2 =⋅ ⋅ −=⋅ →→ →→ → →→→ ba ba aaca a c ( )y f x= a ( 1) 2y f x= + − a = (1 2)−， (1 2)， ( 1 2)− −， ( 1 2)− ， ( 1) 2y f x= − − )1(2 −=+ xfy 2,1 ' +=−= yyxx a = (1 2)−， xOy ABC∆ ( 4,0)A − (4,0)C B 2 2 125 9 x y+ = sin sin sin A C B + =    = =+ 8 10 b ca kC c B b A a === sinsinsin b ca B CA +=+ sin sinsin 5 4 a b a b a b 60° a a   a b =   1 2 3 2 31 2 + 2 1 2 3 C c 0AB AC =   c (2)若 ，求sin∠A的值． 解：(1) , 由 ，即 -3(c-3)+( -4)2=0。 有 c= (2)当 c=5 时， 进而 10．(福建卷)对于向量 ， ， 和实数 ，下列命题中真命题是（　　） Ａ．若 ，则 或 Ｂ．若 ，则 或 Ｃ．若 ，则 或 Ｄ．若 ，则 解： a⊥b 时也有 a·b＝0，故 A 不正确；同理 C 不正确；由 a·b=a·c 得不到 b=c，如 a 为零向量或 a 与 b、c 垂直时，选 B. 11．(安徽卷)在四面体 O-ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 = （用 a，b，c 表示）. 解： = = 。 12．(湖南卷) 若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 解：由向量的减法知 选 B. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，则 ． 解：由正弦定理得 ，所以 A= 5c = ( 3, 4)AB = − − ( 3, 4)AC c= − − 0AB AC⋅ =  3 25 (2, 4)AC = − 6 16 1cos cos , 5 2 5 5 A AC AB − +∠ = < >= = ×   2 2 5sin 1 cos 5A A∠ = − ∠ = a b c λ 0=a b 0=a 0=b 0λ =a 0λ = 0=a 2 2=a b =a b = −a b = a b a c =b c ,,, cOCbOBaAB === OE OE 1 1 ( )2 2OA AE OA AD OA AO OD+ = + = + +       1 1 ( )2 4OA OB OC+ +   1 1 1 2 4 4a b c= + +   O E F， ， EF OF OE= +   EF OF OE= −   EF OF OE= − +   EF OF OE= − −   EF OF OE= −   ABC△ A B C， ， a b c， ， 1a = 3c = π 3C = A = 2 1 3 2 3 sinsinsinsin ===⇒= c CaAC c A a π 6 13 ．（湖 北 卷 ） 设 ， 在 上 的 投 影 为 ， 在 轴 上 的 投 影 为 2 ， 且 ，则 为（ ） A． B． C． D． 解：设 a 在 b 的夹角为θ，则有|a|cosθ= ，θ=45°，因为 b 在 x 轴上的投影为 2, 且|b|＜1,结合图形可知选 B. 14．（江西卷）在平面直角坐标系中，正方形 的对角线 的两端点 分别为 ， ，则 ． 解： 15．（山东卷）已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ） A． B． C． D．4 解： ，由 与 垂直可得： ， 。选 C. 在 中，角 的对边分别为 ． （1）求 ； （2）若 ，且 ，求 ． 解：（1） 又 解得 ． ， 是锐角． ． (4 3)= ，a a b 5 2 2 b x | | 14≤b b (214)， 22 7  −  ， 22 7  −  ， (2 8)， 2 25 OABC OB (0 0)O ， (11)B ， AB AC =   (0,1) ( 1,1) 0 ( 1) 1 1 1.AB AC = ⋅ − = × − + × =   (1 ) ( 1 )n n= = −， ， ，a b 2 −a b b =a 1 2 2 2 (3, )n−a b = 2 −a b b 2(3, ) ( 1, ) 3 0 3n n n n⋅ − = − + = ⇒ = ± 2=a ABC△ A B C， ， tan 3 7a b c C =， ， ， cosC 5 2CB CA =   9a b+ = c sintan 3 7 3 7cos CC C = ∴ = ， 2 2sin cos 1C C+ = 1cos 8C = ± tan 0C > C∴ 1cos 8C∴ = （2） ， ， ． 又 ． ． ． ． 16．(陕西卷) 如图，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的 夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，且 ＝ ＝1， ＝ .若 ＝ 的值为 . 解：过 C 作 与 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角 BOC=90° 角 AOC=30°， = 得平行四边形的边长为 和 ， + = . 17．（四川卷）设 ， ， 为坐标平面上三点， 为坐标原点， 若 与 在 方向上的投影相同，则 与 满足的关系式为（　　） （ A ） 　 　 （ B ） 　 　 （ C ） 　 　 （ D ） 解：由 与 在 方向上的投影相同，可得： , 即 ， ．选 A． 18．