高考试题与答案全国卷数学理

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高考试题与答案全国卷数学理

绝密★启用前 ‎ ‎ 2006年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。满分150分,考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 参考公式:‎ 如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式 ‎ P (A+B) =P (A) +P (B) ‎ 如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径 ‎ P (A·B) = P (A)·P (B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 ‎ 本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题 ‎(1)已知集合,则 ‎(A)φ (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(2)函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是 ‎ (A)2π (B)4π (C) (D)‎ ‎(3)‎ ‎ (A) (B) (C)i (D)-i ‎(4)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ‎ (A) (B)6 (C) (D)12‎ 13‎ ‎(6)函数的反函数为 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(7)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β 所成的角分别为和,过A、B分别作两平面交线的垂 线,垂足为,则AB:=‎ ‎ (A)2:1 (B)3:1‎ ‎ (C)3:2 (D)4:3‎ ‎(8)函数的图像与函数的图像关于原点对称,则的表达式为 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(9)已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)若 ‎ (A) (B)3 ‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(11)设是等差数列的前n项和,若,则 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(12)函数的最小值为 ‎ (A)190 (B)171 (C)90 (D)45‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 注意事项:‎ 本卷共2页,10小题,用黑色碳素笔将答案在答题卡上。答在试卷上的答案无效 13‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡上。‎ ‎(13)在的展开式中常数项是 。(用数字作答)‎ ‎(14)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 。‎ ‎(15)过点(1,)的直线l将圆分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= 。‎ ‎(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在(2 500,3 000)(元)月收入段应抽出 人。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知向量 ‎ (Ⅰ)若求;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值。‎ 13‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验,设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.(Ⅰ)用表示抽检的6件产品中二等品的件数,求的分布列及的数学期望;‎ ‎(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝购买的概率.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)设AA1=AC=求二面角A1-AD-C1的大小.‎ 13‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 设函数若对所有的≥0,都有≥ax成立.求实数a的取 值范围.‎ 13‎ ‎(21)(本小题满分14分)‎ 已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点,且 过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.‎ ‎(Ⅰ)证明为定值;‎ ‎(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值.‎ 13‎ ‎(22)(本小题满分12分)‎ 设数列的前n项和为,且方程 有一根为 ‎(Ⅰ)求 ‎(Ⅱ)求的通项公式.‎ 13‎ ‎2006的普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修II)参考答案及评分参考 评分说明:‎ ‎ 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.‎ ‎ 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ ‎ 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎ 4.只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.‎ 一.选择题 ‎ (1)D (2)D (3)A (4)A (5)C (6)B ‎ ‎ (7)A (8)D (9)A (10)C (11)A (12)C 二.填空题 ‎ (13)45 (14) (5) (6)25‎ 三、解答题 ‎(17)解:‎ ‎ (I)若,则 ………………2分 ‎ 由此得,‎ ‎ 所以; ………………4分 ‎(II)由得 ‎ ‎ ‎ ………………10分 当取得最大值,即当时,的最大值为.‎ ‎………12分 ‎(18)解:‎ ‎(I)ξ可能的取值为0,1,2,3.‎ 13‎ ‎ ‎ ‎ …………8分 ‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ (II)所求的概率为…………12分 ‎(19)解法一:‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎∥‎ ‎=‎ ‎(I)设O为AC中点,连结EO,BO,则EO C1C,又C1C B1B. 所以EO DB,‎ ‎ EOBD为平行四边形,ED∥OB. …………2分 ‎ ∵AB=BC,∴BO⊥AC,‎ ‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO面ABD,故BC⊥平面ACC1A1,‎ ‎ ∴ED⊥平面ACC1A1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……6分 ‎(II)连结A1E. 由AA1=AG=AB可知,A1ACC1为正方形,‎ ‎ ∴A1E⊥AC1. 又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1,‎ ‎ ∴A1E⊥平面ADC1. 作EF⊥AD,垂足为F,连结A1F,则A1F⊥AD,‎ ‎ ∠A1FE为二面角A1—AD—C1的平面角.‎ ‎ 不妨设AA1=2,‎ ‎ 则AC=2,AB=. ED=OB=1,EF=,tan∠A1FE=,‎ ‎ ∴∠A1FE=60°.‎ ‎ 所以二面角A1—AD—C1为60°.………………12分 解法二:‎ ‎ (I)如图,建立直角坐标系O—xyz,其中原点O为AC的中点.‎ ‎ 设 ‎ 则………3分 13‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线. …………6分 ‎ (II)不妨设A(1,0,0), ‎ ‎ 则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ,‎ ‎ . ………………10分 ‎ ,即得的夹角为60°.‎ ‎ 所以二面角A1—AD—C1为60°. …………12分 ‎(20)解法一:‎ ‎ 令,‎ ‎ 对函数求导数:,‎ ‎ 令解得 …………5分 ‎ (i)当时,对所有,上是增函数. 又 ‎ 所以对,有,‎ ‎ 即当时,对于所有,都有.‎ ‎ (ii)当,‎ ‎ 又,‎ ‎ 即,‎ 所以,当 综上,的取值范围是 …………12分 13‎ 解法二:令,‎ 于是不等式成立即为成立. …………3分 对求导数得,‎ 令,解得 …………6分 当为减函数. ‎ 当 …………9分 要对所有都有充要条件为 由此得,即的取值范围是 …………12分 ‎(21)解:‎ ‎(I)由已条件,得F(0,1),.‎ ‎ 设 即得 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 将①式两边平方并把代入得, ③‎ 解②、③式得,且有 抛物线方程为 求导得 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 即 解出两条切线的交点M的坐标为 …………4分 所以 ‎ ‎ =‎ 13‎ ‎ =0‎ 所以为定值,真值为0. ………………7分 ‎(II)由(I)知在△ABM中,FM⊥AB,因而 ‎ ‎ ‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以 ‎ |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=‎ ‎ 于是 ,………………11分 ‎ 由 ,‎ ‎ 且当时,S取得最小值4. ………………14分 ‎(22)解:‎ ‎(I)当n=1时,‎ ‎ 有一根为,‎ ‎ 解得 …………2分 ‎ 当n=2时,‎ ‎ 有一根为,‎ ‎ 解得 …………5分 ‎ (II)由题设,‎ ‎ 即 ‎ 当 ①‎ 13‎ ‎ 由(I)知,‎ ‎,‎ ‎ 由①可得 ‎ 由此猜想. …………8分 ‎ 下面用数学归纳法证明这个结论.‎ ‎(i)n=1时已知结论成立.‎ ‎(ii)假设n=k时结论成立,即,‎ ‎ 当时,由①得,‎ ‎ 即,‎ 故时结论也成立.‎ 综上,由(i)、(ii)可知对所有正整数n都成立. …………10分 于是当时,,‎ 又时,,所以的通项公式为 ‎…………12分 13‎
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