高考数学考点归纳之 函数及其表示

高考数学考点归纳之 函数及其表示

高考数学考点归纳之 函数及其表示 一、基础知识 1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 求函数定义域的策略 (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数 y＝f(x)是用表格给出，则表格中 x 的集合即为定义域． (3)如果函数 y＝f(x)是用图象给出，则图象在 x 轴上的投影所覆盖的 x 的集合即为定义 域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是 判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数． 关于分段函数的 3 个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交． 考点一 函数的定义域 [典例] (1)(2019·长春质检)函数 y＝ln1－x x＋1 ＋1 x 的定义域是( ) A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1) (2)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1,1) B. －1，－1 2 C．(－1,0) D. 1 2 ，1 [解析] (1)由题意得 1－x>0， x＋1>0， x≠0， 解得－10， lnx＋1≠0， 4－x2≥0， 得－10，所以 t>1，故 f(x)的解析式是 f(x) ＝lg 2 x－1 (x>1)． 答案：lg 2 x－1(x>1) 3.[口诀第 4 句]已知 f(x)满足 2f(x)＋f 1 x ＝3x，则 f(x)＝________. 解析：∵2f(x)＋f 1 x ＝3x，① 把①中的 x 换成1 x ，得 2f 1 x ＋f(x)＝3 x.② 联立①②可得 2fx＋f 1 x ＝3x， 2f 1 x ＋fx＝3 x ， 解此方程组可得 f(x)＝2x－1 x(x≠0)． 答案：2x－1 x(x≠0) 考点三 分段函数 考法(一) 求函数值 [典例] (2019·石家庄模拟)已知 f(x)＝ log3x，x>0， ax＋b，x≤0 (00， 1 2 x＋1，x≤0， 则 f(－3)＝ 1 2 －3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2. [答案] B [解题技法] 求分段函数的函数值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间 对应的解析式求值； (2)当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值； (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的 端点． 考法(二) 求参数或自变量的值(或范围) [典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝ 2－x，x≤0， 1，x>0， 则满足 f(x＋1)0 时，不等式组无解． ③当 x＋1>0， 2x≤0， 即－10， 2x>0， 即 x>0 时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意． 综上，不等式 f(x＋1)0， ∴函数 f(x)的图象如图所示． 结合图象知，要使 f(x＋1)1， 则 f(f(3))＝________. 解析：由题意，得 f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2， ∴f(f(3))＝f(2)＝2. 答案：2 3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ x＋1，x≤0， 2x，x>0， 则满足 f(x)＋f x－1 2 >1 的 x 的取值范 围是________． 解析：由题意知，可对不等式分 x≤0,01 2 讨论． ①当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋1 2>1，解得 x>－1 4 ， 故－1 41，显然成立． ③当 x>1 2 时，原不等式为 2x＋2x－1 2>1，显然成立． 综上可知，所求 x 的取值范围是 －1 4 ，＋∞ . 答案： －1 4 ，＋∞ 4．设函数 f(x)＝ 1 2 x－7，x<0， x，x≥0， 若 f(a)<1，则实数 a 的取值范围是____________． 解析：若 a<0，则 f(a)<1⇔ 1 2 a－7<1⇔ 1 2 a<8，解得 a>－3，故－30， 4x－2－1，x≤0. 若 f(a)＝3，则 f(a－2)＝( ) A．－15 16 B．3 C．－63 64 或 3 D．－15 16 或 3 解析：选 A 当 a>0 时，若 f(a)＝3，则 log2a＋a＝3，解得 a＝2(满足 a>0)；当 a≤0 时， 若 f(a)＝3，则 4a－2－1＝3，解得 a＝3，不满足 a≤0，所以舍去．于是，可得 a＝2.故 f(a－2) ＝f(0)＝4－2－1＝－15 16. 6．已知函数 y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数 f2x＋1 log2x＋1 的定义域是( ) A．[1,2] B．(－1,1] C. －1 2 ，0 D．(－1,0) 解析：选 D 由 f(2x－1)的定义域是[0,1]， 得 0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1， ∴f(x)的定义域是[－1,1]， ∴要使函数 f2x＋1 log2x＋1 有意义， 需满足 －1≤2x＋1≤1， x＋1>0， x＋1≠1， 解得－11. 其中满足“倒负”变换的函数是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．① 解析：选 B 对于①，f(x)＝x－1 x ，f 1 x ＝1 x －x＝－f(x)，满足题意；对于②，f 1 x ＝1 x ＋x ＝f(x)，不满足题意；对于③，f 1 x ＝ 1 x ，0<1 x<1， 0，1 x ＝1， －x，1 x>1， 即 f 1 x ＝ 1 x ，x>1， 0，x＝1， －x，00， 1－x2≥0 ⇒ x<－1 或 x>0， －1≤x≤1 ⇒0

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