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辽宁高考数学理解析版
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辽宁高考数学理解析版
2014·辽宁卷(理科数学) 1.[2014·辽宁卷] 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0
b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 3.C [解析] 因为0
log=1,所以c>a>b. 4.[2014·辽宁卷] 已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 4.B [解析] B [解析] 由题可知,若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交或异面,所以A错误;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊥α或n与a相交,故D错误. 5.、[2014·辽宁卷] 设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0,命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( ) A.p∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q) 5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题. 6.[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 6.D [解析] 这是一个元素不相邻问题,采用插空法,AC=24. 7.、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图11所示,则该几何体的体积为( ) A.8-2π B.8-π C.8- D.8- 图11 7.B [解析] 根据三视图可知,该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分后余下的部分,故该几何体体积为2×2×2-2××π×2=8-π. 8.[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则( ) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 8.C [解析] 令bn=2a1an,因为数列{2a1an}为递减数列,所以==2a1(an+1-an)=2a1d<1,所得a1d<0. 9.[2014·辽宁卷] 将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( ) A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 9.B [解析] 由题可知,将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y=3sin的图像,令-+2kπ≤2x-π≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,函数单调递增,即函数y=3sin的单调递增区间为,k∈Z,可知当k=0时,函数在区间上单调递增. 10.[2014·辽宁卷] 已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( ) A. B. C. D. 10.D [解析] 因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以p=4.设直线AB的方程为x+2=m(y-3),与抛物线方程y2=8x联立得到y2-8my+24m+16=0,由题易知Δ=0,解得m=-(舍)或者m=2,这时B点的坐标为(8,8),而焦点F的坐标为(2,0),故直线BF的斜率kBF==. 11.[2014·辽宁卷] 当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,-3] B. C.[-6,-2] D.[-4,-3] 11.C [解析] 当-2≤x<0时,不等式转化为a≤, 令f(x)=(-2≤x<0), 则f′(x)==,故f(x )在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,此时有a≤=-2.当x=0时,g(x)恒成立.当0
时,|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-(f(y)-f(0))|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|< |x-1|+|y-0|=-(x-y)+<.故kmin=. 13.[2014·辽宁卷] 执行如图12所示的程序框图,若输入x=9,则输出y=________. 图12 13. [解析] 当x=9时,y=5,则|y-x|=4;当x=5时,y=,则|y-x|=;当x=时,y=,则|y-x|=<1.故输出y=. 14.[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图13所示.若将—个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________. 图13 14. [解析] 正方形ABCD的面积S=2×2=4,阴影部分的面积S1=2(1-x2)dx=2=,故质点落在阴影区域的概率P==. 15.[2014·辽宁卷] 已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=______. 15.12 [解析] 取MN的中点为G,点G在椭圆C上.设点M关于C的焦点F1的对称点为A,点M关于C的焦点F2的对称点为B,则有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12. 16.、[2014·辽宁卷] 对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为________. 16.-2 [解析] 由题知2c=-(2a+b)2+3(4a2+3b2). (4a2+3b2)≥(2a+b)2⇔4a2+3b2≥(2a+b)2,即2c≥(2a+b)2, 当且仅当=,即2a=3b=6λ(同号)时, |2a+b|取得最大值,此时c=40λ2. -+=-=-2≥-2, 当且仅当a=,b=,c=时,-+取最小值-2. 17.、[2014·辽宁卷] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 17.解:(1)由·=2得c·a·cos B=2, 又cos B=,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B, 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. 解得或 因为a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,sin B===. 由正弦定理,得sin C=sin B=·=. 因为a=b>c,所以C为锐角, 因此cos C===. 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=. 18.、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图14所示. 图14 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X). 18.解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”.因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为 P(X=0)=C·(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C·0.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C·0.62(1-0.6)=0.432, P(X=3)=C·0.63=0.216. X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 19.、[2014·辽宁卷] 如图15所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点. (1)求证:EF⊥BC; (2)求二面角EBFC的正弦值. 图15 19.