1996年全国高考数学试题

1996年全国高考数学试题

一九九六年全国高考数学试题 理科试题 一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知全集I=N，集合，。则 （ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是 （ A ）‎ ‎(A) y (B) y (C) y (D) y ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x ‎ ‎（3）若，则x的取值范围是 （ D ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）复数等于 （ B ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有 （ A ）‎ ‎（A）且 （B）且 ‎（C）且 （D）且 ‎（6）当时，函数的 （ D ）‎ ‎（A）最大值是1，最小值是-1‎ ‎（B）最大值是1，最小值是 ‎（C）最大值是2，最小值是-2‎ ‎（D）最大值是2，最小值是-1‎ ‎（7）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）‎ ‎（A）（-3，5），（-3，-3） （B）（3，3），（3，-5）‎ ‎（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）‎ ‎（8）若，则等于 （ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）等比数列的首项，前n项和为，若，则等于 （ B ）‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）-2‎ ‎（11）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）‎ ‎（A）（3，0），（1，） （B）（），（）‎ ‎（C）（2，），（2，） （D）（），（）‎ ‎（12）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）‎ ‎（A）130 （B）170 （C）210 （D）260‎ ‎（13）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）‎ ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎（14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 （ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ B ）‎ ‎（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5‎ 二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎（16）已知圆与抛物线的准线相切。则p=__________‎ 答：2‎ ‎（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）‎ 答：32‎ ‎(18)的值是_______‎ ‎ D C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ ‎ F E ‎ 答：‎ ‎（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______‎ 答：‎ 三．解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。‎ ‎（20）（本小题满分11分）‎ 解不等式 解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：‎ 因为所以 ‎（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：‎ 由（1）得，‎ 由（2）得，‎ 综上，当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知△ABC的三个内角A，B，C满足：‎ A+C=2B，求的值。‎ 解：由题设条件知：‎ B=600，A+C=1200‎ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 将代入上式并整理得 从而得 ‎（22）（本小题满分12分）‎ 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1‎ ‎ A C ‎ ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ A1 C1 ‎ ‎ ‎ ‎ B1 ‎ ‎（Ⅰ）求证：BE=EB1;‎ ‎（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。‎ 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。‎ ‎（Ⅰ）证明：在截面A1EC内，‎ 过E作EG⊥A1C，G是垂足。‎ ‎ A F C ‎ ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎ G ‎ ‎ E ‎ ‎ A1 C1 ‎ ‎ ‎ ‎ D B1 ‎ ‎①∵面A1EC⊥侧面AC1，‎ ‎∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，‎ ‎②∵面ABC⊥侧面AC1，‎ ‎∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。‎ ‎③∵BE∥侧面AC1，‎ ‎∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，‎ ‎④∵BE∥AA1，‎ ‎∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，‎ ‎⑤∵AF=FC，‎ ‎∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。‎ ‎（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D ‎∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，‎ ‎∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，‎ ‎∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，‎ ‎∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。‎ ‎∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。‎ ‎∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，‎ ‎∴∠CA1C1=450，即所求二面角为450。‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ 某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？‎ ‎（=，=）‎ 解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。‎ 依题意得不等式 化简得 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。‎ ‎（24）（本小题满分12分）‎ 已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。‎ ‎（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;‎ ‎（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。‎ 解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 ‎ （1）‎ 有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得 ‎ （2）‎ 若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。‎ 故，即。方程（2）的判别式为 设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 ‎ （3）‎ 有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得 ‎ （4）‎ 同理有，‎ 又因为，所以有 于是，与双曲线各有两个交点，等价于 ‎（Ⅱ）设A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知 同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得 由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.‎ 将（5）、（6）代入上式得 解得 取时，‎ 取时，‎ ‎（25）（本小题满分12分）‎ 已知是实数，函数当时，‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，‎ ‎（Ⅲ）设当时，的最大值为2，求.