2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章选修4-5不等式选讲

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2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章选修4-5不等式选讲

第1讲 绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R);2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.‎ 知 识 梳 理 ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(-∞,-a)∪(a,+∞)‎ ‎(-∞,0)∪(0,+∞)‎ R ‎(2)|ax+b|≤c (c>0)和|ax+b|≥c (c>0)型不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ ‎③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a,b是实数,则|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ ‎(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.(  )‎ ‎(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.(  )‎ ‎(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.(  )‎ ‎(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(  )‎ ‎(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(  )‎ 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√                   ‎ ‎2.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为(  )‎ A.5或8 B.-1或5‎ C.-1或-4 D.-4或8‎ 解析 分类讨论:‎ 当a≤2时,f(x)= 显然,x=-时,f(x)min=+1-a=3,∴a=-4,‎ 当a>2时,f(x)= 显然x=-时,f(x)min=--1+a=3,∴a=8.‎ 答案 D ‎3.(2015·山东卷)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集为________.‎ 解析 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,‎ ‎∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.‎ ‎②当11的解集.‎ 解 (1)f(x)= y=f(x)的图像如图所示.‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图像,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为 .‎ 考点二 含参数的绝对值不等式问题 ‎【例2】 (1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值;‎ ‎(2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.‎ 解 (1)∵x,y∈R,‎ ‎∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,‎ ‎∴|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,‎ ‎∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3.‎ ‎∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.‎ 规律方法 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:(1)利用绝对值的几何意义;(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥|a|-|b|;(3)利用零点分区间法.‎ ‎【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d有解,求实数d的取值范围;‎ ‎(2)不等式≥|a-2|+sin y对一切非零实数x,y均成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)∵|2 014-x|+|2 015-x|≥|2 014-x-2 015+x|=1,‎ ‎∴关于x的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d有解时,d≥1.‎ ‎(2)∵x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞),‎ ‎∴∈[2,+∞),其最小值为2.‎ 又∵sin y的最大值为1,‎ 故不等式≥|a-2|+sin y恒成立时,‎ 有|a-2|≤1,解得a∈[1,3].‎ 考点三 含绝对值的不等式的应用 ‎【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.‎ 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时,‎ f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,‎ 所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①‎ 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.‎ 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.‎ 所以实数a的取值范围是[2,+∞).‎ 规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.‎ ‎【训练3】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,‎ 解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以实数a的取值范围为(2,+∞).‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.绝对值不等式的三种常用解法:零点分段法,数形结合法,构造函数法.‎ ‎2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b ‎|求函数最值,要注意其中等号成立的条件.‎ ‎2.掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.‎ ‎(建议用时:60分钟)                   ‎ ‎1.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>2;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的最小值.‎ 解 (1)法一 令2x+1=0,x-4=0分别得x=-,x=4.‎ 原不等式可化为:‎ 或或 即或或 ‎∴x<-7或x>.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ 法二 f(x)=|2x+1|-|x-4|= 画出f(x)的图像,如图所示.‎ 求得y=2与f(x)图像的交点为(-7,2),.‎ 由图像知f(x)>2的解集为.‎ ‎(2)由(1)的法二图像知:当x=-时,‎ 知:f(x)min=-.‎ ‎2.(2017·长沙一模)设α,β,γ均为实数.