（浙江卷）若非零向量 、 满足｜ 一 ｜＝｜ ｜，则 (A) ｜2 ｜＞｜ 一 2 ｜ (B) ｜2 ｜＜｜ 一 2 ｜ (C) ｜2 ｜＞｜2 一 ｜ (D) ｜2 ｜＜｜2 一 ｜ 5 2CB CA⋅ =   5cos 2ab C∴ = 20ab∴ = 9a b+ = 2 22 81a ab b∴ + + = 2 2 41a b∴ + = 2 2 2 2 cos 36c a b ab C∴ = + − = 6c∴ = OA OB OC OA OB OA OC OA OB OC 2 3 OC µλµλµλ +∈+ 则R),,(OBOA OA OC OC 22 3 62 3 64 =+ µλ 3 62 3 64 62 ( ,1)A a (2, )B b (4,5)C O OA OB OC a b 4 5 3a b− = 5 4 3a b− = 4 5 14a b+ = 5 4 14a b+ = OA OB OC OA OC OB OC⋅ = ⋅    ( ,1) (4,5) (2, ) (4,5),a b⇒ ⋅ = ⋅ 4 5 8 5a b+ = + 4 5 3a b− = a b a b b b a b b a b a a b a a b C AO B 解：若两向量共线，则由于 是非零向量，且 ， 则必有 a=2b；代入可知只有 A、C 满足；若两向量不共线， 注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足 OB=AB=BC；令 a, b,则 a-b, ∴ a-2b 且 ； 又 BA+BC>AC ∴ ∴ ,选 A． 已知△ABC 的周长为 ＋1，且 sinA＋sin B＝ sin C (I)求边 AB 的长； (Ⅱ)若△ABC 的面积为 sin C，求角 C 的度数． 解：(I)由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC＝ ＋1． BC+AC＝ AB， 两式相减，得： AB＝1． (Ⅱ)由△ABC的面积＝ BC·ACsinC＝ sin C，得 BC·AC＝ ，∴ ， 由余弦定理，得 ，所以C＝600． 19．（宁夏、海南卷）已知平面向量 ，则向量 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解： 选 D． 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现 CA = ，a b − =a b b OA = OB = BA = − =a b b − +a b b 2> −a b 2 2> −b a b 2 2 1 6 2 2 1 2 1 6 1 3 ( )22 2 2 42 2 3 3AC BC AC BC AC BC+ = + − ⋅ = − = 2 2 2 1cos 2 2 AC BC ABC AC BC + −= =⋅ (11) (1 1)= = −，， ，a b 1 3 2 2 − =a b ( 2 1)− −， ( 21)− ， ( 1 0)− ， ( 1 2)− ， 1 3 2 2 − =a b ( 1 2).− ， AB B C D 测 得 ， 并 在 点 测 得 塔 顶 的 仰 角 为 ， 求 塔 高 ． 解：在 中， ． 由正弦定理得 ． 所以 ． 在 中， ． 《平面向量》综合测试题 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1. 若 A（2，-1），B（-1，3），则 的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2.与 a=（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. ( ) D.（5k, -4k） 3. △ABC 中, =a, =b,则 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简 (a－b)－ (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 ( ) A. a b B.0 C. a+ b D. a－ b 5.已知|p|= ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p－3q 为邻边的平行四边形的一条 对角线长为 ( ) BCD BDC CD sα β∠ = ∠ = =， ， C A θ AB BCD△ πCBD α β∠ = − − sin sin BC CD BDC CBD =∠ ∠ sin sin sin sin( ) CD BDC sBC CBD β α β ∠= =∠ + · ABCRt△ tan sintan sin( ) sAB BC ACB θ β α β= ∠ = + · AB 5 4,k k − BC AC AB 5 2 3 1 15 2 5 1 ± 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 22 4 π A.15 B. C. 16 D.14 6.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p∥ ,则 k 的值为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知△ABC 的三个顶点，A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，则点 P 与△ ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是 BC 边上一点,且△ABM 的面积 是△ABC 面积的 ,则线段 AM 的长度是 ( ) A.5 B. C. D. 9.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( ) A. B.9 C. D. 10.若|a|=1,|b|= ,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750 11. 