2012全国高考山东卷数学及答案

2012全国高考山东卷数学及答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 文科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)若复数z满足为虚数单位)，则为 ‎ (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i　　　(D)－3－5i ‎(2)已知全集，集合，，则为 ‎ (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}‎ ‎ (3)函数的定义域为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 ‎ (A)众数　　　(B)平均数　　　(C)中位数　　　(D)标准差 ‎(5)设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是 ‎ (A)p为真　　　(B)为假　　　　(C)为假　　　(D)为真 ‎(6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是 ‎ (A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)‎ ‎(7)执行右面的程序框图，如果输入＝4，那么输出的n的值为 ‎ (A)2　　　(B)3　　　(C)4　　　(D)5‎ ‎(8)函数的最大值与最小值之和为 ‎ (A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)‎ ‎(9)圆与圆的位置关系为 ‎ (A)内切　　(B)相交　　(C)外切　　(D)相离 ‎(10)函数的图象大致为 ‎(11)已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ‎ (A) 　(B) 　　(C)　　(D)‎ ‎(12)设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是 ‎ (A)　　　　(B)‎ ‎(C)　　　　(D)‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎(13)如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.‎ ‎(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于‎22.5℃‎的城市个数为11，则样本中平均气温不低于‎25.5℃‎的城市个数为＿＿＿＿.‎ ‎(15)若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.‎ ‎(16)如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为＿＿＿＿.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎(Ⅰ)求证：成等比数列；‎ ‎(Ⅱ)若，求△的面积S.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，‎ 求证：∥平面.‎ ‎(20) (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项 和.‎ ‎(21) (本小题满分13分)‎ 如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎(22) (本小题满分13分)‎ 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求k的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.‎ 参考答案：‎ 一、选择题：‎ ‎(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B ‎(12)解：设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.‎ 二、填空题 ‎(13)　以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故.‎ ‎(14)9　最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.‎ ‎(15)　当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.‎ ‎(16)‎ 三、解答题 ‎(17)(I)由已知得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 再由正弦定理可得：，‎ 所以成等比数列.‎ ‎(II)若，则，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴△的面积.‎ ‎(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.‎ ‎(19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，‎ 又已知，所以平面OCE.‎ 所以，即OE是BD的垂直平分线，‎ 所以.‎ ‎(II)取AB中点N，连接，‎ ‎∵M是AE的中点，∴∥，‎ ‎∵△是等边三角形，∴.‎ 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，‎ 所以ND∥BC，‎ 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.‎ ‎(20)(I)由已知得：‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)由，得，‎ 即.‎ ‎∵，‎ ‎∴是公比为49的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎(21)(I)……①‎ 矩形ABCD面积为8，即……②‎ 由①②解得：，‎ ‎∴椭圆M的标准方程是.‎ ‎(II)，‎ 设，则，‎ 由得.‎ ‎.‎ 当过点时，，当过点时，.‎ ‎①当时，有，‎ ‎，‎ 其中，由此知当，即时，取得最大值.‎ ‎②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.‎ ‎③当时，，，‎ 由此知，当时，取得最大值.‎ 综上可知，当和0时，取得最大值.‎ ‎(22)(I)，‎ 由已知，，∴.‎ ‎(II)由(I)知，.‎ 设，则，即在上是减函数，‎ 由知，当时，从而，‎ 当时，从而.‎ 综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.‎ 当时，＞1，且，∴.‎ 设，，则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，取得最大值.‎ 所以.‎ 综上，对任意，.‎