解:(1)证明:方法一,过点E作EO⊥BC,垂足为O,连接OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC,所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,EO∩FO=O,所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO,所以EF⊥BC. 图1 方法二,由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线,并将其作为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线,并将其作为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E(0,,),F(,,0),所以=(,0,-),=(0,2,0),因此·=0, 从而⊥,所以EF⊥BC. 图2 (2)方法一,在图1中,过点O作OG⊥BF,垂足为G,连接EG.因为平面ABC⊥平面BDC,所以EO⊥面BDC,又OG⊥BF,所以由三垂线定理知EG⊥BF, 因此∠EGO为二面角EBFC的平面角. 在△EOC中,EO=EC=BC·cos 30°=. 由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,因此tan∠EGO==2,从而得sin∠EGO=,即二面角EBFC的正弦值为. 方法二,在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1). 设平面BEF的法向量n2=(x,y,z), 又=(,,0),=(0,,), 所以得其中一个n2=(1,-,1). 设二面角EBFC的大小为θ,且由题知θ为锐角,则cos θ=|cos〈n1,n2〉|==, 因此sin θ==,即所求二面角正弦值为. 20.、[2014·辽宁卷] 圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图16所示).双曲线C1:-=1过点P且离心率为. 图16 (1)求C1的方程; (2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程. 20.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为,.故其围成的三角形的面积S=··=.由x+y=4≥2x0y0知,当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值2,此时S有最小值4,因此点P的坐标为(,). 由题意知 解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1. (2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此可设C2的方程为+=1,其中b1>0. 由P(,)在C2上,得+=1, 解得b=3, 因此C2的方程为+=1. 显然,l不是直线y=0. 设直线l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(m2+2)y2+2 my-3=0. 又y1,y2是方程的根,因此 ② 由x1=my1+,x2=my2+,得 因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),由题意知·=0, 所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 m+4 -11=0, 解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为 x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0. 21.、[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)=(cos x-x)(π+2x)-(sin x+1),g(x)=3(x-π)cos x-4(1+sin x)ln.证明: (1)存在唯一x0∈,使f(x0)=0; (2)存在唯一x1∈,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1<π. 21.证明:(1)当x∈时,f′(x)=-(1+sin x)·(π+2x)-2x-cos x<0,函数f(x)在上为减函数.又f(0)=π->0,f=-π2-<0,所以存在唯一x0∈,使f(x0)=0. (2)记函数h(x)=-4ln,x∈. 令t=π-x,则当x∈时,t∈. 记u(t)=h(π-t)=-4 ln,则u′(t)=. 由(1)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)>0, 当t∈时,u′(t)<0. 故在(0,x0)上u(t)是增函数,又u(0)=0,从而可知当t∈(0,x0]时,u(t)>0,所以u(t)在(0,x0]上无零点. 在上u(t)为减函数,由u(x0)>0,u=-4ln 2<0,知存在唯一t1∈,使u(t1)=0, 故存在唯一的t1∈,使u(t1)=0. 因此存在唯一的x1=π-t1∈,使h(x1)=h(π-t1)=u(t1)=0. 因为当x∈时,1+sin x>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)与h(x)有相同的零点,所以存在唯一的x1∈,使g(x1)=0. 因为x1=π-t1,t1>x0,所以x0+x1<π. 22.[2014·辽宁卷] 选修41:几何证明选讲 如图17所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上—点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F. (1)求证:AB为圆的直径; (2)若AC=BD,求证:AB=ED. 图17 22.证明:(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA, 又因为∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD, 从而∠BDA=∠PFA. 又AF⊥EP,所以∠PFA=90°,所以∠BDA=90°,故AB为圆的直径. (2)连接BC,DC. 由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°. 在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而得Rt△BDA≌Rt△ACB, 于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB. 因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角, 所以ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,所以ED=AB. 23.[2014·辽宁卷] 选修44:坐标系与参数方程 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 23.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由 x+y=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1. 故C的参数方程为(t为参数). (2)由解得或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率k=,于是所求直线方程为y-1=, 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=. 24.[2014·辽宁卷] 选修45:不等式选讲 设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M; (2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤. 24.解:(1)f(x)= 当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集M=. (2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤, 因此N=, 故M∩N=. 当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是 x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=xf(x)=x(1-x)=-≤.
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