把 一 个 函 数 的 图 象 按 向 量 a=( ,-2) 平 移 后 ， 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=sin(x+ )-2,则原函数的解析式为 ( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx 12.在△ABC 中， =c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若 a·b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若 a·b=0,则△ABC 为直角三角形 C. 若 a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形 D. 若 c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中，已知 且 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从 A 点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 ，则船实际航行的速度的大小和方向是 . 15. 若向量 ,现用 a、b 表示 c,则 c= . 16.给出下列命题:①若 a2+b2=0,则 a=b=0; ②已知 A B ,则 ③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a·c|=|b·c| ④已知 ,e1,e2 是一组基底,a=λ1e1+λ2e2 则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题，17-21 题每小题 12 分，22 题 14 分，共 74 分，解答应写出文 15 AB 10 9− 10 9 10 19− 10 19 PA PB PC AB+ + =    4 1 85 2 5 85 2 23 2918 + 223 + 2 3 π 6 π AB BC CA ,4== ACAB ,8=⋅ ACAB hkm /32 hkm /2 )4,7(),1,2(),2,3( −=−=−= cba ),,( 11 yx ),( 22 yx );2,2(2 1 2121 yyxxAB ++= 0,0 21 >> λλ 字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图,ABCD 是一个梯形, , M 、N 分别是 的中点,已知 a, b,试用 a、b 表示 和 18.设两个非零向量 e1、e2 不共线.如果 =e1+e2, 2e1+8e2, =3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D 共线; ⑵试确定实数 k,使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线. 19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点 D 与向量 的坐标. 20.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求 AB 边上的中线 CM 的长;⑵在 AB 上 取一点 P,使过 P 且平行与 BC 的直线 PQ 把 的面积分成 4:5 两部分,求 P 点的坐标. CDABCDAB 2,// = ABDC, =AB =AD ,DC BC  .MN AB =BC CD AD ABC∆ A BN MD C 21.已知 a、b 是两个非零向量，证明：当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值. 22.已知二次函数 f(x) 对任意 x∈R，都有 f (1-x)=f (1+x)成立，设向量 a=(sinx,2), b=(2sinx, ), c=(cos2x,1),d=(1,2)。 （1）分别求 a·b 和 c·d 的取值范围； （2）当 x∈[0,π]时，求不等式 f(a·b)>f(c·d)的解集。 2 1 答案 一、BCDBA；DDADB；BD 二、13.等边三角形；14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角 为 600 ; 15.a－2b ; 16.①③④ 三、17.∵| |=2| |∴ ∴ a, b－ a , = a－b 18.⑴∵ 5e1+5e2= , ∴ 又有公共点 B,∴A、B、D 共线 ⑵设存在实数 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ 且 kλ=1 ∴k= 19.⑴ 由 可 知 AB⊥AC⑵ 设 D （ x,y ） ,∴ ∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0 ∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D( ) 20.⑴ ⑵ 设 P （ x,y ） 21. 