‎ ‎（Ⅰ）证明：由条件当时，，‎ 取x=0得，即 ‎（Ⅱ）证法一：当时，在[-1，1]上是增函数，‎ 由此得 ‎ 当时，在[-1，1]上是减函数，‎ 由此得 ‎ 当时，‎ 综上得 ‎ 证法二：由可得 当时，有 根据含绝对值的不等式的性质，得 即 ‎（Ⅲ）因为时，在[-1，1]上是增函数，‎ 当x=1时取最大值2，‎ 即 因为当时，，即 根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得 由（1）得 所以 文科试题 一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则 （ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是 （ A ）‎ ‎(A) y (B) y (C) y (D) y ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x ‎ ‎（3）若，则x的取值范围是 （ D ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）复数等于 （ B ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 （ C ）‎ ‎（A）720种 （B）360种 （C）240种 （D）120种 ‎（6）已知是第三象限角且，则 （ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有 （ A ）‎ ‎（A）且 （B）且 ‎（C）且 （D）且 ‎（8）当时，函数的 （ D ）‎ ‎（A）最大值是1，最小值是-1‎ ‎（B）最大值是1，最小值是 ‎（C）最大值是2，最小值是-2‎ ‎（D）最大值是2，最小值是-1‎ ‎（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 ‎（A） （B） （ A ）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是 （ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）‎ ‎（A）（-3，5），（-3，-5） （B）（3，3），（3，-5）‎ ‎（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）‎ ‎（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=‎ ‎，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）‎ ‎（A）130 （B）170 （C）210 （D）260‎ ‎（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）‎ ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ B ）‎ ‎（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5‎ 二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________‎ 答：4‎ ‎（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）‎ 答：32‎ ‎(18)的值是_______‎ ‎ D C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ ‎ F E ‎ 答：‎ ‎（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______‎ 答：‎ 三．解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。‎ ‎（20）（本小题满分11分）‎ 解不等式 解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：‎ ‎（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：‎ 综上，当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.‎ 解：q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故.‎ 又依题意S3+S6=2S9可得 ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知△ABC的三个内角A，B，C满足：‎ A+C=2B，求的值。‎ 解：由题设条件知：‎ B=600，A+C=1200‎ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 将代入上式并整理得 从而得 ‎（23）（本小题满分12分）‎ ‎【注意：本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】‎ 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2‎ ‎ A1 C1 ‎ ‎ ‎ ‎ B1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ F ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ A C ‎ ‎ ‎ ‎ B ‎ ‎（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF;‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积。‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。‎ ‎∴△DBE∽△DCF，‎ ‎∴‎ ‎②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，‎ ‎∴DB=AB.‎ ‎③∵△ABD是等腰三角形，‎ 且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，‎ ‎∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.‎ ‎④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，‎ 且CA⊥AD，∴FA⊥AD.‎ ‎⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA 面ADF，‎ ‎ A1 G C1 ‎ ‎ ‎ ‎ B1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ F ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E ‎ ‎ ‎ ‎ A C ‎ ‎ B ‎ ‎ D ‎ ‎∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.‎ ‎（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F.‎ 在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，‎ 垂足为G. B1G=.‎ 面A1B1C1⊥面A1C，‎ ‎∴EBB1，而BB1∥面A1C，‎ ‎∴三棱锥E-AA1F的高为.‎ S△A1AF=·AA1·AC=.‎ ‎∴VA1-AEF=VE-AA1F=‎ ‎（24）（本小题满分10分）‎ 某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？‎ ‎（=，=）‎ 解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。‎ 依题意的不等式 化简得 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。‎ ‎（25）（本小题满分12分）‎ 已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。‎ ‎（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;‎ ‎（Ⅱ）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。‎ 解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 ‎ （1）‎ 有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得 ‎ （2）‎ 若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。‎ 故，即。方程（2）的判别式为 设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组 ‎ （3）‎ 有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得 ‎ （4）‎ 同理有，‎ 又因为，所以有 于是，与双曲线各有两个交点，等价于 ‎（Ⅱ）双曲线的顶点为（0，1）、（0，-1）。‎ 取A1（0，1）时，有 解得从而，‎ 将代入方程（4）得 ‎ （5）‎ 记与双曲线的两交点为A2（x1,y1）B2（x2,y2）.则 由（5）知 同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得 当取A1（0，-1）时，由双曲线关于x轴的对称性，知 所以过双曲线的一个顶点时，。‎