高考数学试题精编导数的应用含解析

高考数学试题精编导数的应用含解析

第十三章 导数 (二 导数的应用)‎ ‎【考点阐述】‎ 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．‎ ‎【考试要求】‎ ‎（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．‎ ‎【考题分类】‎ ‎（一）选择题（共2题）‎ ‎1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图像大致为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。‎ ‎2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ‎（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 ‎【答案】C ‎【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 ‎ ‎【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。‎ ‎（二）解答题（共35题）‎ ‎1.（安徽卷理17）设为实数，函数。‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间与极值；‎ ‎(Ⅱ)求证：当且时，。‎ ‎2.（安徽卷文20）设函数，求函数的单调区间与极值。‎ ‎【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.‎ ‎【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.‎ ‎【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.‎ ‎3.（北京卷理18）已知函数()=In(1+)-+(≥0)。‎ ‎(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求()的单调区间。‎ 解：（I）当时，‎ 由于所以曲线处的切线方程为 ‎。即 ‎（II）当时，‎ 因此在区间上，；在区间上，；‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，，得;‎ 因此，在区间和上，；在区间上，；‎ 即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当时，.的递增区间为 当时，由，得；‎ 因此，在区间和上，，在区间上，；‎ 即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。‎ ‎4.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。‎ ‎（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。‎ ‎5.（福建卷理20）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线。‎ ‎（ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（ⅱ）证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；‎ ‎（Ⅱ）对于一般的三次函数，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。‎ ‎【解析】（Ⅰ）（i）由得=，‎ 当和时，；‎ 当时，，‎ 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。‎ ‎（ii）曲线C与其在点处的切线方程为 得，‎ 即，解得，进而有 ，用代替，重复上述计算过程，可得 和，又，所以 因此有。‎ ‎（Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点 ，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段 证明如下：‎ 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得 ，故。‎ ‎6.（福建卷文22）已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设是上的增函数.‎ ‎（ⅰ）求实数m的最大值；‎ ‎（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎7.（广东卷文21）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.‎ ‎（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，‎ 证明：www.ks5u.com w.w.wwww.ks5u.com w.w.^w.k.s.5*‎ ‎8.（湖北卷理17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。‎ ‎9.（湖北卷理21）已知函数f(x)=ax++c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.‎ ‎(Ⅰ)用a表示出b,c;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)证明：1+++…+＞㏑(n+1)+)(n≥1).‎ ‎10.（湖北卷文21）设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1‎ ‎（Ⅰ）确定b、c的值 ‎（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时， ‎（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。‎ ‎11.（湖南卷理21）数列中，a1=a，a n+1是函数的极小值点 ‎（Ⅰ）当a=0时，求通项； ‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】易知 令 ‎ (1) 故在 ‎（2） ‎（3） ‎12（湖南卷文21）已知函数其中a<0,且a≠-1.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎13.（江苏卷20）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.‎ ‎(1)设函数，其中为实数 ‎①求证：函数具有性质 ‎②求函数的单调区间 ‎(2)已知函数具有性质，给定 ，，且，若||<‎ ‎||,求的取值范围 ‎[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎（1）(i) ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于， 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得： 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ，得，同理可得 ‎，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ ‎14.（江西卷理19）设函数．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求的值．‎ 考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 ‎ ‎【解析】对函数求导得：，定义域为（0，2）‎ 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。‎ 当a=1时，令 当为增区间；当为减函数。‎ 区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。‎ 当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。‎ 最大值在右端点取到。。‎ ‎15.（江西卷文17）设函数.‎ ‎（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.‎ 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 ‎【解析】 ‎（1）由已知有，从而，所以；‎ ‎（2）由，‎ 所以不存在实数，使得是上的单调函数.‎ ‎16.（辽宁卷理21）已知函数 ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）设.如果对任意，，求的取值范围。‎ ‎17.（辽宁卷文21）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性； K^S*5U.C#‎ ‎（Ⅱ）设，证明：对任意，。‎ 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.‎ 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；‎ 当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；‎ 当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；‎ x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.‎ ‎(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.‎ 所以等价于≥4x1－4x2, 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.‎ 令g(x)=f(x)+4x,则+4＝. ‎ 于是≤＝≤0.‎ 从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，‎ 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.‎ ‎18.（全国Ⅰ卷理20）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明： .‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.‎ ‎【解析】（Ⅰ），,‎ 题设等价于.‎ 令，则 当，；当时，，是的最大值点，‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)有（Ⅰ）知，即.‎ 当时，；‎ 当时， 所以 ‎19.（全国Ⅰ卷文21）已知函数 ‎（I）当时，求的极值;‎ ‎（II）若在上是增函数，求的取值范围 解：（Ⅰ） 当时，，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值.‎ ‎20.（全国Ⅰ新卷理21）设函数。‎ 若，求的单调区间；‎ 若当时，求的取值范围 解：（1）时，，.‎ 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 ‎（II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ，‎ 从而当，即时，，而，‎ 于是当时，.‎ 由可得.从而当时，‎ ，‎ 故当时，，而，于是当时，.‎ 综合得的取值范围为.‎ ‎21.（全国Ⅰ新卷文21）设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 解：（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。‎ ‎（Ⅱ）。令，则。