当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= - | a+λb |= = 当 λ= - 时，| a+λb |取得最小值. ∴当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值. 22. (1）a·b=2sin2x+1 1 c·d=2cos2x+1 1 （2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m>0 时, f(x)在（1， ）内单调递增， 由 f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即 2sin 2x+1>2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈ 当二次项系数 m<0 时,f(x)在（1， ）内单调递减， 由 f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即 2sin 2x+1<2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈ 、 AB CD DCAB 2= 2 1 2 1 == ABDC =BC 2 1 MN 4 1 BD BC CD= + =   AB5 BDAB // 1± 0=⋅ ACAB ACAB ⊥ )2,1(),5,5(),4,2( ++==−−= yxBDBCyxAD BCAD ⊥ BCBD //      = = 2 5 2 7 y x 2 5,2 7 )2 3,2 3( −=AD 2 26||),2 5,2 1()2 3,2 5( =−−=∴ CMCMM 4 4 | | 2 2,5 9 | | 3 3 APQ APQ BPQC ABC S S AP AP ABS S AB ∆ ∆ ∆ = ∴ = ∴ = ∴ =   )1,3(3 2)2,1( −=−−∴ yx )3 4,3(P∴ 2 a b b 2 2 22λ λ+ +b a b a 2 2 2 2 2 2( ) ( )λ + + − a b a bb ab b 2 a b b ≥ ≥ +∞ ⇒ 3( , )4 4 π π +∞ ⇒ 3[0, ) ( , ]4 4 π π π 故当 m>0 时不等式的解集为 ;当 m<0 时不等式的解集为 2012 年高考试题分类汇编：平面向量 一、选择题 1.【2012 高考全国文 9】 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 2.【2012 高考重庆文 6】设 ，向量 且 ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 3.【2012 高考浙江文 7】设 a，b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥b B.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λa D.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C 4.【2012 高考四川文 7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充 分条件是（ ） A、 且 B、 C、 D、 【答案】Ｄ 5.【2012 高考陕西文 7】设向量 =（1. ）与 =（-1， 2 ）垂直，则 等于 （ ） A B C .0 D.-1 【答案】C. 6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x = 3( , )4 4 π π 3[0, ) ( , ]4 4 π π π ABC∆ AB CD CB a=  CA b=  0a b⋅ =  | | 1a = | | 2b = AD = 1 1 3 3a b−  2 2 3 3a b−  3 3 5 5a b−  4 4 5 5a b−  x R∈ ( ,1), (1, 2),a x b= = −  a b⊥  | |a b+ =  5 10 2 5 10 a b | | | | a b a b =     | | | |a b=  //a b  a b= −  //a b  2a b=  a cosθ b cosθ cos2θ 2 2 1 2 (A) —1 (B) — (C) (D)1 【答案】D 【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。 7.【2012 高考广东文 3】若向量 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A 8.【2012 高考广东文 10】对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若两个 非 零 的 平 面 向 量 ， 满 足 与 的 夹 角 ， 且 和 都 在 集 合 中，则 A. B. C. 1 D. 【答案】D 9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a⊥b 的充要条件是 A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0 【答案】D 【解析】 ，故选 D 10.【2012 高考天津文科 8】在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 = ， =(1- ) ， R。若 =-2，则 = （A） （B） C） （D）2 【答案】B 二、填空题 1.【2012 高考新课标文 15】已知向量 夹角为 ，且 ；则 1 2 1 2 1 2 (1,2)AB = (3,4)BC = AC = (4,6) ( 4, 6)− − ( 2, 2)− − (2,2) α β = ⋅ ⋅ α βα β β β a b a b ,4 2 π πθ  ∈   a b b a 2 n n  ∈   Z =a b 5 2 3 2 1 2 00122)1( =⇔=×+⋅−⇔⊥ xxba ∠ AP  ABλ  AQ  λ AC  λ ∈ BQ  • CP  λ 1 3 2 3 4 3 ,a b  45° 1, 2 10a a b= − =   _____b = 【答案】 2.【2012 高考安徽文 11】设向量 ， ， ，若 ， 则 ______.[ 【答案】 3.