‎ ‎(1)证明:|cos(α+β)|≤|cos α|+|sin β|,|sin(α+β)|≤|cos α|+|cos β|;‎ ‎(2)若α+β+γ=0,证明:|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥1.‎ 证明 (1)|cos(α+β)|=|cos αcos β-sin αsin β|≤‎ ‎|cos αcos β|+|sin αsin β|≤|cos α|+|sin β|;‎ ‎|sin(α+β)|=|sin αcos β+cos αsin β|≤|sin αcos β|+‎ ‎|cos αsin β|≤|cos α|+|cos β|.‎ ‎(2)由(1)知,|cos[α+(β+γ)]|≤|cos α|+|sin(β+γ)|≤|cos α|+|cos β|+|cos γ|,‎ 而α+β+γ=0,故|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥1.‎ ‎3.(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.‎ 解 (1)∵≥==4,∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,‎ 故|2+x|+|2-x|≤min.‎ 由(1)可知,的最小值为4.‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.‎ 解不等式得-2≤x≤2.‎ 故实数x的取值范围为[-2,2].‎ ‎4.(2017·广州二测)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-a).‎ ‎(1)当a=7时,求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的最大值.‎ 解 (1)由题设知|x+1|+|x-2|>7,‎ ‎①当x>2时,得x+1+x-2>7,解得x>4.‎ ‎②当-1≤x≤2时,得x+1+2-x>7,无解.‎ ‎③当x<-1时,得-x-1-x+2>7,解得x<-3.‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(4,+∞).‎ ‎(2)不等式f(x)≥3,即|x+1|+|x-2|≥a+8,‎ ‎∵当x∈R时,‎ 恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,‎ 又不等式|x+1|+|x-2|≥a+8的解集是R,‎ ‎∴a+8≤3,即a≤-5,‎ ‎∴a的最大值为-5.‎ ‎5.设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当x∈(M∩N)时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.‎ ‎(1)解 f(x)= 当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1,‎ 得x≤,故1≤x≤;‎ 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.‎ 所以f(x)≤1的解集为M={x|0≤x≤}.‎ ‎(2)证明 由g(x)=16x2-8x+1≤4得162≤4,解得-≤x≤.因此N=,‎ 故M∩N=.‎ 当x∈(M∩N)时,f(x)=1-x,于是 x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-2≤.‎ ‎6.(2017·郑州模拟)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.‎ ‎(1)解不等式:|g(x)|<5;‎ ‎(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,‎ 所以-7<|x-1|<3,‎ 解不等式得-2<x<4,‎ 所以原不等式的解集是{x|-2<x<4}.‎ ‎(2)因为对任意的x1∈R,都有x2∈R,‎ 使得f(x1)=g(x2)成立,‎ 所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},‎ 又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,‎ 所以|a+3|≥2,‎ 解得a≥-1或a≤-5,‎ 所以实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-5}.‎ 第2讲 不等式的证明 最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.‎ 知 识 梳 理 ‎1.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.‎ ‎(1)比较法 ‎①求差比较法 知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可,这种方法称为求差比较法.‎ ‎②求商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为求商比较法.‎ ‎(2)分析法 从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.‎ ‎(3)综合法 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.‎ ‎(4)反证法的证明步骤 第一步:作出与所证不等式相反的假设;‎ 第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.‎ ‎2.几个常用基本不等式 ‎(1)柯西不等式:‎ ‎①柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立).‎ ‎②柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.‎ ‎③柯西不等式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,‎ 则+≥.‎ ‎④柯西不等式的一般形式:设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.‎ ‎(2)算术—几何平均不等式 若a1,a2,…,an为正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.(  )‎ ‎(2)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.(  )‎ 答案 (1)× (2)√                   ‎ ‎2.(2017·泰安模拟)若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是(  )‎ A.x>y B.x<y C.x≥y D.x≤y 解析 x-y=a+-=a-b+=.由a>b>1得ab>1,a-b>0,‎ 所以>0,即x-y>0,所以x>y.‎ 答案 A ‎3.(2017·聊城模拟)下列四个不等式:①logx10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析 logx10+lg x=+lg x≥2(x>1),①正确.‎ ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;‎ 因为ab≠0,与同号,‎ 所以=+≥2,③正确;‎ 由|x-1|+|x-2|的几何意义知,‎ ‎|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确,‎ 综上①③④正确.‎ 答案 C ‎4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.‎ 解析 由柯西不等式得(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2),即m2+n2≥5,∴≥,∴所求最小值为.‎ 答案  ‎5.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;‎ 当-
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