全国各地高考文科数学试题分类汇编立体几何专题含答案详解

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全国各地高考文科数学试题分类汇编立体几何专题含答案详解

‎2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:立体几何 一、选择填空题 ‎1.[2014·福建卷3] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(  )‎ A.2π B.π C.2 D.1 【答案】A ‎ ‎2.[2014·浙江卷3] 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(  )‎ ‎ 图11‎ A.‎72 cm3 B.‎90 cm‎3 ‎ C.‎108 cm3 D.‎138 cm3 【答案】B ‎ ‎3.[2014·四川卷4] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示,则该三棱锥的体积是(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)(  )‎ A.3 B.‎2 ‎‎ C. D.1【答案】D ‎ ‎4.[2014·辽宁卷4] 已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 【答案】B ‎ ‎5.[2014·陕西卷5] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是(  )‎ A.4π B.3π C.2π D.π 【答案】C ‎ ‎6.[2014·浙江卷6] 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面(  )‎ A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α【答案】C ‎ ‎7.[2014·全国卷4] 已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎ ‎8.[2014·新课标全国卷Ⅱ6] 如图11,网格纸上正方形小格的边长为1(表示‎1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为‎3 cm,高为‎6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(  )‎ 图11‎ A. B. C. D. 【答案】C ‎ ‎9.[2014·湖北卷10] ‎ ‎《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(  )‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎ ‎10.[2014·新课标全国卷Ⅱ7] 正三棱柱ABC A1B‎1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A B1DC1的体积为(  )‎ A.3 B. C.1 D. 【答案】C ‎ ‎11.[2014·安徽卷8] 一个多面体的三视图如图12所示,则该多面体的体积是(  )‎ 图12‎ A. B. C.6 D.7 【答案】A ‎ ‎13.[2014·辽宁卷7] 某几何体三视图如图12所示,则该几何体的体积为(  )‎ 图12‎ A.8- B.8- C.8-π D.8-2π 【答案】C ‎ ‎14.[2014·重庆卷7] 某几何体的三视图如图12所示,则该几何体的体积为(  )‎ 图12‎ A.12 B.‎18 C.24 D.30 【答案】C ‎ ‎16.[2014·湖南卷8] 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(  )‎ 图12‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4 【答案】B ‎ ‎17.[2014·全国卷10] 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )‎ A. B.16π C.9π D. 【答案】A ‎ ‎19.[2014·江苏卷8] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且=,则的值是________【答案】 ‎ ‎22.[2014·天津卷10] 一个几何体的三视图如图12所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3. 【答案】 ‎20.[2014·北京卷11] 某三棱锥的三视图如图13所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.【答案】2 图13 ‎ ‎21.[2014·山东卷13] 一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.【答案】12‎ 三、解答题 ‎1. [2014·安徽卷19] 如图15所示,四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥‎ 平面GEFH.‎ 图15‎ ‎(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.‎ 解: (1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.‎ ‎(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.‎ 因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD内,所以PO⊥平面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥平面ABCD.‎ 又EF⊂平面ABCD,所以GK⊥EF,所以GK是梯形GEFH的高.‎ 由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,‎ 从而KB=DB=OB,即K是OB的中点.再由PO∥GK得GK=PO,‎ 所以G是PB的中点,且GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO===6,‎ 所以GK=3,故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.‎ ‎2.[2014·重庆卷20] 如图14所示四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.‎ ‎(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥PABMO的体积.‎ 图14‎ 解:(1)证明:如图所示,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形的中心,连接OB,则AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1.‎ 又因为BM=,且∠OBM=,在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=,所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2×cos=.‎ 设PO=a,由PO⊥底面ABCD,知△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.‎ 又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连接AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.‎ 由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,‎ 解得a=或a=-(舍去),即PO=.‎ 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.‎ 所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.‎ ‎3.[2014·陕西卷17] 四面体ABCD及其三视图如图14所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.‎ 图14‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.‎ 解:(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,‎ ‎∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.‎ ‎(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩ 平面ABC=EH,‎ ‎∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.‎ 又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.‎ ‎4.[2014·湖南卷18] 如图13所示,已知二面角αMNβ的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.‎ ‎ ‎ 图13‎ ‎(1)证明:AB⊥平面ODE;(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.‎ 解:(1)证明:如图,因为DO⊥α,AB⊂α,所以DO⊥AB.‎ 连接BD,由题设知,△ABD 是正三角形,又E是AB的中点,所以DE⊥AB.而DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.‎ ‎(2)因为BC∥AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即∠ADO是BC与OD所成的角.‎ 由(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE.又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角,从而∠DEO=60°.‎ 不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=.在Rt△DOE中,DO=DE·sin 60°=.‎ 连接AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO===. 故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.‎ ‎5.[2014·北京卷17] 如图15,在三棱柱ABC A1B‎1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A‎1C1,BC的中点.‎ ‎ ‎ 图15‎ ‎(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C‎1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E ABC的体积.‎ 解:(1)证明:在三棱柱ABC A1B‎1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.‎ 因为E,F,G分别是A‎1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且FG=AC,EC1=A‎1C1.