2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值 文
专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值
1.已知函数f(x)=ln x+(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=2x相切,求a的值.
2.已知函数f(x)=ln x+ax2-x-m(m∈Z).
(1)若f(x)是增函数,求a的取值范围;
(2)若a<0,且f(x)<0恒成立,求m的最小值.
3.设函数f(x)=aln x+ (e为自然对数的底数).
(1)当a>0时,求函数f(x)的极值;
(2)若不等式f(x)<0在区间(0,e2]内有解,求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)= x3-ax2,a∈R.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
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专题对点练6答案
1.解 (1)f'(x)=,
∵函数f(x)在区间(0,4)上单调递增,
∴f'(x)≥0在(0,4)上恒成立,
∴(x+1)2+ax≥0,即a≥-=--2在(0,4)上恒成立,
∵x+≥2,取等号条件为当且仅当x=1,∴a≥-4.
(2)设切点为(x0,y0),则y0=2x0,f'(x0)=2,y0=ln x0+,
∴=2, ①
且2x0=ln x0+. ②
由①得a=,代入②得2x0=ln x0+(2x0-1)(x0+1),即ln x0+2-x0-1=0.
令F(x)=ln x+2x2-x-1,
则F'(x)= +4x-1=.
∵4x2-x+1=0的Δ=-15<0,
∴4x2-x+1>0恒成立.
∴F'(x)在(0,+∞)上恒为正值,
∴F(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵F(1)=0,∴x0=1代入①式得a=4.
2.解 (1)f'(x)= +ax-1,
依题设可得a≥,
而=-,当x=2时,等号成立.
所以a的取值范围是.
(2)由(1)可知f'(x)= +ax-1=.设g(x)=ax2-x+1,则g(0)=1>0,g(1)=a<0,
g(x)=a+1-在(0,+∞)内单调递减,
因此g(x)=0在(0,1)内有唯一的解x0,使得a=x0-1,
而且当0
0,当x>x0时,f'(x)<0,
所以f(x)≤f(x0)=ln x0+-x0-m=ln x0+ (x0-1)-x0-m=ln x0-x0--m.
设r(x)=ln x-x--m,则r'(x)=>0.
所以r(x)在(0,1)内单调递增.
所以r(x)0),
当a>0时,由f'(x)>0,解得x>,由f'(x)<0,解得00时,函数f(x)在区间内为减函数,在区间内为增函数,
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①若e2≤,即0,即a>,则函数f(x)的最小值是f=aln+a,
令f=aln+a<0,得a>e2.
综上,实数a的范围是∪(e2,+∞).
4.解 (1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.
(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,
所以g'(x)
=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x
=x(x-a)-(x-a)sin x
=(x-a)(x-sin x).
令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.
因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.
①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,
当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.
②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增.
所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.
③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;
当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.
综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=- a3-sin a,极小值是g(0)=-a;
当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.
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