高考数学冲刺训练题之三角函数
2010 届高考数学快速提升成绩题型训练——三角函数
1. 右图为 的图象的一段，求其解析式。
解析 法 1 以 M 为第一个零点，则 A= ，
所求解析式为
点 M（ 在图象上，由此求得
所求解析式为
法 2. 由题意 A= ， ，则
图像过点
即 取
所求解析式为
2 设函数 图像的一条对称轴是直线 。
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求函数 的单调增区间；（Ⅲ）画出函数 在区间 上
的图像。
解析（Ⅰ） 的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）由
x 0
y －1 0 1 0
故函数
)sin( ϕω += xAy
3
2=ω )2sin(3 ϕ+= xy
)0,3
π
3
2πϕ −=
∴ )3
22sin(3
π−= xy
3 2ω = 3sin(2 )y x ϕ= +
7( , 3)12
π 73 3sin( )6
π ϕ∴ = +
73 3sin( )6
π ϕ∴ = + 7 2 .6 2 k
ππ ϕ π+ = + ∴ 2 2 .3 k
πϕ π= − + 2 .3
πϕ = −
∴ 23sin(2 )3y x
π= −
)(),0()2sin()( xfyxxf =<<−+= ϕπϕ
8
π=x
ϕ )(xfy = )(xfy = ],0[ π
)(8 xfyx == 是函数π
,1)82sin( ±=+×∴ ϕπ
, .4 2k k Z
π πϕ π∴ + = + ∈ .4
3,0
πϕϕπ −=<<−
).4
32sin(,4
3 ππϕ −=−= xy因此
.,224
3222 Zkkxk ∈+≤−≤− πππππ
.],8
5,8[)4
32sin( Zkkkxy ∈++−= πππππ 的单调增区间为
知)4
32sin(
π−= xy
8
π
8
3π
8
5π
8
7π π
2
2−
2
2−
上图像是在区间 ],0[)( πxfy =
3. 已知函数 ，
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。
解析 （1）由题意得 sinx-cosx＞0 即 ，
从而得 ，
∴函数的定义域为 ，
∵ ，故 0＜sinx-cosx≤ ，所有函数 f(x)的值域是 。
（2）单调递增区间是
单调递减区间是 ，
（3）因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故 f(x)是非奇非偶函数。
（4）∵
∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。
4. 已知向量 = ( ，2)， =( ，（ 。
（1）若 ，且 的最小正周期为 ，求 的最大值，并求 取得最大
值时 的集合；
（2）在（1）的条件下， 沿向量 平移可得到函数 求向量 。
解析 = ，T= ，
= ， ，这时 的集合为
（2） 的图象向左平移 ，再向上平移 1 个单位可得 的图象，
所以向量 = 。
5. 设函数 的图象经过两点（0，1），（ ），且在 ，
求实数 a 的的取值范围.
解析 由图象过两点得 1=a+b，1=a+c，
当 a＜1 时， ，
只须 解得
)cos(sinlog)(
2
1 xxxf −=
0)4sin(2 >− π
x
ππππ +<−< kxk 242
），（ 4
5242
ππππ ++ kk Zk ∈
1)4sin(0 ≤−< π
x 2 ),2
1[ +∞−
）， 4
524
32[
ππππ ++ kk Zk ∈
），（ 4
3242
ππππ ++ kk Zk ∈
)()]2cos()2[sin(log)2(
2
1 xfxxxf =+−+=+ πππ
a 3 b )cos,2sin 2 xx ωω − )0>ω
( )f x a b= ⋅ )(xf π )(xf )(xf
x
)(xf c ,2sin2 xy = c
( )f x a b= ⋅ 1)62sin(2cos22sin3 2 −−=− πωωω xxx π 1=ω
=)(xf 1)62sin(2 −− π
x 1max =y x
∈+= Zkkxx ,3
ππ
)(xf 12
π
xy 2sin2=
c )1,12(
π−
xcxbaxf sincos)( ++= 1,2
π
2|)(|20 ≤≤≤ xfx 内π
)4sin()1(2)cos)(sin1()(,1,1
π+−+=+−+=−=−=∴ xaaxxaaxfacab
1)4sin(2
2,4
3
44,20 ≤+≤∴≤+≤≤≤ πππππ
xxx 则
2|)(|,)21(2)(1 ≤−+≤≤ xfaxf 要使
2)21(2 ≤−+ a 2−≥a
当
要使 解得 ，故所求 a 的范围是
6. 若函数 的最大值为 ，试确定常数 a 的值.