‎ 因为AC∥A‎1C1,且AC=A‎1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C‎1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE,C‎1F⊄平面ABE,所以C‎1F∥平面ABE.‎ ‎(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.‎ 所以三棱锥E ABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.‎ ‎7.[2014·江苏卷16] 如图14所示,在三棱锥P ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.‎ 求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 解:(1)∵为中点 ∴DE∥PA ‎∵平面DEF,DE平面DEF ∴PA∥平面DEF ‎(2)∵为中点 ∴ ∵为中点 ∴‎ ‎∴ ∴,∴DE⊥EF ‎∵,∴ ∵ ∴DE⊥平面ABC ‎∵DE平面BDE, ∴平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎9.[2014·新课标全国卷Ⅱ18] 如图13,四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.‎ ‎ ‎ 解:(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.‎ 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.‎ 又E为PD的中点,所以EO∥PB,EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)V=××PA×AB×AD=AB,由V=,可得AB=.‎ 作AH⊥PB交PB于点H,由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,‎ 因为PB∩BC=B,所以AH⊥平面PBC,又AH==,‎ 所以点A到平面PBC的距离为.‎ ‎10.[2014·广东卷18] 如图12所示,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图13折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱锥M CDE的体积.‎ ‎      图12        图13‎ ‎11.[2014·山东卷18] 如图14所示,四棱锥PABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.‎ ‎ ‎ 图14‎ ‎(1)求证:AP∥平面BEF;(2)求证:BE⊥平面PAC.‎ 证明:(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.由于E为AD的中点,‎ AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.‎ 又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF,又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,‎ 所以AP∥平面BEF.‎ ‎(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.‎ 又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.‎ 因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.‎ 又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.‎ ‎12.[2014·江西卷19] 如图11所示,三棱柱ABC A1B‎1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.‎ ‎(1)求证:A‎1C⊥CC1;‎ ‎(2)若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC A1B‎1C1体积最大,并求此最大值.‎ ‎ ‎ 解:(1)证明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC.又BB1⊥A1B,故BB1⊥平面BCA1,所以BB1⊥A‎1C.‎ 又BB1∥CC1,所以A‎1C⊥CC1.‎ ‎(2)方法一:设AA1=x.在Rt△A1BB1中,A1B==.‎ 同理,A‎1C==.‎ 在△A1BC中,cos∠BA‎1C==-,‎ sin∠BA‎1C=,‎ 所以S△A1BC=A1B·A‎1C·sin∠BA‎1C=.‎ 从而三棱柱ABC A1B‎1C1的体积V=S直·l=S△A1BC·AA1=.‎ 因为x==,‎ 所以当x==,即AA1=时,体积V取到最大值.‎ ‎(2)方法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.‎ 由AA1⊥BC,A1D⊥BC,得BC⊥平面AA1D,故BC⊥AD.又∠BAC=90°,‎ 所以S△ABC=AD·BC=AB·AC,得AD=.‎ 设AA1=x.在Rt△AA1D中,A1D==,S△A1BC=A1D·BC=.‎ 从而三棱柱ABC A1B‎1C1的体积V=S直·l=S△A1BC·AA1=.因为x==,‎ 所以当x==,即AA1=时,体积V取到最大值.‎ ‎13.[2014·辽宁卷19] 如图14所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D BCG的体积.‎ ‎ 附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.‎ 解:(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC,因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD,‎ 同理BG⊥AD.又BG∩CG=G,所以AD⊥平面BGC. 又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.‎ ‎(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于点O.‎ 由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.‎ 又G为AD的中点,所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.‎ 在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,‎ 所以V三棱锥D BCG=V三棱锥G BCD=·S△DBC·h=×·BD·BC·sin 120°·=.‎ ‎14.[2014·全国新课标卷Ⅰ19] 如图14,三棱柱ABC A1B‎1C1中,侧面BB‎1C1C为菱形,B‎1C的中点为O,且AO⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明:B‎1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC A1B‎1C1的高.‎ 解:(1)证明:连接BC1,则O为B‎1C与BC1的交点.‎ 因为侧面BB‎1C1C为菱形,所以B‎1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB‎1C1C,所以B‎1C⊥AO,‎ 由于BC1∩AO=O,故B‎1C⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO,故B‎1C⊥AB.‎ ‎(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.‎ 由于BC⊥AO,BC⊥OD,且AO∩OD=O,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD,且AD∩BC=D,所以OH⊥平面ABC.‎ 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=.‎ 因为AC⊥AB1,所以OA=B‎1C=.‎ 由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.‎ 又O为B‎1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B‎1C1的高为.‎ ‎17.[2014·浙江卷20] 如图15,在四棱锥A BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明:AC⊥平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.‎ 解:(1)证明:连接BD,在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.‎ 又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.‎ ‎(2)在直角梯形BCDE中,由BD=BC=,DC=2,得BD⊥BC.‎ 又平面ABC⊥平面BCDE,所以BD⊥平面ABC.‎ 作EF∥BD,与CB的延长线交于点F,连接AF,则EF⊥平面ABC.‎ 所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.‎ 在Rt△BEF中,由EB=1,∠EBF=,得EF=,BF=;‎ 在Rt△ACF中,由AC=,CF=,得AF=.‎ 在Rt△AEF中,由EF=,AF=,得tan∠EAF=.‎ 所以,直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.‎ ‎18.[2014·重庆卷20] 如图14所示四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.‎ ‎(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥PABMO的体积.‎ ‎ ‎ 解:(1)证明:如图所示,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形的中心,‎ 连接OB,则AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1.‎ 又因为BM=,且∠OBM=,‎ 在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·‎ cos∠OBM=12+-2×1××cos=,所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2×cos=.‎ 设PO=a,由PO⊥底面ABCD,知△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.‎ 又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.‎ 连接AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·‎ cos∠ABM=22+-2×2××cos=.‎ 由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,‎ 解得a=或a=-(舍去),即PO=.‎ 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.‎ 所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.‎
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