若，则当 时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0. 综合得的取值范围为 ‎22.（全国Ⅱ卷理22）设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．‎ ‎【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.‎ ‎23.（全国Ⅱ卷文21）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。‎ ‎（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；‎ ‎（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。‎ ‎【分析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。‎ ‎（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。‎ ‎（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。‎ ‎【解析】‎ ‎①式无解，②式的解为，‎ ‎ 因此的取值范围是.‎ ‎24.（山东卷理22）已知函数 ‎（Ⅰ）当a≤时，讨论f(x)的单调性：‎ ‎（Ⅱ）设g(x)=x2-2bx+4.当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈，使，求实数b的取值范围。‎ ‎【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+，因为 =，所以当时，，令得，所以 此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；‎ 当时，，所以 此时函数在（0，+是减函数；‎ 当时，令=得，解得（舍去），此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；‎ 当时，令=得，解得，此时函数 在（1，上是增函数；在（0，1）和+上是减函数；‎ 当时，令=得，解得，此时函数 在1）上是增函数；在（0，）和+上是减函数；‎ 当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在（0，1）上是增函数；在（1，+上是减函数。‎ ‎（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，‎ 有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。‎ ‎【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。‎ ‎（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。‎ ‎（标准答案）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以 ，‎ 令 ，‎ ‎①当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减；‎ ‎②当，‎ 时，，此时，函数单调递减；‎ 时，此时，函数 单调递增；‎ 时，，此时，函数单调递减；‎ ‎③当时，由于，‎ ，,此时，函数 单调递减；‎ 时，，此时，函数单调递增.‎ 综上所述：‎ ‎（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。‎ 由于“对任意，存在，使”等价于 ‎“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）‎ 又=，，所以 ‎①当时，因为，此时与（*）矛盾 ‎②当时，因为，同样与（*）矛盾 ‎③当时，因为，解不等式8-4b，可得 综上，b的取值范围是。‎ ‎25.（山东卷文21）已知函数 ‎（I）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）当时，讨论的单调性.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）当 因此， 即曲线……………………‎ ‎ 又 ‎ 所以曲线 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ 令 当a=0时，g(x)=-x+1，x∈（0，+∞），‎ 所以当x∈(0，1)时，g(x)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减 当a≠0时，由f(x)=0，‎ 即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1‎ ①当a=1/2时，x1= x2, g(x)≥0恒成立，此时f(x)≤0，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减;‎ ②当01>0‎ x∈(0，1)时，g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减 x∈(1，1/a-1)时，g(x)>0,此时f(x)0，此时f(x)0,此时f,(x)<0函数f(x)单调递减；‎ x∈（1 ，∞）时，g(x)<0此时函数f,(x)<0单调递增。‎ 综上所述：‎ 当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;‎ 函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当a=1/2时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当00，b>0，证明： 解（1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),‎ 由已知得=alnx，‎ =，解德a=,x=e2,‎ 两条曲线交点的坐标为（e2,e）‎ 切线的斜率为k=f’(e2)= ,‎ 切线的方程为y-e=(x- e2).‎ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,‎ 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；‎ 当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。‎ 所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，‎ 从而也是h(x)的最小值点。所以Φ （a）=h()= ‎2a-aln=2‎ ‎（2）当a  ≤   0时，h(x)=(1/2‎-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。‎ 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为‎2a(1-ln‎2a) (a>o)‎ ‎（3）‎ ‎27.（陕西卷文21）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。‎ 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；‎ 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；‎ 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.‎ 解（1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),‎ 由已知得=alnx，‎ =，解德a=,x=e2,‎ 两条曲线交点的坐标为（e2,e）‎ 切线的斜率为k=f’(e2)= ,‎ 切线的方程为y-e=(x- e2).‎ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,‎ 所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；‎ 当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。‎ 所以x>是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，‎ 从而也是h(x)的最小值点。所以Φ （a）=h()= ‎2a-aln=2‎ ‎（2）当a  ≤   0时，h(x)=(1/2‎-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。‎ 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为‎2a(1-ln‎2a) (a>o)‎ ‎（3）由（2）知Φ （a）=‎2a(1-ln‎2a)‎ 则Φ 1（a ）=-2ln‎2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2‎ 当 00，所以Φ （a ）在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ）在 (1/2, +∞)上递减。‎ 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1‎ 因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）  ≤  1‎ ‎28.（四川卷理22）设（且），是的反函数.‎ ‎（Ⅰ）设关于的方程求在区间上有实数解，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由.‎ ‎29.（四川卷文22）设（且），g(x)是f(x)的反函数.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒有成立，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.‎ ‎30.（天津卷理21）已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， ‎（Ⅲ）如果，且，证明 ‎【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1‎ 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X ‎()‎ ‎1‎ ‎()‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。‎ 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= ‎（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ Ⅲ)证明：（1）‎ 若 ‎（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.‎ ‎31.（天津卷文20）已知函数f（x）=，其中a>0. ‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.‎ ‎（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.‎ 以下分两种情况讨论：‎ 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 极大值 当等价于，‎ 解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：‎ X ‎0‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得或.因此2

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