解析
因为 的最大值为 的最大值为 1，则
所以
7. 已知二次函数 对任意 ，都有 成立，设向量 （sinx，2），
（2sinx， ）， （cos2x，1）， （1，2），当 [0， ]时，求不等式 f（ ）＞f
（ ）的解集．
解析 设 f（x）的二次项系数为 m，其图象上两点为（1-x， ）、B（1＋x， ）
因为 ， ，所以 ，
由 x 的任意性得 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，
若 m＞0，则 x≥1 时，f（x）是增函数，若 m＜0，则 x≥1 时，f（x）是减函数．
∵ ， ， ， ， ， ，
∴ 当 时，
， ．
∵ ， ∴ ．
当 时，同理可得 或 ．
综上 的解集是当 时，为 ；
当 时，为 ，或 ．
8. 试判断方程 sinx= 实数解的个数.
1)()21(2,1 ≤≤−+> xfaa 时
2)21(22|)(| −≥−+≤ axf 只须 234 +≤a 2342 +≤≤− a
)4sin(sin
)2sin(2
2cos1)( 2 π
π +++
−
+= xax
x
xxf 32 +
)4sin(sin
)2sin(2
1cos21)( 2
2 π
π +++
−
−+= xax
x
xxf
)4sin(cossin)4sin(sincos2
cos2 22
2 ππ +++=+++= xaxxxaxx
x
)4sin()2()4sin()4sin(2 22 πππ ++=+++= xaxax
)(xf )4sin(,32
π++ x ,322 2 +=+ a
3a = ±
)(xf R∈x )1()1( xfxf +=− =a =b
2
1 =c =d ∈x π ⋅ a b
⋅ c d
1y 2y
12
)1()1( =++− xx )1()1( xfxf +=− 21 yy =
(sin x=⋅ a b xsin2()2 ⋅ 11sin2)2
1 2 ≥+= x (cos2x=⋅ c d 1()1 ⋅ )2 122cos ≥+= x
0>m 2( ) ( ) (2sin 1) (cos2 1)f f f x f x> ⇔ + > +⋅ ⋅ a b c d
1sin2 2 +⇔ x 02cos222cos12cos122cos <⇔+>+−⇔+> xxxx
02cos <⇔ x 2
ππ2 +⇔ k 2
3ππ22 +<< kx Z∈k
π0 ≤≤ x 4
π3
4
π << x
0
⋅ ⋅ a b c d 0>m }4
π3
4
π|{ << xx
0>+= AxAxf
)(xfy = ]3
2,[ ππ−
2( )
2
f x =
2[ , ]6 3x π π∈ −
( ) sin( ) ( 0 , 0 , )2 2f x A x A π πω ϕ ω ϕ= + > > − < <
1, 1, 3A πω ϕ= = = ( ) sin( )3f x x π= +
( )y f x=
6x π= −
[ , ]6x ππ∈ − − ( ) sinf x x= −
2sin( ) [ , ]3 6 3( )
sin [ , )6
x x
f x
x x
π π π
ππ
+ ∈ −=
− ∈ − −
2[ , ]6 3x π π∈ −
2sin( )3 2x π+ = 3 5
3 4 4 12 12x x xπ π π π π+ = ⇒ = − =或 或
[ , ]6x ππ∈ − − 2sin 2x− = 3
4 4x xπ π=− =−或
2( ) 2f x = 3 5{ , , , }4 4 12 12
π π π π− − −
)2||,0,0A)(xsin(A)x(f
π<φ>ω>φ+ω= y y
)2,( 0x )2,3( 0 −+ πx
)x(f
)x(fy =
3
1
x 3
π
)x(gy = )x(gy =
100л
解析 （1）由题意可得： ， ， ，
函数图像过（0，1）， ， ， ， ；
（2）
11. 已知函数
（Ⅰ）将 f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程
（Ⅱ）如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范围
及此时函数 f(x)的值域.
