解三角形数列全国数学高考分类真题含答案

解三角形数列全国数学高考分类真题含答案

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）‎ ‎　‎ 一．选择题（共4小题）‎ ‎1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）‎ A．4 B． C． D．2‎ ‎3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）‎ A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4‎ ‎4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）‎ A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　 　．‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=　 　，c=　 　．‎ ‎7．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　 　．‎ ‎8．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求∠A；‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．‎ ‎12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．‎ ‎（1）求cos∠ADB；‎ ‎（2）若DC=2，求BC．‎ ‎13．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．‎ ‎（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．‎ ‎14．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．‎ ‎15．设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*），‎ ‎（i）求Tn；‎ ‎（ii）证明=﹣2（n∈N*）．‎ ‎16．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．‎ ‎17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并求Sn的最小值．‎ ‎　‎ 解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共4小题）‎ ‎1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎△ABC的面积为，‎ ‎∴S△ABC==，‎ ‎∴sinC==cosC，‎ ‎∵0＜C＜π，∴C=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）‎ A．4 B． C． D．2‎ ‎【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，‎ BC=1，AC=5，则AB====4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）‎ A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4‎ ‎【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，‎ a1＞1，设公比为q，‎ 当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，‎ 即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．‎ 当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；‎ 当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，‎ 当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）‎ A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12‎ ‎【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，‎ ‎∴=a1+a1+d+4a1+d，‎ 把a1=2，代入得d=﹣3‎ ‎∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　9　．‎ ‎【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，‎ 即ac=a+c，‎ 得+=1，‎ 得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，‎ 当且仅当=，即c=2a时，取等号，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=　　，c=　3　．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．‎ a=，b=2，A=60°，‎ ‎∴由正弦定理得：，即=，‎ 解得sinB==．‎ 由余弦定理得：‎ cos60°=，‎ 解得c=3或c=﹣1（舍），‎ ‎∴sinB=，c=3．‎ 故答案为：，3．‎ ‎　‎ ‎7．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　an=6n﹣3　．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=6，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．‎ ‎∴{an}的通项公式为an=6n﹣3．‎ 故答案为：an=6n﹣3．‎ ‎　‎ ‎8．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　﹣63　．‎ ‎【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，①‎ 当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，‎ 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，‎ 由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1，‎ ‎∴an=2an﹣1，‎ ‎∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴S6==﹣63，‎ 故答案为：﹣63‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求∠A；‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，‎ ‎∵cosB=﹣，∴sinB===，‎ 由正弦定理得=得sinA===，‎ 则A=．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 即64=49+c2+2×7×c×，‎ 即c2+2c﹣15=0，‎ 得（c﹣3）（c+5）=0，‎ 得c=3或c=﹣5（舍），‎ 则AC边上的高h=csinA=3×=．‎ ‎　‎ ‎10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．‎ ‎∴x=﹣，y=，r=|OP|=，‎ ‎∴sin（α+π）=﹣sinα=；‎ ‎（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，‎ 得，，‎ 又由sin（α+β）=，‎ 得=，‎ 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，‎ 或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．‎ ‎∴cosβ的值为或．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，‎ 又bsinA=acos（B﹣）．‎ ‎∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，‎ ‎∴tanB=，‎ 又B∈（0，π），∴B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，‎ 由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，‎ ‎∵a＜c，∴cosA=，‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=，‎ cos2A=2cos2A﹣1=，‎ ‎∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．‎ ‎　‎ ‎12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．‎ ‎（1）求cos∠ADB；‎ ‎（2）若DC=2，求BC．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．‎ ‎∴由正弦定理得：=，即=，‎ ‎∴sin∠ADB==，‎ ‎∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，‎ ‎∴cos∠ADB==．‎ ‎（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，‎ ‎∵DC=2，‎ ‎∴BC=‎ ‎==5．‎ ‎　‎ ‎13．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．‎ ‎（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知|an﹣bn|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，‎ ‎∵a1=0，q=2，‎ ‎∴，解得．即≤d≤．‎ 证明：（2）∵an=a1+（n﹣1）d，bn=b1•qn﹣1，‎ 若存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，‎ 则|b1+（n﹣1）d﹣b1•qn﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），‎ 即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），‎ ‎∵q∈（1，]，∴则1＜qn﹣1≤qm≤2，（n=2，3，…，m+1），‎ ‎∴b1≤0，＞0，‎ 因此取d=0时，|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，‎ 下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，‎ ‎①当2≤n≤m时，﹣==，‎ 当1＜q≤时，有qn≤qm≤2，‎ 从而n（qn﹣qn﹣1）﹣qn+2＞0，‎ 因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，‎ 故数列{}的最大值为．‎ ‎②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，‎ ‎∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，‎ 当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，‎ 因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，‎ 故数列{}的最小值为，‎ ‎∴d的取值范围是d∈[，]．‎ ‎　‎ ‎14．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，‎ 可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，‎ 解得a4=8，‎ 由+8+8q=28，可得q=2（舍去），‎ 则q的值为2；‎ ‎（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1，‎ 可得n=1时，c1=2+1=3，‎ n≥2时，可得cn=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，‎ 上式对n=1也成立，‎ 则（bn+1﹣bn）an=4n﹣1，‎ 即有bn+1﹣bn=（4n﹣1）•（）n﹣1，‎ 可得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）‎ ‎=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，‎ bn=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，‎ 相减可得bn=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1‎ ‎=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，‎ 化简可得bn=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．‎ ‎　‎ ‎15．设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*），‎ ‎（i）求Tn；‎ ‎（ii）证明=﹣2（n∈N*）．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0．‎ ‎∵q＞0，可得q=2．‎ 故．‎ 设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，‎ 由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，‎ ‎∴b1=d=1．‎ 故bn=n；‎ ‎（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，‎ 故=；‎ ‎（ii）证明：∵==．‎ ‎∴==﹣2．‎ ‎　‎ ‎16．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．‎ ‎【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．‎ ‎∴1×q4=4×（1×q2），‎ 解得q=±2，‎ 当q=2时，an=2n﹣1，‎ 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，‎ ‎∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．‎ ‎（2）记Sn为{an}的前n项和．‎ 当a1=1，q=﹣2时，Sn===，‎ 由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；‎ 当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，‎ 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，‎ 解得m=6．‎ ‎　‎ ‎17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并求Sn的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，‎ ‎∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，‎ ‎∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；‎ ‎（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，‎ ‎∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，‎ ‎∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．‎ ‎　‎