【2012 高考湖南文 15】如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为 P， 且 = . 【答案】18 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、 等价转化思想等数学思想方法. 4.【2012 高考浙江文 15】在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3，BC=10，则 =________. 【答案】-16 5.【2012 高考山东文 16】如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 (2，1)时， 的坐标为＿＿＿＿. 【答案】 【 解 析 】 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2 ， 所 以 劣 弧 ， 即 圆 心 角 , 3 2 )2,1( ma = )1,1( += mb ),2( mc = bca ⊥+ )( =|| a 2 3AP = AP AC   AB AC⋅  xOy OP )2cos1,2sin2( −− 2=PA 2=∠PCA , 则 , 所 以 ， ，所以 ， ，所以 . 另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且 ， 则 点 P 的 坐 标 为 ， 即 . 6.【2012 高考江西文 12】设单位向量 m=（x，y），b=（2，-1）。若 ，则 =_______________ 【答案】 7.【2012 高考江苏 9】（5 分）如图，在矩形 中， 点 为 的 中点，点 在边 上，若 ，则 的值是 ▲ ． 【答案】 。 【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。 22 π−=∠PCA 2cos)22sin( −=−= π PB 2sin)22cos( =−= π CB 2sin22 −=−= CBxp 2cos11 −=+= PByp )2cos1,2sin2( −−=OP    += += θ θ sin1 cos2 y x 22 3,2 −==∠ πθPCD      −=−+= −=−+= 2cos1)22 3sin(1 2sin2)22 3cos(2 π π y x )2cos1,2sin2( −−=OP 5 ABCD 2 2AB BC= =， ， E BC F CD 2AB AF =   AE BF   2 8.【2012 高考上海文 12】在矩形 中，边 、 的长分别为 2、1，若 、 分 别是边 、 上的点，且满足 ，则 的取值范围是 【答案】[1,4]. 【解析】设 = （0≤ ≤1）， 则 = , = ， 则 = = = + + + , 又∵ =0， ∴ = ， ∵0≤ ≤1，∴1≤ ≤4，即 的取值范围是[1,4]. 9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=（1,0），b=（1,1），则 （Ⅰ）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .设与 同向的单位向量为 ， 则 且 ， 解 得 故 . 即 与 同向的单位向量的坐标为 . （Ⅱ）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ，则 . ABCD AB AD M N BC CD BM CN BC CD =     AM AN⋅  CD CN BC BM = λ λ BCBM λ= ADλ DCDN )1( λ−= AB)1( λ− ANAM ⋅ ))(( DNADBMAB ++ ])1()[( ABADADAB λλ −++ ADAB ⋅ 2 )1( ABλ− 2 ADλ ABAD ⋅− )1( λ ADAB ⋅ ANAM ⋅ λ34 − λ ANAM ⋅ ANAM ⋅ 3 10 10,10 10       2 5 5 − ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )2 3,1+a b = 2 +a b ( ),x yc = 2 2 1, 3 0, x y y x  + =  − = , 0x y > 3 10 ,10 10 .10 x y  =  = 3 10 10,10 10       c = 2 +a b 3 10 10,10 10       ( ) ( )1,0 , 1,1a = b = ( )3 2,1− −b a = 3−b a a θ ( ) ( ) ( )3 2,1 1,0 2 5cos 3 55 1 θ − −= = = −− ×  b a a b a a 【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向 的单位向量一般只有 1 个，但与某向量共线的单位向量一般有 2 个，它包含同向与反向两种. 不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查. 10【2102 高考北.京文 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为________， 的最大值为______。 【答案】1，1 【解析】根据平面向量的数量积公式 ，由图可知， ，因此 ， ，而 就是向量 在 边上的 射影，要想让 最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 ，所以长 度为 1． CBDE ⋅ DCDE ⋅ =⋅=⋅ DADECBDE θcos|||| DADE ⋅ ||cos|| DADE =⋅ θ 1|| 2 ==⋅ DACBDE =⋅=⋅ αcos|||| DCDEDCDE αcos|| ⋅DE αcos|| ⋅DE DE DC DCDE ⋅ DC