解析 (1)
由 =0 即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知 b2=ac，
即 的值域为 .
12. （ω＞0）
（1）若 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数，求 ω 及 θ 值
（2）f (x)在（0， ）上是增函数，求 ω 最大值。
解析（1）因为 f (x +θ)=
又 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数， 故 Z
（2）因为 f (x)在（0， ）上是增函数，故 ω 最大值为
13. 已知 且 a∥b. 求 的值.
解析. 由 a∥b 得，
π6=T 2=A )3
1sin(2)( ϕ+=∴ xxf
2
1sin =∴ ϕ
2
πϕ < 6
πϕ =∴ )63sin(2)(
π+=∴ xxf
)6sin(2)(
π−= xxg
.3cos33cos3sin)( 2 xxxxf +=
)sin( φω +xA
2
3)33
2sin(2
3
3
2cos2
3
3
2sin2
1)3
2cos1(2
3
3
2sin2
1)( ++=++=++= πxxxxxxf
)33
2sin(
π+x zkkxzkkx ∈−=∈=+ πππ
2
13)(33
2 得
zkk ∈− ，π
2
13
2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 2
a c b a c ac ac acx ac ac ac
+ − + − −= = ≥ = ，
1 2 5cos 1 02 3 3 3 3 9
5 2| | | | sin sin( ) 13 2 9 2 3 3 3
2 33 sin( ) 13 3 2
xx x
x
x
π π π π
π π π π π π
π
∴ ≤ < < ≤ < + ≤
− > − ∴ < + ≤
∴ < + ≤ +
， ，
， ，
，
)(xf ]2
31,3( +
)33sin(32)(
πω += xxf
3
π
)333sin(32
πθω ++x
∈+== kk 6,3
1 ππθω
3
π
6
1
),2sin,2cos2
3
(),2cos2
3
,2(cos xxxx +=−= ba
)2sin(
)42cos(21
π
π
+
−+
x
x
,02cos2sin2cos4
3 2 =−− xxx
即
思路点拨：三角函数的求值问题，关键是要找到已知和结论之间的联系，本题先要应用
向量的有关知识及二倍角公式将已知条件化简，然后将所求式子的角向已知角转化.
14. 已知△ABC 三内角 A、B、C 所对的边 a，b，c，且
（1）求∠B 的大小；
（2）若△ABC 的面积为 ，求 b 取最小值时的三角形形状.
解析. (1)由
∴
即
由
∵ .
(2) 由
∴ 当且仅当 时取等号，
即 ,故当 b 取最小值 时，三角形为正三角形.
15. 求函数 y= 的值域.
解：原函数化简为
,2
1cossin,0sin2
1
2
cos1
4
3 =+∴=−+− xxxx
x
xx
x
x
cos
)4sin2sin4cos2(cos21
)2sin(
)42cos(21
ππ
π
π ++
=
+
−+
.1)cos(sin2cos
cossin2cos2
cos
2sin2cos1 2
=+=+=++= xxx
xxx
x
xx
.2222
222
ca
c
cba
bca
−=−+
−+
4
33
ca
b
ab
cba
ac
bca
ca
c
cba
bca
−=−+
−+
−=−+
−+
2
2
2
2 222
222
222
222
得
,sinsin2
sin
cos
cos
CA
B
C
B
−= ,cossinsincoscossin2 CBCBBA =−
,cossinsincoscossin2 CBcBBA += ),sin(cossin2 CBBA +=
,sincossin2 ABA，ACB =−=+ 得π
60,2
1cos,0sin =∠=∴≠ BBA
,34
3360sin2
1sin2
1 ====∆ ac，acBacS ABC 得
,3260cos2222 ==−≥−+= acacacaccab 3== ca
3≥b 3
)32cot()32sin(
ππ −− xx
由
得原函数的定义域为
16. 求函数 y= 的单调区间.
解：化简函数式并跟踪 x 的取值范围的变化得
且 ， .
由
故函数递增区间为 ， ，
17. 已知
①化简 f(x);②若 ，且 ，求 f(x)的值；
解:①分析:注意此处角，名的关系，所以切化弦化同角，2x 化 x，化同角.
②求 f(x)即求 sinx,此处未知角 x，已知角 ，而 ，∴可把 x 化成已知.
∵ , ∴ ,
∴ ,
∴
∴ .
ππππ
kxxxy ≠−≠−−=
320)32sin().32cos( 即这里
)(
12
5
12
62
0)32cos(
32
Zk
kxk
kx
x
kx
∈
+≤≤−
+≠
⇔
≥−
≠−
ππππ
ππ
π
ππ
.,12
5,66,12 Zkkkkk ∈
+
+
+− ππππππππ
1sectan
1sectan
+−
−+
xx
xx
)42tan(
π+= xy 0cos ≠x 02sin ≠x
⇔∈
+<+<−
≠
+≠
)(
2422
2
2
Zk
kxk
kx
kx
πππππ
π
ππ
)(
222
32
2
2
Zk
kxk
kx
kx
∈
+<<−
≠
+≠
ππππ
π
ππ
)22,2
32(
ππππ −− kk )2,22( πππ kk − Zkkk ∈+ ).22,2(
πππ
ctgx
xxxf +
+−=
1
12cos2sin)(
5
3)4sin( =π+x π<<π
4
3
4 x
ctgx
xxxf +
+−=
1
12cos2sin)(
x
x
xxx
sin
cos1
1sin21cossin2 2
+
++−⋅= xxx
xxx 2
2
sin2cossin
)sin(cossin2 =+
+⋅=
4
π+x 4)4(
π−π+= xx
π<<π
4
3
4 x π<π+<π
42 x
5
4)4(sin1)4cos( 2 −=π+−−=π+ xx
]4)4sin[(sin
π−π+= xx 210
7
4sin)4cos(4cos)4sin( =ππ+−ππ+= xx
25
49sin2)( 2 == xxf
18. 已知ΔABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 A ∴
2 10sin 1 cos 10B B= − = sin 1tan cos 3
BB B
∴ = =
[ ]
1 1
tan tan 2 3tan tan ( ) tan( ) 11 11 tan tan 1 2 3
A BC A B A B A B
π
++∴ = − + = − + = − = − = −− • − •
2tan 1, 135 , sin 2C C C= − ∴ = ° ∴ =
sin sin
b c
B C
=
101sin 510
sin 52
2
c Bb C
•
= = =
90 60 150BCD = + = ∠ CB AC CD= =
15CBE = ∠
6 2cos cos(45 30 ) 4CBE
+= − = ∠
ABE△ 2AB =
2
sin (45 15 ) sin(90 15 )
AE =− +
E
D
C
BA
故
25. 在 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 。
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ，求 a 的值。
解析：（1）由正弦定理得 ，得
代入 ，即
∵ A+B+C= ∴ sin（B+C）=sinA ∴
∵ ∴ 又 ∵ 角 B 为三角形的内角 ∴
（2）将 代入余弦定理 ，
得
∴ ∴ 或
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ABC∆ ca
b
C
B
+−=
2cos
cos
4,13 =+= cab
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
===
CRCBRbARa sin2,sin2,sin2 ===
CA
B
C
B
sinsin2
sin
cos
cos
+−=
0sincoscossincossin2 =++ BCBCBA
0)sin(cossin2 =++ CBBA
π 0sincossin2 =+ ABA
0sin ≠A 2
1cos −=B 3
2π=B
3
2,4,13
π==+= Bcab Baccab cos2222 −+=
3
2cos)4(2)4(13 22 π
aaaa −−−+=
0342 =+− aa 1=a 3=a
2sin30
cos15AE =
12 2
6 2
4
×
=
+
6 2= −
